Lineaire interpolatie is een methode die gebruikt wordt om tussenliggende waarden tussen twee bekende punten te schatten. Deze methode houdt rekening met een lineair verband tussen de bekende punten om de relevante waarde te bepalen. Dit proces wordt veel gebruikt in diverse vakgebieden, zoals wiskunde, statistiek, techniek en andere.
In dit artikel bespreken we de lineaire interpolatiemethode en leggen we stap voor stap uit hoe je dit type berekening uitvoert. We presenteren ook voorbeelden van opgeloste oefeningen om het begrip en de praktische toepassing van deze methode te vergemakkelijken. Hiermee hopen we bij te dragen aan het begrip en de efficiënte toepassing van lineaire interpolatie in verschillende contexten.
Stapsgewijze handleiding voor het efficiënt uitvoeren van een interpolatieberekening.
Om een interpolatieberekening efficiënt uit te voeren, volgt u deze stappen:
Stap 1: Verzamel de gegevens die nodig zijn voor het interpolatieprobleem. Dit omvat de bekende waarden van de referentiepunten en de x-waarde waarvoor u wilt interpoleren.
Stap 2: Bereken het verschil tussen de bekende waarden van x die het dichtst bij de gewenste waarde van x liggen. Dit helpt bij het bepalen van het interpolatie-interval.
Stap 3: Bereken het verschil tussen de y-waarden die overeenkomen met de dichtstbijzijnde referentiepunten. Dit bepaalt de variatie van y in het interpolatie-interval.
Stap 4: Bereken met behulp van de lineaire interpolatieformule de waarde van y voor de gewenste waarde van x. De formule luidt als volgt:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Stap 5: Vul de bekende waarden in de formule in en los deze op om de waarde van y te vinden die overeenkomt met de gewenste waarde van x.
Als u deze stappen volgt, kunt u efficiënt een interpolatieberekening uitvoeren en nauwkeurige resultaten verkrijgen voor het betreffende probleem.
Wanneer is het geschikt om lineaire interpolatie te gebruiken bij wiskundige analyses of modellen?
Lineaire interpolatie is een methode die in wiskundige analyses of modellering wordt gebruikt wanneer men tussenliggende waarden wil schatten op basis van bekende waarden. Deze methode is geschikt wanneer de gegevens lineair en continu verdeeld zijn.
Als we bijvoorbeeld een tabel hebben met functiewaarden op discrete punten en we de functiewaarde voor een tussenliggend punt willen schatten, kan lineaire interpolatie een goede keuze zijn. Dit houdt in dat we een rechte lijn trekken tussen twee bekende punten en die lijn gebruiken om de gewenste waarde te schatten.
Het is belangrijk te benadrukken dat lineaire interpolatie mogelijk niet geschikt is in gevallen waarin de gegevens niet-lineair gedrag vertonen, zoals krommen of oscillaties. In dergelijke gevallen zijn andere, complexere interpolatiemethoden wellicht geschikter.
Hoe je efficiënt gaten in een tabel kunt opvullen met tussenliggende waarden.
Lineaire interpolatie is een methode om gaten in een tabel efficiënt op te vullen met tussenliggende waarden. Deze methode bestaat uit het berekenen van de ontbrekende waarden op basis van de bekende waarden in de tabel, met behulp van een eenvoudige formule.
Om lineaire interpolatie toe te passen, hebt u minimaal twee bekende punten in de tabel nodig. Vanuit deze punten kunt u de tussenliggende waarden berekenen met behulp van de volgende formule:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Waarbij Y de tussenwaarde is die we willen vinden, Y1 en Y2 de bekende waarden uit de tabel, X1 en X2 de overeenkomstige waarden van X zijn en X de waarde van X is waarvoor we de tussenwaarde Y willen vinden.
Laten we ter illustratie een praktische oefening oplossen met behulp van lineaire interpolatie. Stel dat we de volgende tabel hebben:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Laten we nu de formule voor lineaire interpolatie gebruiken om de waarde van Y te vinden wanneer X gelijk is aan 2:
J = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
De waarde van Y is dus 2 als X gelijk is aan 5.
Zoals we kunnen zien, is lineaire interpolatie een eenvoudige en efficiënte methode om gaten in een tabel op te vullen met tussenliggende waarden. Met deze techniek kunnen we snel en gemakkelijk nauwkeurige resultaten verkrijgen.
Praktische handleiding voor het efficiënt uitvoeren van kwadratische interpolatie.
Om kwadratische interpolatie efficiënt uit te voeren, is het belangrijk om een paar eenvoudige stappen te volgen. Ten eerste heb je de bekende punten nodig die voor de interpolatie gebruikt zullen worden. Vervolgens bereken je de coëfficiënten van de kwadratische functie die door deze punten gaat.
Om de coëfficiënten van een kwadratische functie te berekenen, kunnen we de kleinste-kwadratenmethode gebruiken. Deze methode bestaat uit het vinden van de kwadratische functie die de som van de kwadraten van de verschillen tussen de berekende waarden en de werkelijke waarden van de bekende punten minimaliseert.
Zodra de coëfficiënten van de kwadratische functie zijn berekend, kunnen we deze gebruiken om waarden tussen bekende punten te interpoleren. Om dit te doen, vult u eenvoudig de gewenste waarde in de kwadratische functie in en verkrijgt u de bijbehorende geïnterpoleerde waarde.
Het is belangrijk om te weten dat kwadratische interpolatie nauwkeuriger is dan lineaire interpolatie, omdat er rekening wordt gehouden met de kromming van de data. Het is echter belangrijk om te weten dat kwadratische interpolatie tot minder nauwkeurige resultaten kan leiden in gebieden ver van bekende punten.
Daarom is het bij kwadratische interpolatie cruciaal om ervoor te zorgen dat de bekende punten gelijkmatig verdeeld zijn en dat de kwadratische functie correct wordt berekend. Dit zorgt voor nauwkeurigere en betrouwbaardere interpolatieresultaten.
Lineaire interpolatie: methode, opgeloste oefeningen
Lineaire interpolatie is een methode, afgeleid van de algemene Newton-interpolatie en -benadering, om een onbekende waarde te bepalen die tussen twee getallen ligt; met andere woorden, er wordt een tussenliggende waarde gevonden. Het wordt ook toegepast op het benaderen van functies waarbij de waarden f (a) en f (b) bekend zijn en men de tussenliggende waarde van f (x) wil bepalen.
Er zijn verschillende soorten interpolatie, waaronder lineaire, kwadratische, kubieke en hogere-orde interpolatie, waarbij lineaire benadering de eenvoudigste is. Het nadeel van lineaire interpolatie is dat het resultaat niet zo nauwkeurig zal zijn als benaderingen met hogere-orde functies.
Definitie van
Lineaire interpolatie is een proces waarmee u een waarde tussen twee duidelijk gedefinieerde waarden kunt afleiden. Deze waarden kunnen in een tabel of een lineaire grafiek staan.
Stel dat u weet dat 3 liter melk $ 4 waard is en 5 liter $ 7, maar u wilt de waarde van 4 liter melk weten. Dan kunt u interpoleren om de tussenliggende waarde te vinden.
werkwijze
Om een tussenliggende waarde van een functie te schatten, wordt de functie f (x) benaderd door middel van de lijn r (x) , wat betekent dat de functie lineair varieert met "x" voor een gedeelte "x = a" en "x = b"; dat wil zeggen, voor een waarde "x" in het interval (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , wordt de waarde van "y" gegeven door de lijn tussen de punten en uitgedrukt door de volgende relatie:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Om een interpolatie lineair te laten zijn, moet het interpolatiepolynoom van graad één zijn (n = 1), zodat het past bij de waarden van x0 en x1.
Lineaire interpolatie is gebaseerd op de gelijkvormigheid van driehoeken. Door de voorgaande uitdrukking geometrisch af te leiden, is het mogelijk de waarde van «y» te verkrijgen, die de onbekende waarde voor «x» vertegenwoordigt.
Daarom moet u:
a = tan Ɵ = (overstaande zijde 1 ÷ aanliggende zijde 1 ) = (overstaande zijde 2 ÷ aanliggende zijde 2 )
Om het op een andere manier te zeggen:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Als je ‘en’ uit de uitdrukkingen verwijdert, krijg je:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Aldus wordt de algemene vergelijking voor lineaire interpolatie verkregen:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Over het algemeen geeft lineaire interpolatie een kleine fout in de werkelijke waarde van de ware functie, hoewel de fout minimaal is vergeleken met het intuïtieve getal van een getal dat dicht bij het gevonden getal ligt.
Deze fout ontstaat wanneer u de waarde van een curve probeert te benaderen met een rechte lijn. In zulke gevallen moet de intervalgrootte worden verkleind om de benadering nauwkeuriger te maken.
Voor de beste benaderingsresultaten is het raadzaam om functies van graad 2, 3 of zelfs hoger te gebruiken om de interpolatie uit te voeren. In deze gevallen is de stelling van Taylor een zeer nuttig hulpmiddel.
Opgeloste oefeningen
Oefening 1
Het aantal bacteriën per volume-eenheid in een incubatieperiode na x uur wordt weergegeven in de volgende tabel. U wilt het volume bacteriën over de periode van 3,5 uur weten.
Oplossing
De referentietabel geeft geen waarde weer die het aantal bacteriën over een periode van 3,5 uur aangeeft, maar er zijn hogere en lagere waarden die overeenkomen met een periode van respectievelijk 3 en 4 uur. Dus:
x 0 = 3 en 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 en 1 = 135
Nu wordt de wiskundige vergelijking toegepast om de geïnterpoleerde waarde te vinden, die als volgt is:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Vervolgens worden de overeenkomstige waarden gesubstitueerd:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
j = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Aldus wordt verkregen dat, gedurende een periode van 3,5 uur, het aantal bacteriën 113 bedraagt, wat een tussenniveau vertegenwoordigt tussen het volume bacteriën dat aanwezig is op tijdstippen van 3 en 4 uur.
Oefening 2
Luis is eigenaar van een ijsfabriek en wil een onderzoek uitvoeren om zijn inkomsten in augustus te bepalen op basis van zijn uitgaven. De bedrijfsleider maakt een grafiek die deze relatie weergeeft, maar Luis wil het volgende weten:
Wat is de opbrengst voor augustus als er een uitgave van $ 55.000 is gedaan?
Oplossing
Er wordt een grafiek met omzet- en kostencijfers weergegeven. Luis wil weten wat de omzet in augustus zal zijn als de fabriek $ 55.000 aan kosten heeft. Dit cijfer is niet direct terug te vinden in de grafiek, maar de cijfers zijn hoger en lager.
Eerst wordt een tabel gemaakt om de waarden eenvoudig met elkaar in verband te brengen:
Nu wordt de interpolatieformule gebruikt om de waarde van y te bepalen
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Vervolgens worden de overeenkomstige waarden gesubstitueerd:
j = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
j = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
j = 56.000 + (22.000) * (0,588)
j = 56.000 + 12.936
y = $68.936.
Als er in augustus een uitgave van $ 55.000 werd gedaan, bedroeg de opbrengst $ 68.936.
Referências
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Onderwerpen in geometrische groepentheorie. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineaire interpolatie », Encyclopedia of Mathematics.
- JM (1998). Elementen van numerieke methoden voor engineering. UASLP.
- E. (2002). Een chronologie van interpolatie: van oude astronomie tot moderne signaal- en beeldverwerking. Proceedings of the IEEE.
- numeriek, I. een. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.