De Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling die het aantal keren beschrijft dat een gebeurtenis zich voordoet in een specifiek tijds- of ruimte-interval, wanneer het gemiddelde aantal keren bekend is. De verdeling wordt veel gebruikt in diverse vakgebieden, zoals statistiek, techniek, geneeskunde en financiën.
De formule voor de Poisson-verdeling wordt gegeven door P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!, waarbij λ het gemiddelde aantal keren is dat de gebeurtenis voorkomt, k het gewenste aantal keren is dat de gebeurtenis voorkomt en e de constante van Euler is (ongeveer 2,71828).
Deze verdeling heeft een aantal belangrijke eigenschappen, zoals onafhankelijkheid tussen gebeurtenissen, een constante frequentie en de afwezigheid van gelijktijdige gebeurtenissen. Bovendien kan de Poissonverdeling worden benaderd met de normale verdeling wanneer het gemiddelde aantal gebeurtenissen groot is.
Welke vergelijking wordt in de Poisson-verdeling gebruikt om waarschijnlijkheden te berekenen?
De Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling die het aantal keren beschrijft dat een gebeurtenis zich binnen een specifiek tijdsinterval of in een specifiek gebied voordoet. De vergelijking die in de Poisson-verdeling wordt gebruikt om waarschijnlijkheden te berekenen, is als volgt:
P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
Waar:
- P(X = k) is de waarschijnlijkheid dat precies k gebeurtenissen in een bepaald tijdsinterval of gebied plaatsvinden.
- λ is de gemiddelde frequentie waarmee gebeurtenissen per tijdseenheid of oppervlakte voorkomen.
- e is de wiskundige constante ongeveer gelijk aan 2,71828.
- k is het aantal gebeurtenissen waarvan we de waarschijnlijkheid willen berekenen.
- k! vertegenwoordigt de faculteit van k, die het product is van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan k.
Met deze vergelijking kunnen we de waarschijnlijkheid bepalen van precies k gebeurtenissen in een bepaalde context, gebaseerd op de gemiddelde frequentie waarmee deze gebeurtenissen voorkomen. De Poisson-verdeling wordt veel gebruikt in de statistiek om situaties te modelleren waarin zeldzame gebeurtenissen onafhankelijk en met een constante frequentie voorkomen.
Fundamentele kenmerken van het Poissonproces.
De Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling die het aantal gebeurtenissen beschrijft dat zich binnen een vast tijdsinterval of ruimte voordoet. De verdeling heeft verschillende fundamentele kenmerken die haar bruikbaar maken in diverse vakgebieden, waaronder statistiek, wiskunde, techniek en natuurwetenschappen.
De formule voor de Poisson-verdeling luidt: P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!, Waar x vertegenwoordigt het aantal gebeurtenissen dat plaatsvindt in het interval van belang en λ is de parameter die de gemiddelde frequentie waarmee gebeurtenissen voorkomen, weergeeft.
Het Poisson-model is geschikt voor situaties waarin gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar plaatsvinden en de frequentie ervan constant is in tijd of ruimte. De Poisson-verdeling kan bijvoorbeeld worden gebruikt om het aantal oproepen te modelleren dat een callcenter in een bepaald uur ontvangt.
Enkele belangrijke eigenschappen van de Poisson-verdeling zijn onder meer het gemiddelde en de variantie, die gelijk zijn aan de parameter λBovendien is de Poisson-verdeling niet-negatief en heeft geen bovengrens.
Dankzij zijn fundamentele kenmerken en unieke eigenschappen speelt het een sleutelrol in statistische analyses en besluitvorming in uiteenlopende contexten.
Hoe bereken je de Poisson-verdeling: stap voor stap en praktische voorbeelden.
Om de Poisson-verdeling te berekenen, is het belangrijk om een paar stappen te volgen en de juiste formules te gebruiken. De Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling die het aantal gebeurtenissen beschrijft dat zich in een specifiek tijdsinterval of ruimte voordoet, gegeven een gemiddelde frequentie van voorkomen van die gebeurtenissen.
De formule voor de Poisson-verdeling is:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Waar:
- P(X = k) is de waarschijnlijkheid dat precies k gebeurtenissen plaatsvinden
- e is de basis van de natuurlijke logaritme
- λ is de gemiddelde frequentie van het optreden van gebeurtenissen
- k is het aantal gebeurtenissen waarvan we de waarschijnlijkheid willen berekenen
- k! is de faculteit van k
Om de Poisson-verdeling te berekenen, volgt u deze stappen:
1. Bepaal de gemiddelde frequentie van het optreden van gebeurtenissen (λ)
2. Kies het aantal gebeurtenissen waarvan u de waarschijnlijkheid van (k) wilt berekenen
3. Vervang de waarden in de Poisson-verdelingsformule
4. Bereken het eindresultaat
Als het gemiddelde aantal ongelukken op een straathoek bijvoorbeeld 2 per week is, wat is dan de kans dat er precies 3 ongelukken in een week plaatsvinden?
Met behulp van de formule voor de Poisson-verdeling hebben we:
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (0.1353) * (8) / 6 = 0.1804
De kans dat er precies 3 ongelukken in een week gebeuren is dus 0.1804, oftewel 18.04%.
Hoe vind je de gemiddelde waarde van gebeurtenissen in een specifiek tijdsinterval?
Om de gemiddelde waarde van gebeurtenissen in een specifiek tijdsinterval te bepalen, kunnen we de Poisson-verdeling gebruiken. Deze verdeling wordt veel gebruikt om het optreden van zeldzame gebeurtenissen in een vast tijdsinterval te modelleren, zoals het aantal oproepen dat een callcenter binnen een uur ontvangt.
De formule voor de Poisson-verdeling wordt gegeven door:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Waar:
- P(X = k) is de waarschijnlijkheid dat k gebeurtenissen in het tijdsinterval voorkomen.
- e is de constante van Euler, ongeveer gelijk aan 2.71828.
- λ is het gemiddelde aantal gebeurtenissen per tijdseenheid.
- k is het aantal gebeurtenissen dat we willen analyseren.
- k! vertegenwoordigt de faculteit van k.
Een van de belangrijkste eigenschappen van de Poisson-verdeling is dat de gemiddelde waarde ervan gelijk is aan het gemiddelde. Dat wil zeggen dat het gemiddelde van gebeurtenissen in een specifiek tijdsinterval wordt gegeven door λ.
Om de gemiddelde waarde van gebeurtenissen in een specifiek tijdsinterval te vinden, gebruikt u eenvoudigweg het gemiddelde aantal gebeurtenissen per tijdseenheid, weergegeven door λ in de formule voor de Poisson-verdeling.
Poisson-verdeling: formules, vergelijkingen, model, eigenschappen
A Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling, waaruit de waarschijnlijkheid bekend is dat, binnen een groot monster en gedurende een bepaald interval, een gebeurtenis met een kleine waarschijnlijkheid kan optreden.
Vaak kan de Poisson-verdeling worden gebruikt in plaats van de binominale verdeling, mits aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: grote steekproefomvang en kleine waarschijnlijkheid.
Siméon-Denis Poisson (1781-1840) ontwikkelde deze naar hem vernoemde verdeling, die zeer nuttig is bij onvoorspelbare gebeurtenissen. Poisson publiceerde zijn resultaten in 1837, een onderzoeksartikel over de waarschijnlijkheid van onterechte straffen.
Later pasten andere onderzoekers de verdeling aan op andere gebieden, bijvoorbeeld het aantal sterren dat in een bepaald volume in de ruimte kon worden gevonden of de kans dat een soldaat stierf door een trap van een paard.
Formules en vergelijkingen
De wiskundige vorm van de Poisson-verdeling is als volgt:
- μ (soms ook aangeduid als λ) is het gemiddelde of de parameter van de verdeling
– Euler’s getal: e = 2.71828
– De kans om y = k te verkrijgen is P
- k is het aantal successen 0, 1,2,3, XNUMX, XNUMX …
- n is het aantal tests of gebeurtenissen (steekproefgrootte)
Discrete stochastische variabelen zijn, zoals de naam al aangeeft, afhankelijk van toeval en nemen alleen discrete waarden aan: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.
De gemiddelde verdeling wordt gegeven door:
De variantie σ, die de spreiding van de data meet, is een andere belangrijke parameter. Voor de Poisson-verdeling is deze:
σ = μ
Poisson stelde vast dat wanneer n → ∞ en p → 0, de gemiddelde µ – ook wel verwachte waarde – neigt naar een constante:
μ → constante
Belangrijk : p is de waarschijnlijkheid dat de gebeurtenis plaatsvindt, rekening houdend met de totale populatie, terwijl P(y) is de Poisson-voorspelling voor het monster.
Model en eigenschappen
De Poisson-verdeling heeft de volgende eigenschappen:
-De steekproefomvang is groot: n → ∞.
-De beschouwde gebeurtenissen of gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar en vinden willekeurig plaats.
-De waarschijnlijkheid P dat een bepaalde gebeurtenis e gedurende een bepaalde periode plaatsvindt, is zeer klein: P → 0 .
-De waarschijnlijkheid dat er meer dan één gebeurtenis in het tijdsinterval plaatsvindt, is 0.
-De gemiddelde waarde benadert een constante gegeven door: μ = np ( n is de steekproefomvang )
-Omdat de spreiding σ gelijk is aan μ, wordt de variabiliteit ook groter naarmate deze grotere waarden aanneemt.
-Gebeurtenissen moeten gelijkmatig verdeeld zijn over het gebruikte tijdsinterval.
-De set van mogelijke gebeurteniswaarden e is: 0,1,2,3,4….
-De som van i Variabelen die een Poisson-verdeling volgen, zijn ook Poisson-variabelen. Hun gemiddelde waarde is de som van de gemiddelde waarden van deze variabelen.
Verschillen met de binominale verdeling
De Poisson-verdeling verschilt van de binominale verdeling op de volgende belangrijke punten:
-De binominale verdeling wordt beïnvloed door de steekproefomvang en de waarschijnlijkheid P , maar de Poisson-verdeling wordt alleen beïnvloed door μ gemiddeld .
-In een binominale verdeling zijn de mogelijke waarden van de stochastische variabele e zijn 0,1,2, …, N, maar in de Poisson-verdeling is er geen bovengrens voor deze waarden.
Voorbeelden
Poisson paste zijn beroemde distributie aanvankelijk toe in rechtszaken, maar op industrieel niveau werd het voor het eerst toegepast bij het brouwen van bier. Bij dit proces worden gistculturen gebruikt voor de fermentatie.
Gist bestaat uit levende cellen, waarvan de populatie in de loop van de tijd varieert. Bij het brouwen van bier moet je de benodigde hoeveelheid toevoegen, dus het is belangrijk om het aantal cellen per volume-eenheid te weten.
Tijdens de Tweede Wereldoorlog werd de Poisson-verdeling gebruikt om te bepalen of de Duitsers Londen daadwerkelijk vanuit Calais aanvielen of gewoon lukraak vuurden. Dit was belangrijk voor de geallieerden om te bepalen hoe goed de technologie was waarover de nazi's beschikten.
Praktische toepassingen
Toepassingen van de Poisson-verdeling hebben altijd betrekking op tellingen in tijd of ruimte. En omdat de kans op voorkomen klein is, staat deze ook bekend als de "wet van zeldzame gebeurtenissen".
Hier is een lijst met evenementen die in een van deze categorieën vallen:
- Registratie van deeltjes in een radioactief verval, dat, net als de groei van gistcellen, een exponentiële functie is.
-Aantal bezoeken aan een specifieke website.
– Aankomst van mensen in de rij om te betalen of bediend te worden (wachtrijtheorie).
– Aantal auto’s dat gedurende een bepaalde tijd een bepaald punt op de weg passeert.
-Mutaties die optreden in een bepaalde DNA-keten na blootstelling aan straling.
-Het aantal meteorieten met een diameter groter dan 1 m dat in één jaar is gevallen.
– Defecten per vierkante meter stof.
-Aantal bloedcellen in 1 kubieke centimeter.
-Oproepen per minuut naar een telefooncentrale.
– Chocoladestukjes aanwezig in 1 kg cakebeslag.
-Aantal bomen dat besmet is met een bepaalde parasiet in 1 hectare bos.
Houd er rekening mee dat deze willekeurige variabelen het aantal keren weergeven dat een gebeurtenis plaatsvindt gedurende een vaste periode ( oproepen per minuut naar de telefooncentrale ) of een bepaald gebied in de ruimte ( defecten van een stof per vierkante meter ).
Deze gebeurtenissen zijn, zoals reeds vastgesteld, onafhankelijk van de tijd die is verstreken sinds de laatste gebeurtenis.
Benadering van de binominale verdeling met de Poisson-verdeling
De Poisson-verdeling is een goede benadering van de binominale verdeling, omdat:
-De steekproefomvang is groot: n≥ 100
-De waarschijnlijkheid voet klein: p ≤ 0,1
- μ in de volgorde zijn van: np ≤ 10
In deze gevallen is de Poisson-verdeling een uitstekend hulpmiddel, omdat de binominale verdeling in deze gevallen lastig toe te passen kan zijn.
Opgeloste oefeningen
Oefening 1
Een seismologisch onderzoek heeft vastgesteld dat er in de afgelopen 100 jaar wereldwijd 93 zware aardbevingen zijn geweest met een kracht van ten minste 6,0 op de logaritmische schaal van Richter. Neem aan dat de Poisson-verdeling in dit geval een geschikt model is. Bereken:
a) Het gemiddelde aantal grote aardbevingen per jaar.
b) Als P(y) voor de waarschijnlijkheid van voorkomen e aardbevingen gedurende een willekeurig gekozen jaar, bepaal de volgende waarschijnlijkheid:
P (0) P (1) P (2) P (3) P (4) P (5) P (6) en P (7).
c) De werkelijke resultaten van het onderzoek zijn als volgt:
- 47 jaar (0 aardbevingen)
– 31 jaar (1 aardbeving)
– 13 jaar (2 aardbeving)
– 5 jaar (3 aardbeving)
– 2 jaar (4 aardbeving)
– 0 jaar (5 aardbeving)
– 1 jaar (6 aardbevingen)
– 1 jaar (7 aardbevingen)
Hoe verhouden deze resultaten zich tot die verkregen in deel b? Is de Poisson-verdeling een goede keuze voor het modelleren van deze gebeurtenissen?
Oplossing a)
a) Aardbevingen zijn gebeurtenissen waarvan de waarschijnlijkheid p is klein en we beschouwen een beperkte tijdsperiode van één jaar. De gemiddelde aardbeving is:
μ = 93/100 aardbevingen/jaar = 0,93 aardbevingen per jaar.
Oplossing b)
b) Om de gevraagde waarschijnlijkheid te berekenen, worden de waarden in de aan het begin gegeven formule ingevuld:
y = 2
µ = 0,93
e = 2.71828
Het is veel kleiner dan P(2).
De resultaten vindt u hieronder:
P(0) = 0,395, P(1) = 0,367, P(2) = 0,171, P(3) = 0,0529, P(4) = 0,0123, P(5) = 0,00229, P(6) = 0,000355, P(7) = 0,0000471.
We kunnen bijvoorbeeld zeggen dat er een kans van 39,5% is dat er in een bepaald jaar geen grote aardbevingen plaatsvinden. Of dat er 5,29% van de drie grote aardbevingen in dat jaar plaatsvinden.
Oplossing c)
c) De frequenties worden geanalyseerd door vermenigvuldiging met n = 100 jaar:
39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 en 0,00471.
Bv
– Een frequentie van 39,5 geeft aan dat in 39,5 van de 100 jaar waarin zich 0 grote aardbevingen voordoen, we kunnen zeggen dat dit vrij dicht bij het werkelijke resultaat van 47 jaar zonder grote aardbevingen ligt.
Laten we nog een Poisson-resultaat vergelijken met de werkelijke resultaten:
De waarde van 36,7 betekent dat er elke 37 jaar één grote aardbeving plaatsvindt. De werkelijke uitkomst is dat er elke 31 jaar één grote aardbeving plaatsvindt, wat goed overeenkomt met het model.
– Er wordt 17,1 jaar verwacht met 2 grote aardbevingen, terwijl bekend is dat er in 13 jaar, wat een nauwkeurige waarde is, in feite 2 grote aardbevingen waren.
Daarom is het Poisson-model in dit geval acceptabel.
Oefening 2
Een bedrijf schat dat het aantal componenten dat faalt vóór het bereiken van 100 bedrijfsuren een Poisson-verdeling volgt. Als het gemiddelde aantal defecten op dat punt 8 is, bereken dan de volgende waarschijnlijkheid:
a) Dat een onderdeel binnen 25 uur kapotgaat.
b) Het uitvallen van minder dan twee componenten binnen 50 uur.
c) Binnen 125 uur gaan er minimaal drie componenten kapot.
Oplossing a)
a) Het is bekend dat het gemiddelde aantal storingen in 100 uur 8 bedraagt; daarom wordt in 25 uur een kwart van de storingen verwacht, dat wil zeggen 2 storingen. Dit zal de parameter zijn μ.
De waarschijnlijkheid dat 1 component faalt wordt opgevraagd, de stochastische variabele is "componenten die falen binnen 25 uur" en de waarde ervan is y = 1. Door in de waarschijnlijkheidsfunctie te substitueren:
De vraag is echter hoe waarschijnlijk het is dat minder dan twee componenten falen in 50 uur, en niet precies 2 componenten falen in 50 uur, dus de waarschijnlijkheid is:
-Geen mislukking
-Slechts 1 storing
P(minder dan 2 componenten falen) = P(0) + P(1)
P(minder dan 2 componenten falen) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915
c) Dat minstens Als er in 125 uur drie componenten kapot gaan, betekent dit dat er in die periode 3, 4, 5 of meer kapot kunnen gaan.
De waarschijnlijkheid van het optreden minstens één van meerdere gebeurtenissen is gelijk aan 1, minus de waarschijnlijkheid dat geen van de gebeurtenissen plaatsvindt.
-De gewenste gebeurtenis is dat 3 of meer componenten binnen 125 uur falen
– Dat de gebeurtenis niet plaatsvindt betekent dat er minder dan 3 componenten falen, waarvan de waarschijnlijkheid is: P(0) + P(1) + P(2)
De parameter μ van de verdeling is in dit geval:
μ = 8 + 2 = 10 storingen in 125 uur .
P(3 of meer componenten falen) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) =
Referências
- Poissonverdeling van MathWorks. Geraadpleegd van: en.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistieken voor administratie en economie. 3e editie. Iberoamerica Publishing Group.
- Stat Trek Leer jezelf Statistieken. Poisson-verdeling. Geraadpleegd van: stattrek.com,
- Triola, M. 2012. Elementaire Statistieken. 11e editie. Pearson Education.
- Wikipedia Poisson-distributie Opgehaald van: en.wikipedia.org