Discrete kansverdelingen zijn wiskundige modellen die het optreden van gebeurtenissen met discrete, eindige waarden beschrijven. Deze verdelingen worden gekenmerkt door hun eigenschappen, zoals de som van de waarschijnlijkheden van alle mogelijke uitkomsten gelijk aan 1 en de aanwezigheid van een parameter die de vorm van de verdeling bepaalt. In dit artikel onderzoeken we de kenmerken van de meest voorkomende discrete kansverdelingen, zoals de Bernoulli-verdeling, de binominale verdeling, de Poisson-verdeling en de geometrische verdeling, en presenteren we enkele praktische oefeningen om deze concepten beter te begrijpen.
Het concept van discrete kansverdeling begrijpen: een eenvoudige en duidelijke uitleg.
Om het concept van een discrete kansverdeling te begrijpen, is het belangrijk te begrijpen dat het een wiskundige functie is die een waarschijnlijkheid koppelt aan elke mogelijke uitkomst van een willekeurig experiment. Met andere woorden, de discrete kansverdeling stelt ons in staat de kans te bepalen dat elke uitkomst voorkomt in een eindige of opsombare reeks mogelijkheden.
Een discrete kansverdeling wordt gekenmerkt door een waarschijnlijkheidsfunctie, die aan elke uitkomst een niet-negatieve waarde toekent, waarbij de som van alle waarschijnlijkheden gelijk is aan 1. Bovendien zijn de mogelijke uitkomsten verschillend en geïsoleerd, waarbij er geen mogelijkheid is dat er tussenliggende waarden voorkomen.
Een klassiek voorbeeld van een discrete kansverdeling is de Poisson-verdeling, die veel wordt gebruikt bij telprocessen, zoals het aantal gebeurtenissen dat zich in een bepaalde periode voordoet. Een ander bekend voorbeeld is de binominale verdeling, die experimenten modelleert met slechts twee mogelijke uitkomsten, zoals succes of mislukking.
Om de theorie van discrete kansverdelingen toe te passen, is het noodzakelijk om hun specifieke eigenschappen en kenmerken te begrijpen, en om waarschijnlijkheden te kunnen berekenen en de resultaten te interpreteren. Praktische oefeningen zijn essentieel om het begrip te verdiepen en vaardigheden op dit gebied van kansverdelingen te ontwikkelen.
Leer meer over de belangrijkste discrete verdelingen die in de statistiek en kansrekening worden gebruikt.
Leer meer over de belangrijkste discrete verdelingen die in de statistiek en kansrekening worden gebruikt. Discrete kansverdelingen zijn belangrijke hulpmiddelen in statistische analyses en maken het mogelijk om willekeurige gebeurtenissen te modelleren en te voorspellen. Tot de belangrijkste discrete verdelingen behoren de Bernoulli-verdeling, de binominale verdeling, de geometrische verdeling, de Poisson-verdeling en de hypergeometrische verdeling.
A Bernoulli-verdeling wordt gebruikt om experimenten te modelleren met slechts twee mogelijke uitkomsten, zoals succes en mislukking. binominale verdeling Het wordt toegepast in situaties waarin er een vast aantal onafhankelijke onderzoeken is, met slechts twee mogelijke uitkomsten bij elk onderzoek, bijvoorbeeld succes en mislukking.
A geometrische verdeling wordt gebruikt om het aantal pogingen tot het eerste succes in een reeks onafhankelijke experimenten te modelleren. Poisson-verdeling wordt gebruikt om het voorkomen van zeldzame gebeurtenissen in een specifiek tijds- of ruimte-interval te modelleren.
eindelijk, de hypergeometrische distributie Het wordt gebruikt om experimenten te modelleren waarin elementen uit een eindige populatie worden geselecteerd zonder vervanging, waarbij de interesse uitgaat naar het aantal successen in een specifieke steekproef.
Om deze discrete verdelingen beter te begrijpen en toe te passen, is het belangrijk om te oefenen met oefeningen. Het oplossen van problemen met deze verdelingen kan helpen om kennis te verstevigen en statistische en kansrekeningsvaardigheden te verbeteren.
Daarom is het bij de studie van statistiek en kansrekening van essentieel belang om de kenmerken en toepassingen van de belangrijkste discrete verdelingen te kennen, zoals de Bernoulli-verdeling, de binominale verdeling, de geometrische verdeling, de Poisson-verdeling en de hypergeometrische verdeling.
Soorten kansverdelingen: leer meer over de verschillende vormen van statistische verdelingen.
Kansverdelingen zijn wiskundige modellen die het willekeurige gedrag van een fenomeen beschrijven. Er zijn verschillende soorten kansverdelingen, elk met zijn eigen kenmerken en toepassingen. In dit artikel richten we ons op discrete kansverdelingen, die verband houden met discrete variabelen – variabelen die specifieke, aftelbare waarden kunnen aannemen.
Enkele van de meest voorkomende discrete kansverdelingen zijn de uniforme verdeling, de binominale verdeling, de Poisson-verdeling en de geometrische verdeling. Elk van deze verdelingen heeft zijn eigen kenmerken en wordt in verschillende statistische contexten gebruikt.
De uniforme verdeling wordt bijvoorbeeld gekenmerkt door dezelfde waarschijnlijkheid toe te kennen aan alle mogelijke waarden van een discrete variabele. De binominale verdeling wordt gebruikt om het aantal successen in een reeks onafhankelijke trials te modelleren, elk met dezelfde kans op succes. De Poisson-verdeling wordt op zijn beurt gebruikt om het aantal zeldzame gebeurtenissen in een tijds- of ruimte-interval te modelleren. En de geometrische verdeling wordt gebruikt om het aantal trials te modelleren dat nodig is tot het eerste succes in een reeks onafhankelijke trials.
Om deze verdelingen beter te begrijpen, is het belangrijk om te oefenen met oefeningen. Zo kunnen we bijvoorbeeld de kans berekenen om precies 3 keer kop te gooien bij 5 worpen met een zuivere munt met behulp van de binominale verdeling. Of we kunnen de kans bepalen dat ten minste 2 gebeurtenissen zich binnen een bepaald tijdsinterval voordoen met behulp van de Poissonverdeling.
Door inzicht te krijgen in de kenmerken en toepassingen van deze verdelingen, kunnen statistiekprofessionals en aanverwante wetenschappers beter geïnformeerde en nauwkeurige beslissingen nemen op basis van waarschijnlijkheidsgegevens.
Welke variabelen worden als discreet beschouwd in de waarschijnlijkheid?
In de kansrekening zijn discrete variabelen variabelen die een eindig of aftelbaar aantal waarden kunnen aannemen. Dit betekent dat discrete variabelen telbaar zijn, meestal weergegeven als gehele getallen. Voorbeelden van discrete variabelen zijn bijvoorbeeld het aantal auto's op een parkeerplaats, het aantal leerlingen in een klaslokaal en het aantal vlakken op een dobbelsteen.
Deze variabelen onderscheiden zich van continue variabelen, die een oneindig aantal waarden binnen een specifiek bereik kunnen aannemen. Terwijl discrete variabelen specifieke, discrete waarden hebben, kunnen continue variabelen elke waarde binnen een continu bereik aannemen. Voorbeelden van continue variabelen zijn bijvoorbeeld iemands lengte, de tijd die nodig is om een taak uit te voeren en de kamertemperatuur.
Discrete variabelen in de waarschijnlijkheid zijn dus variabelen die geteld kunnen worden en die specifieke, afzonderlijke waarden kunnen aannemen, in tegenstelling tot continue variabelen die elke waarde binnen een bepaald bereik kunnen aannemen.
Discrete waarschijnlijkheidsverdelingen: kenmerken, oefeningen
As discrete waarschijnlijkheidverdelingen zijn een functie die gekoppeld is aan elk element van X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, waarbij X een gegeven discrete stochastische variabele is en S de steekproefruimte, de waarschijnlijkheid dat deze gebeurtenis plaatsvindt. Deze functie f van X(S), gedefinieerd als f(xi) = P(X = xi), wordt soms de massawaarschijnlijkheidsfunctie genoemd.
Deze waarschijnlijkheidsmassa wordt meestal weergegeven in de vorm van een tabel. Omdat X een discrete stochastische variabele is, heeft X(S) een eindig of oneindig aantal gebeurtenissen. Tot de meest voorkomende discrete kansverdelingen behoren de uniforme verdeling, de binominale verdeling en de Poissonverdeling.
caracteristicas
De kansverdelingsfunctie moet aan de volgende voorwaarden voldoen:
Bovendien, als X slechts een eindig aantal waarden aanneemt (bijv. x1, x2, …, xn), dan is p(xi) = 0 als i > n en wordt de oneindige reeks van voorwaarden b daarom de eindige reeks
Deze functie voldoet ook aan de volgende eigenschappen:
Laat B een gebeurtenis zijn die geassocieerd is met de stochastische variabele X. Dit betekent dat B vervat is in X(S). Stel specifiek dat B = {xi1, xi2,…}. Dus:
Met andere woorden: de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis B is gelijk aan de som van de waarschijnlijkheden van de individuele uitkomsten die met B samenhangen.
Hieruit kunnen we concluderen dat als de
Soorten
Uniforme verdeling op n punten
Van een stochastische variabele X wordt gezegd dat deze een verdeling volgt die wordt gekenmerkt door uniformiteit in n punten als aan elke waarde dezelfde waarschijnlijkheid is toegekend. De waarschijnlijkheidsmassafunctie is:
Stel dat we een experiment doen met twee mogelijke uitkomsten: het zou het gooien van een munt kunnen zijn waarbij de mogelijke uitkomsten kop of munt zijn, of het kiezen van een geheel getal waarbij de uitkomst een even of oneven getal kan zijn. Dit type experiment staat bekend als een Bernoulli-test.
In het algemeen worden de twee mogelijke uitkomsten succes en falen genoemd, waarbij p de kans op succes is en 1-p de kans op falen. We kunnen de kans op x successen in n onafhankelijke Bernoulli-proeven bepalen met de volgende verdeling.
Binominale verdeling
Deze functie geeft de waarschijnlijkheid weer van het behalen van x successen in n onafhankelijke Bernoulli-proeven, waarvan de kans op succes p is. De waarschijnlijkheidsmassafunctie is:
De volgende grafiek geeft de waarschijnlijkheidsmassafunctie weer voor verschillende waarden van de binominale verdelingsparameters.
De volgende verdeling dankt haar naam aan de Franse wiskundige Simeon Poisson (1781-1840), die deze verdeling ontdekte als de limiet van de binominale verdeling.
Poisson-verdeling
Er wordt gezegd dat een stochastische variabele X een Poisson-verdeling van de parameter λ heeft wanneer deze de positieve gehele getallen 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, … kan ontvangen met de volgende waarschijnlijkheid:
In deze uitdrukking is λ het gemiddelde aantal keren dat de gebeurtenis zich voordoet per tijdseenheid en x het aantal keren dat de gebeurtenis zich voordoet.
De massa-waarschijnlijkheidsfunctie is:
Hieronder ziet u een grafiek die de waarschijnlijkheidsmassafunctie weergeeft voor verschillende waarden van de Poisson-verdelingsparameters.
Houd er rekening mee dat zolang het aantal successen laag is en het aantal tests dat op een binominale verdeling wordt uitgevoerd hoog is, we deze verdelingen altijd kunnen benaderen, omdat de Poisson-verdeling de limiet is van de binominale verdeling.
Het voornaamste verschil tussen deze twee verdelingen is dat de binominale verdeling afhankelijk is van twee parameters – nep – terwijl de Poissonverdeling alleen afhankelijk is van λ, wat soms de intensiteit van de verdeling wordt genoemd.
Tot nu toe hebben we het alleen gehad over waarschijnlijkheidsverdelingen voor gevallen waarin de verschillende experimenten onafhankelijk van elkaar zijn; dat wil zeggen, wanneer de uitkomst van het ene experiment niet wordt beïnvloed door de uitkomst van het andere experiment.
Wanneer experimenten niet onafhankelijk zijn, is de hypergeometrische verdeling erg nuttig.
Hypergeometrische distributie
Laat N het totale aantal objecten zijn in een eindige verzameling, waarvan we k op een of andere manier kunnen identificeren, die een deelverzameling K vormen, waarvan het complement wordt gevormd door de resterende Nk elementen.
Als we willekeurig n objecten kiezen, zal de stochastische variabele X, die het aantal objecten vertegenwoordigt dat tot K in die keuze behoort, een hypergeometrische verdeling hebben van de parameters N, n en k. De massawaarschijnlijkheidsfunctie is:
De onderstaande grafiek geeft de waarschijnlijkheidsmassafunctie weer voor verschillende waarden van de hypergeometrische verdelingsparameters.
Opgeloste oefeningen
Eerste oefening
Stel dat de kans dat een radiobuis (geplaatst in een bepaald type apparaat) meer dan 500 uur werkt 0,2 is. Als er 20 buizen worden getest, wat is dan de kans dat precies k ervan meer dan 500 uur werken, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Oplossing
Als X het aantal buizen is dat langer dan 500 uur in bedrijf is, gaan we ervan uit dat X een binominale verdeling heeft. Dan
En zo:
Voor k≥11 zijn de kansen kleiner dan 0,001
Zo kunnen we zien dat de waarschijnlijkheid k van deze werknemers die meer dan 500 uur werken, toeneemt, totdat deze de maximale waarde bereikt (met k = 4) en daarna weer afneemt.
2e oefening
Een munt wordt zes keer opgegooid. Als het resultaat kop is, noemen we dat een succes. Wat is de kans op precies twee keer kop?
Oplossing
In dit geval hebben we n = 6 en de kans op succes en falen is p = q = 1/2
De kans dat er twee gezichten zijn gegeven (d.w.z. k = 2) is dus:
Derde oefening
Wat is de kans om minimaal vier gezichten te vinden?
Oplossing
Voor dit geval hebben we k = 4, 5 of 6
Derde oefening
Stel dat 2% van de in een fabriek geproduceerde artikelen defect is. Bereken de kans P dat er drie defecte artikelen zijn in een steekproef van 100 artikelen.
Oplossing
Voor dit geval kunnen we de binominale verdeling toepassen voor n = 100 en p = 0,02, met als resultaat:
Omdat p echter klein is, gebruiken we de Poisson-benadering met λ = np = 2. Dus
Referências
- Kai Lai Chung: Elementaire waarschijnlijkheidstheorie met stochastische processen. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Discrete wiskunde en toepassingen ervan. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Waarschijnlijkheid en statistische toepassingen. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Problemen opgelost in discrete wiskunde. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, PhD. Problemen in theorie en waarschijnlijkheid. McGraw-HILL