"Siri Kuasa: Contoh dan Latihan" ialah buku yang menawarkan pendekatan praktikal dan dinamik untuk bekerja dengan siri kuasa. Dengan contoh yang jelas dan latihan langkah demi langkah, buku ini membantu kedua-dua pelajar dan profesional memahami dan menggunakan konsep asas siri kuasa, menjadikan pembelajaran lebih mudah diakses dan berkesan. Ditulis dalam bahasa yang mudah dan objektif, karya ini adalah alat yang sangat diperlukan bagi mereka yang ingin mendalami pengetahuan mereka dalam bidang matematik ini.
Demonstrasi kuasa dan pengaruh dalam konteks sosial, budaya dan politik yang berbeza.
Demonstrasi kuasa dan pengaruh adalah perkara biasa dalam pelbagai konteks sosial, budaya dan politik. Dalam siri yang dipacu kuasa, sebagai contoh, kita dapat melihat dengan jelas cara watak menggunakan pengaruh mereka untuk mencapai matlamat mereka.
Dalam konteks sosial, autoriti boleh ditunjukkan melalui gerak isyarat, bahasa badan, dan juga cara seseorang berpakaian. Dalam budaya tertentu, simbol kuasa tertentu mungkin lebih dihargai daripada yang lain, yang secara langsung mempengaruhi bagaimana pihak berkuasa dilihat.
Dalam bidang politik, kuasa dan pengaruh lebih jelas. Pemimpin politik menggunakan ucapan persuasif, pakatan strategik, dan juga kekerasan untuk mengekalkan kedudukan kuasa mereka. Dalam sesetengah kes, kuasa disahkan melalui proses demokrasi, manakala dalam rejim politik lain, pengaruh dilaksanakan dengan cara yang lebih autoritarian.
Adalah penting untuk memahami bagaimana unsur-unsur ini nyata dalam situasi yang berbeza untuk lebih memahami dinamik kuasa dalam masyarakat kita.
Pelbagai manifestasi kuasa dalam masyarakat kontemporari.
Dalam masyarakat kontemporari, kita dapat memerhatikan pelbagai manifestasi kuasa yang meresap dalam hubungan sosial dan politik. Kuasa boleh menjelma dengan cara yang berbeza, sama ada melalui institusi kerajaan, syarikat multinasional, kumpulan sosial yang teratur, atau individu yang berpengaruh.
Contoh jelas manifestasi kuasa ialah kawalan yang dijalankan oleh syarikat besar ke atas ekonomi dan politik sesebuah negara. Syarikat syarikat multinasional Mereka selalunya mempunyai lebih pengaruh daripada kerajaan tempatan, dapat menentukan dasar dan keputusan yang secara langsung mempengaruhi kehidupan orang ramai. Kuasa ekonomi jenis ini adalah salah satu wajah kuasa yang paling ketara dalam masyarakat kontemporari.
Tambahan pula, kuasa juga boleh menjelma melalui kumpulan sosial yang teratur, seperti gerakan sosial, kesatuan, dan pertubuhan bukan kerajaan. Kumpulan-kumpulan ini sering berjaya menggerakkan sejumlah besar orang di belakang sebab-sebab tertentu, menekan kerajaan dan institusi untuk mengambil langkah-langkah yang menguntungkan kumpulan tertentu dalam masyarakat.
Akhirnya, kuasa juga boleh hadir pada peringkat individu, melalui orang yang memegang jawatan kepimpinan dalam komuniti atau organisasi mereka. Individu-individu yang berpengaruh ini boleh membuat keputusan yang secara langsung mempengaruhi nasib ramai orang, sekali gus menggunakan satu bentuk kuasa ke atas mereka.
Takrif kuasa dalam falsafah: intipati, konsep dan refleksi tentang sifatnya.
Kuasa adalah konsep asas dalam falsafah, dibincangkan secara meluas sepanjang sejarah. Intipatinya berkaitan dengan keupayaan untuk mempengaruhi dan mengawal individu, kumpulan, atau situasi lain. Kuasa boleh digunakan dalam pelbagai cara, sama ada paksaan, persuasif, atau disahkan.
Dalam falsafah, kuasa sering dianalisis berhubung dengan struktur penguasaan dan penyerahan yang ada dalam masyarakat. Ahli falsafah seperti Michel Foucault dan Friedrich Nietzsche meneroka sifat kuasa, menonjolkan hubungannya dengan pengetahuan, moral, dan hubungan kuasa.
Terdapat konsep kuasa yang berbeza, seperti kuasa politik, kuasa ekonomi, dan kuasa simbolik. Setiap jenis kuasa ini mempunyai ciri dan implikasi tersendiri, mempengaruhi hubungan sosial dan dinamik kuasa dalam masyarakat.
Siri kuasa ialah contoh konkrit bagaimana kuasa menjelma dirinya dalam konteks yang berbeza. Contoh klasik siri kuasa ialah hierarki ketenteraan, di mana individu memegang pelbagai peringkat kuasa dan pengaruh. Contoh lain ialah dinamik kuasa dalam syarikat, di mana pengurus menggunakan kuasa ke atas pekerja.
Untuk lebih memahami sifat kuasa, adalah penting untuk menjalankan latihan praktikal yang meneroka hubungan kuasa dalam situasi yang berbeza. Ini mungkin termasuk menganalisis siapa yang memegang kuasa, cara ia dilaksanakan dan akibat daripada hubungan kuasa ini bagi mereka yang terlibat.
Dengan memikirkan sifat kuasa dan meneliti siri kuasa dalam konteks yang berbeza, kita boleh meluaskan pemahaman kita tentang hubungan kuasa dalam masyarakat dan implikasinya terhadap kehidupan masyarakat.
Bentuk pengaruh dan autoriti yang berbeza dalam konteks dan hubungan interpersonal yang berbeza.
Dalam konteks dan perhubungan interpersonal yang berbeza, kita boleh memerhatikan pelbagai bentuk pengaruh dan autoriti yang menggunakan kuasa ke atas individu yang terlibat. Sama ada dalam organisasi, keluarga atau sekumpulan rakan, dinamik kuasa sentiasa ada dan boleh menjelmakan diri mereka dalam pelbagai cara.
Contoh yang jelas tentang pelaksanaan kuasa ialah hierarki yang ada dalam sesebuah syarikat. Bos mempunyai kuasa ke atas orang bawahannya dan boleh mempengaruhi keputusan, tingkah laku dan prestasi kerja mereka. Melalui ganjaran, hukuman dan maklum balas, dia menggunakan pengaruhnya dan mengekalkan kuasanya ke atas pasukan.
Satu lagi bentuk pengaruh boleh diperhatikan dalam kumpulan kawan, di mana individu yang berkarisma dan persuasif boleh menggunakan kuasa ke atas ahli yang lain. Pendapat dan pilihan mereka boleh mempengaruhi keputusan kumpulan dan membentuk interaksi dan aktiviti mereka bersama.
Dalam keluarga, kuasa ibu bapa terhadap anak-anak adalah contoh klasik penggunaan kuasa. Melalui peraturan, had dan nilai, ibu bapa mempengaruhi tingkah laku dan perkembangan anak-anak mereka, membimbing mereka dalam pembinaan identiti dan nilai mereka.
Menyedari dan memahami bentuk kuasa ini adalah asas untuk kewujudan bersama yang sihat dan seimbang dalam konteks sosial yang berbeza.
Siri Kuasa: Contoh dan Latihan
A siri kuasa terdiri daripada jumlah sebutan dalam bentuk kuasa pembolehubah x , atau lebih amnya, daripada xc , di mana c ialah nombor nyata tetap. Dalam notasi penjumlahan, siri kuasa dinyatakan seperti berikut:
Na n (x -c) n = a o + a 1 (x – c) + a 2 (x – c) 2 + a 3 (x – c) 3 +… + a n (x – c) n
Di mana pekali a o , 1 , 2 … ialah nombor nyata dan sirinya bermula pada n = 0.
Siri ini berfokuskan nilai c yang malar, tetapi anda boleh memilihnya c adalah sama dengan 0; dalam kes ini, siri kuasa dipermudahkan kepada:
Na n x n = a o + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n
Siri ini bermula dengan um o (xc) 0 e a ou x 0, masing-masing. Tetapi kita tahu bahawa:
(xc) 0 =x 0 = 1
Oleh itu, um o (xc) 0 = um ou x 0 = um o (istilah bebas)
Perkara yang menarik tentang siri kuasa ialah anda boleh menyatakan fungsi dengan mereka, dan ini mempunyai banyak kelebihan, terutamanya jika anda ingin bekerja dengan fungsi yang rumit.
Dalam kes ini, bukannya menggunakan fungsi secara langsung, pembangunannya dalam siri kuasa digunakan, yang boleh menjadi lebih mudah untuk diperoleh, disepadukan atau berfungsi secara berangka.
Sudah tentu, semuanya bergantung pada penumpuan siri. Satu siri bertumpu apabila sejumlah besar sebutan ditambah, menghasilkan nilai tetap. Dan jika kami menambah lebih banyak istilah, kami akan terus memperoleh nilai itu.
Berfungsi sebagai siri kuasa
Sebagai contoh fungsi yang dinyatakan sebagai siri kuasa, mari kita ambil f (x) = e x .
Fungsi ini boleh dinyatakan dalam sebutan siri kuasa seperti berikut:
e x ≈ 1 + x + (x 2 /2!) + (x 3 /3!) + (x 4 /4!) + (x 5 / yang 5!) +…
Di mana! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … dan anda mendapat 0 ! = 1.
Mari gunakan kalkulator untuk mengesahkan bahawa siri itu sebenarnya sepadan dengan fungsi yang dinyatakan secara eksplisit. Sebagai contoh, mari kita mulakan dengan menetapkan x = 0.
Kami tahu itu dan 0 = 1. Mari lihat apa yang dilakukan oleh siri ini:
e 0 ≈ 1 + 0 + (0 2 /2!) + (0 3 /3!) + (0 4 /4!) + (0 5 / yang 5!) + … = 1
Dan sekarang mari cuba x = 1 . Sebuah kalkulator menunjukkan bahawa e 1 = 2,71828 dan kemudian kami membandingkannya dengan siri:
e satu ≈ 1 + 1 + (1 2 /2!) + (1 3 /3!) + (1 4 /4!) + (1 5 / yang 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0,0083 + … ≈ 2.7167
Dengan hanya 5 penggal, kami sudah mempunyai padanan tepat dan 2.71 . Siri kami kekurangan sedikit lagi, tetapi apabila lebih banyak istilah ditambah, ia pastinya menumpu kepada nilai tepat bagi e . Perwakilan adalah tepat apabila n → ∞ .
Jika analisis sebelumnya diulang untuk n = 2 , keputusan yang sangat serupa diperolehi.
Dengan cara ini, kami pasti bahawa fungsi eksponen f (x) = e x boleh diwakili oleh siri kuasa ini:
Siri kuasa geometri
Fungsinya f (x) = e x bukan satu-satunya fungsi yang menyokong perwakilan siri kuasa. Sebagai contoh, fungsi f ( x) = 1/1 – x kelihatan sangat mirip dengan yang terkenal siri geometri penumpu :
delima n = a / 1 – r
Hanya tetapkan a = 1 dan r = x untuk mendapatkan siri yang sesuai untuk fungsi ini, berpusat pada c = 0:
Walau bagaimanapun, diketahui bahawa siri ini adalah konvergen untuk │r│ <1, oleh itu, perwakilan hanya sah dalam selang (-1,1), walaupun fungsi itu sah untuk semua x kecuali x = 1.
Apabila anda ingin menentukan fungsi ini pada julat lain, hanya fokus pada nilai yang sesuai dan anda sudah selesai.
Bagaimana untuk mencari perkembangan bersiri kuasa fungsi
Sebarang fungsi boleh dibangunkan menjadi siri kuasa berpusat pada c, selagi ia mempunyai terbitan semua pesanan pada x = c. Prosedur menggunakan teorem berikut, dipanggil Teorem Taylor:
Biarkan f ialah fungsi (x) dengan terbitan tertib n , ditunjukkan sebagai f (n) , yang menyokong pembangunan siri tenaga dalam julat I . Perkembangannya siri Taylor e:
Supaya:
f (x) = f (c) + f '(c), (xc) + f' '(c) (XC) 2 /2 + f ”' (c) (XC) 3 /6 + … R n
Di mana R n , yang merupakan sebutan ke-n siri itu, dipanggil baki :
Apabila c = 0, siri itu dipanggil Siri Maclaurin .
Siri yang dibentangkan di sini adalah sama dengan siri yang dibentangkan pada mulanya, tetapi kini kita mempunyai cara untuk mencari pekali bagi setiap sebutan secara eksplisit, diberikan oleh:
Walau bagaimanapun, ia mesti dipastikan bahawa siri itu menumpu kepada fungsi yang akan diwakili. Ternyata tidak semua siri Taylor semestinya menumpu kepada f(x), yang telah diambil kira dalam pengiraan pekali. a n .
Ini berlaku kerana mungkin derivatif fungsi, dinilai pada x = c, bertepatan dengan nilai yang sama dengan derivatif yang lain, juga dalam x = c . Dalam kes ini, pekali akan sama, tetapi perkembangannya akan menjadi samar-samar, kerana tidak ada kepastian tentang fungsi yang mana ia sepadan.
Nasib baik, ada cara untuk mengetahui:
Kriteria penumpuan
Untuk mengelakkan kekaburan, jika R n → 0 apabila n → ∞ untuk semua x dalam selang I, siri itu menumpu kepada f (x).
Senaman
- Latihan yang diselesaikan 1
Cari siri kuasa geometri untuk fungsi itu f (x) = 1/2 – x berpusat di c = 0.
Penyelesaian
Fungsi yang diberikan mesti dinyatakan dalam apa-apa cara bahawa ia sepadan sehampir mungkin 1/1 x, yang sirinya diketahui. Oleh itu, mari kita tulis semula pengangka dan penyebut, tanpa mengubah ungkapan asal:
1/2 – x = (1/2) / [1 – (x / 2)]
Oleh kerana ½ adalah tetap, ia meninggalkan penjumlahan dan ditulis dalam sebutan pembolehubah baru x / 2:
Ambil perhatian bahawa x = 2 tidak tergolong dalam domain fungsi dan, mengikut kriteria penumpuan yang diberikan dalam bahagian Siri Kuasa Geometrik , pembangunan adalah sah untuk │x / 2│ <1 atau bersamaan -2
- Latihan yang diselesaikan 2
Cari 5 sebutan pertama bagi perkembangan siri Maclaurin bagi fungsi f (x) = sin x.
Penyelesaian
Langkah 1
Pertama, kita mencari derivatif:
-Terbitan tertib 0: ia adalah fungsi yang sama f (x) = sin x
-Terbitan pertama: (sin x) ´ = cos x
-Terbitan kedua: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = – sin x
-Terbitan ketiga: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = – cos x
-Terbitan kelima: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x
Langkah 2
Kemudian setiap derivatif dinilai pada x = c, sama seperti perkembangan Maclaurin, c = 0:
dosa 0 = 0; cos 0 = 1; – dosa 0 = 0; -cos 0 = -1; dosa 0 = 0
peringkat 3
Pekali a n dibina ;
a o = 0/0! = 0; a 1 = 1/1! = 1; a 2 = 0/2! = 0; a 3 = -1 / 3! a 4 = 0/4! = 0
Langkah 4
Akhirnya, siri ini dipasang mengikut:
sin x ≈ 0.x 0 + 1. x 1 + 0 .x 2 – (1/3!) x 3 + 0 x 4 … = x – (1/3!)) x 3 +
Adakah pembaca memerlukan lebih banyak istilah? Lebih banyak, lebih dekat siri dengan fungsi.
Perhatikan bahawa terdapat corak dalam pekali, sebutan bukan sifar seterusnya ialah 5 dan semua nombor ganjil juga berbeza daripada 0, tanda berselang-seli, seperti:
sin x ≈ x – (1/3!)) x 3 + (1/5!)) x 5 – (1/7!)) x 7 +….
Ia ditinggalkan sebagai latihan untuk memeriksa sama ada ia menumpu, yang kriteria do quotient boleh digunakan untuk penumpuan siri.
Rujukan
- Yayasan CK-12. Siri Kuasa: mewakili fungsi dan operasi. Diperoleh daripada: ck12.org.
- Engler, A. 2019. Integral Calculus. Universiti Kebangsaan Pantai.
- Larson, R. 2010. Kalkulus Satu Pembolehubah. Edisi ke-9. Bukit McGraw.
- Teks Matematik Percuma. Siri kuasa. Diperoleh daripada: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Siri kuasa. Diperoleh daripada: es.wikipedia.org.