Interpolasi linear ialah kaedah yang digunakan untuk menganggar nilai perantaraan antara dua titik yang diketahui. Kaedah ini mempertimbangkan hubungan linear antara titik yang diketahui untuk menentukan nilai faedah. Proses ini digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang, seperti matematik, statistik, kejuruteraan, dan lain-lain.
Dalam artikel ini, kami akan membincangkan kaedah interpolasi linear, menerangkan langkah demi langkah cara melakukan pengiraan jenis ini. Kami juga akan membentangkan contoh latihan yang diselesaikan untuk memudahkan pemahaman dan aplikasi praktikal kaedah ini. Dengan ini, kami berharap dapat menyumbang kepada pemahaman dan penggunaan interpolasi linear yang cekap dalam pelbagai konteks.
Panduan langkah demi langkah untuk melakukan pengiraan interpolasi dengan cekap.
Untuk melakukan pengiraan interpolasi dengan cekap, ikut langkah berikut:
Langkah 1: Kumpulkan data yang diperlukan untuk masalah interpolasi. Ini termasuk nilai titik rujukan yang diketahui dan nilai-x yang ingin anda interpolasi.
Langkah 2: Kira perbezaan antara nilai x yang diketahui yang paling hampir dengan nilai x yang dikehendaki. Ini akan membantu menentukan selang interpolasi.
Langkah 3: Kira perbezaan antara nilai-y yang sepadan dengan titik rujukan terdekat. Ini akan menentukan variasi y dalam selang interpolasi.
Langkah 4: Menggunakan formula interpolasi linear, kirakan nilai y untuk nilai x yang dikehendaki. Formula diberikan oleh:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Langkah 5: Gantikan nilai yang diketahui ke dalam formula dan selesaikan untuk mendapatkan nilai y yang sepadan dengan nilai x yang dikehendaki.
Dengan mengikuti langkah-langkah ini, anda akan dapat melakukan pengiraan interpolasi dengan cekap dan memperoleh hasil yang tepat untuk masalah yang dihadapi.
Bilakah sesuai untuk menggunakan interpolasi linear dalam analisis atau pemodelan matematik?
Interpolasi linear ialah kaedah yang digunakan dalam analisis matematik atau pemodelan apabila dikehendaki untuk menganggarkan nilai perantaraan daripada nilai yang diketahui. Kaedah ini sesuai apabila data diedarkan secara linear dan berterusan.
Contohnya, apabila kita mempunyai jadual dengan nilai fungsi pada titik diskret dan kita ingin menganggarkan nilai fungsi untuk titik pertengahan, interpolasi linear boleh menjadi pilihan yang baik. Ia terdiri daripada melukis garis lurus antara dua titik yang diketahui dan menggunakan garis tersebut untuk menganggarkan nilai yang dikehendaki.
Adalah penting untuk ditekankan bahawa interpolasi linear mungkin tidak sesuai dalam kes di mana data menunjukkan tingkah laku tak linear, seperti lengkung atau ayunan. Dalam kes ini, kaedah interpolasi lain yang lebih kompleks mungkin lebih sesuai.
Cara mengisi jurang dalam jadual dengan cekap dengan nilai perantaraan.
Interpolasi linear ialah kaedah yang digunakan untuk mengisi jurang dengan cekap dalam jadual dengan nilai perantaraan. Kaedah ini terdiri daripada mengira nilai yang hilang berdasarkan nilai yang diketahui dalam jadual, menggunakan formula mudah.
Untuk menggunakan interpolasi linear, anda memerlukan sekurang-kurangnya dua titik yang diketahui dalam jadual. Dari titik ini, anda boleh mengira nilai perantaraan menggunakan formula berikut:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Di mana Y ialah nilai perantaraan yang ingin kita cari, Y1 dan Y2 ialah nilai yang diketahui daripada jadual, X1 dan X2 ialah nilai X yang sepadan dan X ialah nilai X yang mana kita ingin mencari nilai perantaraan Y.
Untuk menggambarkan, mari kita selesaikan latihan amali menggunakan interpolasi linear. Katakan kita mempunyai jadual berikut:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Sekarang, mari kita gunakan formula interpolasi linear untuk mencari nilai Y apabila X bersamaan dengan 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4/2
Y = 3 + 2
Y = 5
Oleh itu, nilai Y apabila X bersamaan dengan 2 ialah 5.
Seperti yang kita dapat lihat, interpolasi linear ialah kaedah yang mudah dan cekap untuk mengisi jurang dalam jadual dengan nilai perantaraan. Menggunakan teknik ini, kita boleh memperoleh hasil yang tepat dengan cepat dan mudah.
Panduan praktikal untuk melakukan interpolasi kuadratik dengan cekap.
Untuk melakukan interpolasi kuadratik dengan cekap, adalah penting untuk mengikuti beberapa langkah mudah. Pertama, anda perlu mempunyai mata yang diketahui yang akan digunakan untuk interpolasi. Kemudian, anda perlu mengira pekali fungsi kuadratik yang melalui titik ini.
Untuk mengira pekali fungsi kuadratik, kita boleh menggunakan kaedah kuasa dua terkecil. Kaedah ini terdiri daripada mencari fungsi kuadratik yang meminimumkan jumlah kuasa dua perbezaan antara nilai yang dikira dan nilai sebenar titik yang diketahui.
Sebaik sahaja pekali fungsi kuadratik telah dikira, kita boleh menggunakannya untuk menginterpolasi nilai antara titik yang diketahui. Untuk melakukan ini, hanya palamkan nilai yang dikehendaki ke dalam fungsi kuadratik dan dapatkan nilai interpolasi yang sepadan.
Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa interpolasi kuadratik adalah lebih tepat daripada interpolasi linear kerana ia mengambil kira kelengkungan data. Walau bagaimanapun, adalah penting untuk ambil perhatian bahawa interpolasi kuadratik boleh membawa kepada hasil yang kurang tepat di kawasan yang jauh daripada titik yang diketahui.
Oleh itu, apabila melakukan interpolasi kuadratik, adalah penting untuk memastikan bahawa titik yang diketahui diagihkan sama rata dan fungsi kuadratik dikira dengan betul. Ini membolehkan hasil interpolasi yang lebih tepat dan boleh dipercayai.
Interpolasi Linear: Kaedah, Latihan Selesai
Interpolasi linear ialah kaedah yang diperoleh daripada interpolasi dan penghampiran Newton umum untuk menentukan nilai yang tidak diketahui yang terletak di antara dua nombor; iaitu, nilai perantaraan ditemui. Ia juga digunakan untuk fungsi anggaran di mana nilai f (a) dan f (b) diketahui dan anda ingin mengetahui perantaraan f (x).
Terdapat pelbagai jenis interpolasi, termasuk interpolasi linear, kuadratik, padu dan lebih tinggi, dengan yang paling mudah ialah penghampiran linear. Pertukaran dengan interpolasi linear ialah hasilnya tidak akan setepat dengan anggaran menggunakan fungsi tertib lebih tinggi.
Definisi
Interpolasi linear ialah proses yang membolehkan anda menyimpulkan nilai antara dua nilai yang jelas, yang boleh berada dalam jadual atau graf linear.
Sebagai contoh, jika anda tahu bahawa 3 liter susu bernilai $4 dan 5 liter bernilai $7, tetapi anda ingin tahu apakah nilai 4 liter susu, anda interpolasi untuk mencari nilai pertengahan itu.
Kaedah
Untuk menganggarkan nilai pertengahan bagi sesuatu fungsi, fungsi f (x) dianggarkan melalui garis r (x) , yang bermaksud bahawa fungsi tersebut berubah secara linear dengan "x" untuk bahagian "x = a" dan "x = b"; iaitu, untuk nilai "x" dalam selang (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , nilai "y" diberikan oleh garis antara titik dan dinyatakan oleh hubungan berikut:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Agar interpolasi menjadi linear, polinomial interpolasi mestilah darjah satu (n = 1) supaya ia sesuai dengan nilai x0 dan x1.
Interpolasi linear adalah berdasarkan kesamaan segi tiga, supaya dengan memperoleh ungkapan sebelumnya secara geometri, adalah mungkin untuk mendapatkan nilai «y», yang mewakili nilai yang tidak diketahui untuk «x».
Oleh itu, anda mesti:
a = tan Ɵ = (kaki bertentangan 1 ÷ kaki bersebelahan 1 ) = (kaki bertentangan 2 ÷ kaki bersebelahan 2 )
Dinyatakan dengan cara lain, ia adalah:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Mengalih keluar "dan" daripada ungkapan, anda mempunyai:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Oleh itu, persamaan am untuk interpolasi linear diperolehi:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Secara umum, interpolasi linear memberikan ralat kecil pada nilai sebenar fungsi sebenar, walaupun ralat adalah minimum berbanding dengan nombor intuitif nombor yang hampir dengan yang dijumpai.
Ralat ini berlaku apabila cuba menganggarkan nilai lengkung dengan garis lurus; dalam kes sedemikian, saiz selang mesti dikurangkan untuk membuat anggaran lebih tepat.
Untuk hasil penghampiran terbaik, anda dinasihatkan untuk menggunakan fungsi darjah 2, 3 atau darjah yang lebih tinggi untuk melakukan interpolasi. Untuk kes ini, teorem Taylor adalah alat yang sangat berguna.
Latihan yang diselesaikan
Latihan 1
Bilangan bakteria per unit isipadu dalam pengeraman selepas x jam ditunjukkan dalam jadual berikut. Anda ingin mengetahui jumlah bakteria dalam tempoh 3,5 jam.
Penyelesaian
Jadual rujukan tidak menetapkan nilai yang menunjukkan bilangan bakteria dalam tempoh 3,5 jam, tetapi terdapat nilai yang lebih tinggi dan lebih rendah yang sepadan dengan tempoh 3 dan 4 jam, masing-masing. Oleh itu:
x 0 = 3 dan 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 dan 1 = 135
Sekarang persamaan matematik digunakan untuk mencari nilai interpolasi, iaitu seperti berikut:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Kemudian nilai yang sepadan digantikan:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y=113.
Oleh itu, diperolehi bahawa, untuk tempoh 3,5 jam, jumlah bakteria ialah 113, yang mewakili tahap pertengahan antara isipadu bakteria yang wujud pada masa 3 dan 4 jam.
Latihan 2
Luis memiliki sebuah kilang aiskrim dan ingin menjalankan kajian untuk menentukan pendapatan Ogosnya berdasarkan perbelanjaannya. Pentadbir syarikat membuat graf yang menggambarkan hubungan ini, tetapi Luis ingin tahu:
Apakah hasil untuk bulan Ogos jika perbelanjaan sebanyak $55.000 dibuat?
Penyelesaian
Graf yang menunjukkan angka hasil dan perbelanjaan disediakan. Luis ingin tahu apakah hasil bulan Ogos jika kilang itu mempunyai perbelanjaan sebanyak $55.000. Angka ini tidak ditunjukkan secara langsung dalam graf, tetapi angkanya lebih tinggi dan lebih rendah daripada itu.
Pertama, jadual dibuat untuk mengaitkan nilai dengan mudah:
Sekarang formula interpolasi digunakan untuk menentukan nilai y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Kemudian nilai yang sepadan digantikan:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $68.936.
Jika perbelanjaan sebanyak $55.000 dibuat pada bulan Ogos, hasil ialah $68.936.
Rujukan
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra dan Trigonometri dengan Geometri Analitik. Pendidikan Pearson.
- Harpe, P. d. (2000) Topik dalam Teori Kumpulan Geometrik. Universiti Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolasi linear », Ensiklopedia Matematik.
- JM (1998). Elemen kaedah berangka untuk kejuruteraan. UASLP.
- E. (2002). Kronologi interpolasi: daripada astronomi purba kepada isyarat moden dan pemprosesan imej. Prosiding IEEE.
- angka, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.