Diskrete sannsynlighetsfordelinger er matematiske modeller som beskriver forekomsten av hendelser med diskrete, endelige verdier. Disse fordelingene er karakterisert av deres egenskaper, som summen av sannsynlighetene for alle mulige utfall lik 1 og tilstedeværelsen av en parameter som bestemmer formen på fordelingen. I denne artikkelen vil vi utforske egenskapene til de vanligste diskrete sannsynlighetsfordelingene, som Bernoulli-fordelingen, binomialfordelingen, Poisson-fordelingen og den geometriske fordelingen, samt presentere noen praktiske øvelser for å bedre forstå disse konseptene.
Forstå konseptet diskret sannsynlighetsfordeling: en enkel og tydelig forklaring.
For å forstå konseptet med en diskret sannsynlighetsfordeling er det viktig å forstå at det er en matematisk funksjon som knytter en sannsynlighet til hvert mulig utfall av et tilfeldig eksperiment. Med andre ord lar den diskrete sannsynlighetsfordelingen oss bestemme sjansen for at hvert utfall inntreffer i et endelig eller opptellbart sett med muligheter.
En diskret sannsynlighetsfordeling kjennetegnes av dens sannsynlighetsfunksjon, som tildeler hvert utfall en ikke-negativ verdi, hvor summen av alle sannsynligheter er lik 1. Videre er de mulige utfallene distinkte og isolerte, uten mulighet for at mellomverdier oppstår.
Et klassisk eksempel på en diskret sannsynlighetsfordeling er Poisson-fordelingen, som er mye brukt i telleprosesser, for eksempel antall hendelser som inntreffer i en gitt tidsperiode. Et annet vanlig eksempel er binomialfordelingen, som modellerer eksperimenter med bare to mulige utfall, for eksempel suksess eller fiasko.
For å anvende teorien om diskrete sannsynlighetsfordelinger er det nødvendig å forstå deres spesifikke egenskaper og karakteristikker, samt å kunne beregne sannsynligheter og tolke resultatene. Praktiske øvelser er viktige for å utdype forståelsen og utvikle ferdigheter innen dette sannsynlighetsfeltet.
Lær om de viktigste diskrete fordelingene som brukes i statistikk og sannsynlighet.
Lær om de viktigste diskrete fordelingene som brukes i statistikk og sannsynlighet. Diskrete sannsynlighetsfordelinger er viktige verktøy i statistisk analyse, og muliggjør modellering og prediksjon av tilfeldige hendelser. Blant de viktigste diskrete fordelingene er Bernoulli-fordelingen, binomialfordelingen, den geometriske fordelingen, Poisson-fordelingen og den hypergeometriske fordelingen.
A Bernoulli-fordeling brukes til å modellere eksperimenter med bare to mulige utfall, som suksess og fiasko. binomialfordeling Det brukes i situasjoner der det er et fast antall uavhengige forsøk, med bare to mulige utfall i hvert forsøk, for eksempel suksess og fiasko.
A geometrisk fordeling brukes til å modellere antall forsøk frem til første suksess i en sekvens av uavhengige eksperimenter. Poisson-fordeling brukes til å modellere forekomsten av sjeldne hendelser i et bestemt tids- eller romintervall.
Til slutt, hypergeometrisk fordeling Den brukes til å modellere eksperimenter der det er et utvalg uten erstatning av elementer fra en endelig populasjon, med interesse for antall suksesser i et spesifikt utvalg.
For å bedre forstå disse diskrete fordelingene og hvordan man bruker dem, er det viktig å øve gjennom oppgaver. Å løse problemer som involverer disse fordelingene kan bidra til å styrke kunnskapen og skjerpe statistiske ferdigheter og sannsynlighetsferdigheter.
Derfor, når man studerer statistikk og sannsynlighet, er det viktig å kjenne til egenskapene til og anvendelsene av de viktigste diskrete fordelingene, som Bernoulli-fordelingen, binomialfordelingen, den geometriske fordelingen, Poisson-fordelingen og den hypergeometriske fordelingen.
Typer sannsynlighetsfordelinger: lær om de ulike formene for statistiske fordelinger.
Sannsynlighetsfordelinger er matematiske modeller som beskriver den tilfeldige oppførselen til et fenomen. Det finnes forskjellige typer sannsynlighetsfordelinger, hver med sine egne egenskaper og anvendelser. I denne artikkelen vil vi fokusere på diskrete sannsynlighetsfordelinger, som er knyttet til diskrete variabler – de som kan anta spesifikke, tellbare verdier.
Noen av de vanligste diskrete sannsynlighetsfordelingene inkluderer den uniforme fordelingen, den binomiske fordelingen, Poisson-fordelingen og den geometriske fordelingen. Hver av disse fordelingene har sine egne egenskaper og brukes i forskjellige statistiske sammenhenger.
Den uniforme fordelingen kjennetegnes for eksempel ved å tilordne samme sannsynlighet til alle mulige verdier av en diskret variabel. Binomialfordelingen brukes til å modellere antall suksesser i en sekvens av uavhengige forsøk, hver med samme sannsynlighet for suksess. Poisson-fordelingen brukes igjen til å modellere antall sjeldne hendelser i et tids- eller romintervall. Og den geometriske fordelingen brukes til å modellere antall forsøk som kreves til den første suksessen i en sekvens av uavhengige forsøk.
For å bedre forstå hvordan disse fordelingene fungerer, er det viktig å øve med oppgaver. For eksempel kan vi beregne sannsynligheten for å få nøyaktig 3 kron i 5 kast med en rettferdig mynt ved hjelp av binomialfordelingen. Eller vi kan bestemme sannsynligheten for at minst 2 hendelser inntreffer i et bestemt tidsintervall ved hjelp av Poisson-fordelingen.
Ved å forstå egenskapene til og anvendelsene av disse fordelingene, kan statistikk- og relaterte vitenskapsfolk ta mer informerte og nøyaktige beslutninger basert på sannsynlighetsdata.
Hvilke variabler regnes som diskrete i sannsynlighet?
I sannsynlighetssammenheng er diskrete variabler de som kan anta et endelig eller tellbart antall verdier. Dette betyr at diskrete variabler er de som kan telles, vanligvis representert av heltall. For eksempel er antall biler på en parkeringsplass, antall elever i et klasserom og antall sider på en terning alle eksempler på diskrete variabler.
Disse variablene er forskjellige fra kontinuerlige variabler, som kan anta et uendelig antall verdier innenfor et bestemt område. Mens diskrete variabler har spesifikke, diskrete verdier, kan kontinuerlige variabler anta en hvilken som helst verdi innenfor et kontinuerlig område. For eksempel er en persons høyde, tiden det tar å fullføre en oppgave og romtemperatur eksempler på kontinuerlige variabler.
Derfor er diskrete variabler i sannsynlighet de som kan telles og anta spesifikke, separate verdier, i motsetning til kontinuerlige variabler som kan anta en hvilken som helst verdi innenfor et område.
Diskrete sannsynlighetsfordelinger: Kjennetegn, øvelser
As diskrete sannsynlighetsfordelinger er en funksjon som assosieres med hvert element av X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, hvor X er en gitt diskret tilfeldig variabel og S er samplingsrommet, sannsynligheten for at denne hendelsen inntreffer. Denne funksjonen f av X(S) definert som f(xi) = P(X = xi) kalles noen ganger massesannsynlighetsfunksjonen.
Denne sannsynlighetsmassen er vanligvis representert i form av en tabell. Siden X er en diskret tilfeldig variabel, har X(S) enten et endelig eller et uendelig antall hendelser. Blant de vanligste diskrete sannsynlighetsfordelingene er den uniforme fordelingen, binomialfordelingen og Poisson-fordelingen.
características
Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen må oppfylle følgende betingelser:
Videre, hvis X bare tar et endelig antall verdier (f.eks. x1, x2, …, xn), så er p(xi) = 0 hvis i > n, og derfor blir den uendelige rekken av betingelser b den endelige rekken.
Denne funksjonen oppfyller også følgende egenskaper:
La B være en hendelse assosiert med den stokastiske variabelen X. Dette betyr at B er inneholdt i X(S). Anta spesifikt at B = {xi1, xi2,…}. Derfor:
Med andre ord: sannsynligheten for en hendelse B er lik summen av sannsynlighetene for de individuelle utfallene knyttet til B.
Fra dette kan vi konkludere med at hvis
Type
Jevn fordeling ved n punkter
En tilfeldig variabel X sies å følge en fordeling som kjennetegnes ved å være uniform i n punkter hvis hver verdi har samme sannsynlighet. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:
Anta at vi har et eksperiment med to mulige utfall: det kan være å kaste en mynt der mulige utfall er kron eller mynt, eller å velge et heltall der utfallet kan være et oddetall eller partall. Denne typen eksperiment er kjent som en Bernoulli-test.
Generelt kalles de to mulige utfallene suksess og fiasko, hvor p er sannsynligheten for suksess og 1-p er sannsynligheten for fiasko. Vi kan bestemme sannsynligheten for x suksesser i n uavhengige Bernoulli-forsøk med følgende fordeling.
Binomialfordeling
Denne funksjonen representerer sannsynligheten for å oppnå x suksesser i n uavhengige Bernoulli-forsøk, hvis sannsynlighet for suksess er p. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:
Følgende graf representerer sannsynlighetsmassefunksjonen for forskjellige verdier av binomialfordelingsparametrene.
Følgende fordeling har fått navnet sitt fra den franske matematikeren Simeon Poisson (1781–1840), som beregnet den som grensen for den binomiske fordelingen.
Poisson-fordeling
En tilfeldig variabel X sies å ha en Poisson-fordeling av parameteren λ når den kan motta de positive heltallsverdiene 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, … med følgende sannsynlighet:
I dette uttrykket er λ det gjennomsnittlige antallet forekomster av hendelsen for hver tidsenhet, og x er antall ganger hendelsen inntreffer.
Dens sannsynlighetsfunksjon for masse er:
Nedenfor er en graf som representerer sannsynlighetsmassefunksjonen for forskjellige verdier av Poisson-fordelingsparametrene.
Merk at så lenge antallet suksesser er lavt og antallet tester utført på en binomialfordeling er høyt, kan vi alltid tilnærme disse fordelingene, siden Poisson-fordelingen er grensen for den binomiale fordelingen.
Hovedforskjellen mellom disse to fordelingene er at mens binomialverdien avhenger av to parametere – nep –, avhenger Poisson-verdien bare av λ, som noen ganger kalles fordelingens intensitet.
Så langt har vi bare snakket om sannsynlighetsfordelinger for tilfeller der de ulike eksperimentene er uavhengige av hverandre; det vil si når utfallet av ett ikke påvirkes av utfallet av et annet.
Når eksperimenter ikke er uavhengige, er den hypergeometriske fordelingen svært nyttig.
Hypergeometrisk fordeling
La N være det totale antallet objekter i et endelig sett, hvorav vi kan identifisere k på en eller annen måte, og danne et delsett K, hvis komplement dannes av de gjenværende Nk-elementene.
Hvis vi velger n objekter tilfeldig, vil den tilfeldige variabelen X som representerer antallet objekter som tilhører K i det valget ha en hypergeometrisk fordeling av parameterne N, n og k. Dens massesannsynlighetsfunksjon er:
Følgende graf representerer sannsynlighetsmassefunksjonen for forskjellige verdier av de hypergeometriske fordelingsparametrene.
Løste øvelser
Første øvelse
Anta at sannsynligheten for at et radiorør (plassert i en bestemt type utstyr) vil fungere i mer enn 500 timer er 0,2. Hvis 20 rør testes, hva er sannsynligheten for at nøyaktig k av dem vil fungere i mer enn 500 timer, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Løsning
Hvis X er antall rør som går i mer enn 500 timer, antar vi at X har en binomialfordeling.
Og så:
For k≥11 er oddsen mindre enn 0,001
Dermed kan vi observere hvordan sannsynligheten for at k av disse jobber mer enn 500 timer øker, helt til den når sin maksimumsverdi (med k = 4) og deretter begynner å avta.
2. øvelse
En mynt kastes seks ganger. Når resultatet er krone, kaller vi det en suksess. Hva er sannsynligheten for nøyaktig to krone?
Løsning
For dette tilfellet har vi n = 6 og sannsynligheten for suksess og fiasko er p = q = 1/2
Derfor er sannsynligheten for at to flater er gitt (dvs. k = 2)
Tredje øvelse
Hva er sannsynligheten for å finne minst fire ansikter?
Løsning
For dette tilfellet har vi k = 4, 5 eller 6
Tredje øvelse
Anta at 2 % av varene som produseres i en fabrikk er defekte. Finn sannsynligheten P for at det er tre defekte varer i et utvalg på 100 varer.
Løsning
For dette tilfellet kan vi bruke binomialfordelingen for n = 100 og p = 0,02, og få resultatet:
Men siden p er liten, bruker vi Poisson-tilnærmingen med λ = np = 2. Dermed
Referanser
- Kai Lai Chung: Elementær sannsynlighetsteori med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Diskret matematikk og dens anvendelser. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Sannsynlighet og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, ph.d. 2000. Løste problemer i diskret matematikk. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Ph.D. Problemer i teori og sannsynlighet. McGraw-HILL