Taburan kebarangkalian diskret ialah model matematik yang menerangkan kejadian peristiwa dengan nilai terhingga diskret. Taburan ini dicirikan oleh sifatnya, seperti jumlah kebarangkalian semua hasil yang mungkin sama dengan 1 dan kehadiran parameter yang menentukan bentuk taburan. Dalam artikel ini, kita akan meneroka ciri-ciri taburan kebarangkalian diskret yang paling biasa, seperti taburan Bernoulli, taburan binomial, taburan Poisson dan taburan geometri, serta membentangkan beberapa latihan praktikal untuk memahami konsep ini dengan lebih baik.
Memahami konsep taburan kebarangkalian diskret: penjelasan yang mudah dan jelas.
Untuk memahami konsep taburan kebarangkalian diskret, adalah penting untuk memahami bahawa ia adalah fungsi matematik yang mengaitkan kebarangkalian dengan setiap kemungkinan hasil percubaan rawak. Dalam erti kata lain, taburan kebarangkalian diskret membolehkan kita menentukan peluang setiap hasil yang berlaku dalam satu set kemungkinan terhingga atau terbilang.
Taburan kebarangkalian diskret dicirikan oleh fungsi kebarangkaliannya, yang memberikan setiap hasil nilai bukan negatif, dengan jumlah semua kebarangkalian adalah sama dengan 1. Tambahan pula, hasil yang mungkin adalah berbeza dan terpencil, tanpa kemungkinan nilai perantaraan berlaku.
Contoh klasik bagi taburan kebarangkalian diskret ialah taburan Poisson, digunakan secara meluas dalam proses mengira, seperti bilangan peristiwa yang berlaku dalam tempoh masa tertentu. Satu lagi contoh biasa ialah taburan binomial, yang memodelkan eksperimen dengan hanya dua kemungkinan hasil, seperti kejayaan atau kegagalan.
Untuk menggunakan teori taburan kebarangkalian diskret, adalah perlu untuk memahami sifat dan ciri khusus mereka, serta dapat mengira kebarangkalian dan mentafsir keputusan. Latihan praktikal adalah penting untuk mendalami pemahaman dan membangunkan kemahiran dalam bidang kebarangkalian ini.
Ketahui tentang taburan diskret utama yang digunakan dalam statistik dan kebarangkalian.
Ketahui tentang taburan diskret utama yang digunakan dalam statistik dan kebarangkalian. Taburan kebarangkalian diskret adalah alat penting dalam analisis statistik, membolehkan pemodelan dan ramalan peristiwa rawak. Antara taburan diskret utama ialah taburan Bernoulli, taburan binomial, taburan geometri, taburan Poisson, dan taburan hipergeometrik.
A Pengagihan Bernoulli digunakan untuk memodelkan eksperimen dengan hanya dua kemungkinan hasil, seperti kejayaan dan kegagalan. taburan binomial Ia digunakan dalam situasi di mana terdapat bilangan tetap percubaan bebas, dengan hanya dua kemungkinan hasil dalam setiap percubaan, seperti kejayaan dan kegagalan.
A taburan geometri digunakan untuk memodelkan bilangan percubaan sehingga kejayaan pertama dalam urutan eksperimen bebas. Pengagihan Poisson digunakan untuk memodelkan kejadian jarang berlaku dalam selang masa atau ruang tertentu.
Akhirnya, taburan hipergeometrik Ia digunakan untuk memodelkan eksperimen di mana terdapat pilihan tanpa penggantian elemen daripada populasi terhingga, dengan minat dalam bilangan kejayaan dalam sampel tertentu.
Untuk lebih memahami taburan diskret ini dan cara menerapkannya, adalah penting untuk berlatih melalui latihan. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pengagihan ini boleh membantu mengukuhkan pengetahuan dan mempertajam kemahiran statistik dan kebarangkalian.
Oleh itu, apabila mengkaji statistik dan kebarangkalian, adalah penting untuk mengetahui ciri-ciri dan aplikasi bagi taburan diskret utama, seperti taburan Bernoulli, taburan binomial, taburan geometri, taburan Poisson, dan taburan hipergeometrik.
Jenis taburan kebarangkalian: pelajari tentang pelbagai bentuk taburan statistik.
Taburan kebarangkalian ialah model matematik yang menerangkan tingkah laku rawak sesuatu fenomena. Terdapat pelbagai jenis taburan kebarangkalian, masing-masing mempunyai ciri dan aplikasinya sendiri. Dalam artikel ini, kami akan menumpukan pada taburan kebarangkalian diskret, yang dikaitkan dengan pembolehubah diskret—yang boleh menganggap nilai tertentu yang boleh dikira.
Beberapa taburan kebarangkalian diskret yang paling biasa termasuk taburan seragam, taburan binomial, taburan Poisson, dan taburan geometri. Setiap pengedaran ini mempunyai sifat tersendiri dan digunakan dalam konteks statistik yang berbeza.
Taburan seragam, sebagai contoh, dicirikan dengan memberikan kebarangkalian yang sama kepada semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah diskret. Taburan binomial digunakan untuk memodelkan bilangan kejayaan dalam urutan percubaan bebas, setiap satu dengan kebarangkalian kejayaan yang sama. Pengagihan Poisson pula digunakan untuk memodelkan bilangan kejadian yang jarang berlaku dalam selang masa atau ruang. Dan taburan geometri digunakan untuk memodelkan bilangan percubaan yang diperlukan sehingga kejayaan pertama dalam urutan percubaan bebas.
Untuk lebih memahami cara pengedaran ini berfungsi, adalah penting untuk berlatih dengan latihan. Sebagai contoh, kita boleh mengira kebarangkalian mendapat tepat 3 kepala dalam 5 lambungan syiling saksama menggunakan taburan binomial. Atau kita boleh menentukan kebarangkalian sekurang-kurangnya 2 peristiwa berlaku dalam selang masa tertentu menggunakan taburan Poisson.
Dengan memahami ciri dan aplikasi pengagihan ini, statistik dan profesional sains yang berkaitan boleh membuat keputusan yang lebih termaklum dan tepat berdasarkan data kebarangkalian.
Pembolehubah yang manakah dianggap diskret dalam kebarangkalian?
Dalam kebarangkalian, pembolehubah diskret ialah pembolehubah yang boleh menganggap bilangan nilai terhingga atau boleh dikira. Ini bermakna pembolehubah diskret ialah pembolehubah yang boleh dikira, biasanya diwakili oleh integer. Contohnya, bilangan kereta di tempat letak kereta, bilangan pelajar dalam bilik darjah, dan bilangan muka pada dadu adalah semua contoh pembolehubah diskret.
Pembolehubah ini berbeza daripada pembolehubah berterusan, yang boleh menganggap bilangan nilai yang tidak terhingga dalam julat tertentu. Walaupun pembolehubah diskret mempunyai nilai khusus, diskret, pembolehubah selanjar boleh menganggap sebarang nilai dalam julat berterusan. Sebagai contoh, ketinggian seseorang, masa yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas dan suhu bilik adalah contoh pembolehubah berterusan.
Oleh itu, pembolehubah diskret dalam kebarangkalian ialah pembolehubah yang boleh dikira dan mengambil nilai tertentu, berasingan, berbanding pembolehubah berterusan yang boleh mengambil sebarang nilai dalam julat.
Taburan Kebarangkalian Diskret: Ciri-ciri, Latihan
As taburan kebarangkalian diskret ialah fungsi yang dikaitkan dengan setiap elemen X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, dengan X ialah pembolehubah rawak diskret yang diberikan dan S ialah ruang pensampelan, kebarangkalian peristiwa ini berlaku. Fungsi f bagi X(S) ini ditakrifkan sebagai f(xi) = P(X = xi) kadangkala dipanggil fungsi kebarangkalian jisim.
Jisim kebarangkalian ini biasanya diwakili dalam bentuk jadual. Oleh kerana X ialah pembolehubah rawak diskret, X(S) mempunyai sama ada bilangan peristiwa terhingga atau tak terhingga. Antara taburan kebarangkalian diskret yang paling biasa ialah taburan seragam, taburan binomial, dan taburan Poisson.
ciri-ciri
Fungsi taburan kebarangkalian mesti memenuhi syarat berikut:
Tambahan pula, jika X mengambil hanya nombor terhingga nilai (cth., x1, x2, …, xn), maka p(xi) = 0 jika i > n dan, oleh itu, siri tak terhingga keadaan b menjadi siri terhingga
Fungsi ini juga memenuhi sifat berikut:
Biarkan B ialah peristiwa yang dikaitkan dengan pembolehubah rawak X. Ini bermakna B terkandung dalam X(S). Secara khusus, katakan bahawa B = {xi1, xi2,…}. Oleh itu:
Dengan kata lain: kebarangkalian kejadian B adalah sama dengan jumlah kebarangkalian hasil individu yang dikaitkan dengan B.
Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa jika
Jenis
Pengagihan seragam pada n titik
Pembolehubah rawak X dikatakan mengikuti taburan yang dicirikan sebagai seragam pada n titik jika setiap nilai mempunyai kebarangkalian yang sama ditetapkan. Fungsi jisim kebarangkaliannya ialah:
Katakan kita mempunyai percubaan dengan dua kemungkinan hasil: ia boleh membalikkan syiling yang kemungkinan hasil adalah kepala atau ekor, atau memilih integer yang hasilnya boleh menjadi nombor ganjil atau genap; Percubaan jenis ini dikenali sebagai ujian Bernoulli.
Secara umum, dua kemungkinan hasil dipanggil kejayaan dan kegagalan, di mana p ialah kebarangkalian kejayaan dan 1-p ialah kebarangkalian kegagalan. Kita boleh menentukan kebarangkalian x kejayaan dalam n percubaan Bernoulli bebas dengan taburan berikut.
Taburan binomial
Fungsi ini mewakili kebarangkalian memperoleh x kejayaan dalam n percubaan Bernoulli bebas, yang kebarangkalian kejayaannya ialah p. Fungsi jisim kebarangkaliannya ialah:
Graf berikut mewakili fungsi jisim kebarangkalian untuk nilai berbeza bagi parameter taburan binomial.
Taburan berikut berhutang namanya kepada ahli matematik Perancis Simeon Poisson (1781-1840), yang memperolehnya sebagai had taburan binomial.
Pengagihan Poisson
Pembolehubah rawak X dikatakan mempunyai taburan Poisson bagi parameter λ apabila ia boleh menerima nilai integer positif 0,1,2,3, … dengan kebarangkalian berikut:
Dalam ungkapan ini, λ ialah bilangan purata kejadian bagi setiap unit masa dan x ialah bilangan kali peristiwa itu berlaku.
Fungsi kebarangkalian jisimnya ialah:
Di bawah ialah graf yang mewakili fungsi jisim kebarangkalian untuk nilai parameter taburan Poisson yang berbeza.
Ambil perhatian bahawa selagi bilangan kejayaan adalah rendah dan bilangan ujian yang dilakukan pada taburan binomial adalah tinggi, kita sentiasa boleh menganggarkan taburan ini, kerana taburan Poisson ialah had taburan binomial.
Perbezaan utama antara kedua-dua taburan ini ialah, manakala binomial bergantung pada dua parameter – nep –, Poisson hanya bergantung pada λ, yang kadangkala dipanggil keamatan taburan.
Setakat ini, kami hanya bercakap tentang taburan kebarangkalian untuk kes di mana eksperimen berbeza adalah bebas antara satu sama lain; iaitu apabila kesudahan seseorang tidak dipengaruhi oleh kesudahan yang lain.
Apabila eksperimen tidak bebas, taburan hipergeometrik sangat berguna.
Taburan hipergeometrik
Biarkan N ialah jumlah bilangan objek dalam set terhingga, yang mana kita boleh mengenal pasti k dalam beberapa cara, membentuk subset K, yang pelengkapnya dibentuk oleh unsur Nk yang tinggal.
Jika kita memilih n objek secara rawak, pembolehubah rawak X yang mewakili bilangan objek kepunyaan K dalam pilihan itu akan mempunyai taburan hipergeometri parameter N, n, dan k. Fungsi kebarangkalian jisimnya ialah:
Graf berikut mewakili fungsi jisim kebarangkalian untuk nilai parameter taburan hipergeometrik yang berbeza.
Latihan yang diselesaikan
Senaman pertama
Katakan kebarangkalian bahawa tiub radio (diletakkan dalam jenis peralatan tertentu) akan berfungsi selama lebih daripada 500 jam ialah 0,2. Jika 20 tiub diuji, apakah kebarangkalian bahawa betul-betul k daripadanya akan berfungsi selama lebih daripada 500 jam, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Penyelesaian
Jika X ialah bilangan tiub yang berjalan selama lebih daripada 500 jam, kita akan menganggap bahawa X mempunyai taburan binomial. Kemudian
Dan sebagainya:
Untuk k≥11, kemungkinan kurang daripada 0,001
Oleh itu, kita boleh melihat bagaimana kebarangkalian k ini bekerja lebih daripada 500 jam meningkat, sehingga ia mencapai nilai maksimumnya (dengan k = 4) dan kemudian mula berkurangan.
senaman ke-2
Sekeping syiling diterbalikkan sebanyak 6 kali. Apabila hasilnya adalah kepala, kami memanggilnya kejayaan. Apakah kebarangkalian tepat dua kepala?
Penyelesaian
Untuk kes ini, kita mempunyai n = 6 dan kebarangkalian kejayaan dan kegagalan ialah p = q = 1/2
Oleh itu, kebarangkalian dua muka diberi (iaitu, k = 2) ialah
Latihan ketiga
Apakah kebarangkalian untuk mencari sekurang-kurangnya empat muka?
Penyelesaian
Untuk kes ini, kita mempunyai k = 4, 5 atau 6
Latihan ketiga
Katakan 2% daripada barangan yang dihasilkan di kilang rosak. Cari kebarangkalian P bahawa terdapat tiga item yang rosak dalam sampel 100 item.
Penyelesaian
Untuk kes ini, kita boleh menggunakan taburan binomial untuk n = 100 dan p = 0,02, memperoleh hasilnya:
Walau bagaimanapun, oleh kerana p adalah kecil, kami menggunakan anggaran Poisson dengan λ = np = 2. Oleh itu
Rujukan
- Kai Lai Chung: Teori Kebarangkalian Elementary dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Matematik Diskret dan Aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Kebarangkalian dan aplikasi statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Menyelesaikan Masalah dalam Matematik Diskret. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah dalam Teori dan Kebarangkalian. McGraw-HILL