- Kolmogorovs aksiomer definerer formelt sannsynlighet som et ikke-negativt, normalisert og σ-additivt mål.
- Fra disse aksiomene utledes egenskaper som P(∅)=0, 0≤P(A)≤1, addisjonslover og relasjoner med komplementer.
- Strukturer som sannsynlighetsrom (Ω, F, P), betinget sannsynlighet og uavhengighet oppstår direkte fra dette aksiomatiske rammeverket.
Spørsmålet «hva er sannsynlighetsaksiomene?» virker enkelt, men svaret fører til en svært solid matematisk konstruksjon , som begynte å bli grundig organisert på 1900-tallet med arbeidet til Andrey Kolmogorov. Disse aksiomene er grunnlaget for så godt som all moderne sannsynlighetsteori, fra studiet av sjansespill til komplekse statistiske modeller brukt i datavitenskap, finans og ingeniørfag.
Før Kolmogorovs formalisering ble sannsynlighet forstått mer intuitivt, knyttet til ideen om frekvens eller tilfeldighet , og forskjellige matematikere brukte ulike tolkninger. I dag, når vi snakker om sannsynlighetsaksiomer, refererer vi til et minimumssett med regler som enhver sannsynlighetsfunksjon må følge slik at vi kan utføre sammenhengende beregninger, unngå motsetninger og konstruere kraftige teoremer.
Grunnleggende intuisjon: tilfeldige opplevelser og hendelser
For å forstå sannsynlighetsaksiomene er det første steget å vite hva et tilfeldig eksperiment er og hva vi kaller en hendelse . Et tilfeldig eksperiment er enhver prosedyre hvis utfall ikke kan forutsies med sikkerhet, selv om vi kjenner alle mulige utfall; klassiske eksempler er å kaste en mynt eller kaste en terning.
Vi kaller utfallsrommet, vanligvis betegnet med Ω, mengden av alle mulige utfall av dette eksperimentet . Hvis vi for eksempel kaster en mynt, kan utfallsrommet skrives som Ω = {H, T}, hvor H representerer "kron" og T representerer "mynt". Hvert element i Ω kalles et elementært utfall.
En hendelse er enhver delmengde av Ω som vi er interessert i å observere . Hvis eksperimentet er et myntkast, er mengden {H} hendelsen «kroner», mengden {T} er hendelsen «mynt», og Ω i seg selv er hendelsen «kroner eller mynt», det vil si en bestemt hendelse.
Noen hendelser er spesielt viktige: den umulige hendelsen, den elementære hendelsen og den sikre hendelsen . Det tomme settet ∅ representerer den umulige hendelsen, siden det ikke inneholder noe utfall; et sett med et enkelt element {ω}, med ω i Ω, representerer en elementær hendelse; og Ω i seg selv er den sikre hendelsen, den som alltid inntreffer når eksperimentet utføres.
Mengdelærenes språk er svært nyttig i studiet av sannsynlighet . Hvis A og B er hendelser, representerer A ∩ B den samtidige forekomsten av A og B, A ∪ B representerer forekomsten av minst én av dem, og komplementet til A , ofte skrevet som ̄A eller Ω \ A, representerer «ikke-forekomsten av A». Denne notasjonen og egenskapene til mengdene vil bli brukt direkte i formuleringen av aksiomene.
Tolkninger av sannsynlighetsbegrepet
Selv om Kolmogorovs aksiomer gir det matematiske grunnlaget for sannsynlighet, kan selve ordet «sannsynlighet» tolkes på ulike måter . Historisk sett har det dukket opp ulike tolkninger av hva det vil si å tilordne et tall P(A) til en hendelse A.
I den klassiske tolkningen av Laplace, gyldig for endelige rom med like sannsynlige utfall, er sannsynligheten for A forholdet mellom antall gunstige tilfeller og antall mulige tilfeller . Hvis utvalgsrommet har n like sannsynlige utfall (det vil si #Ω = n) og hendelsen A inneholder n_A av disse utfallene (#A = n_A), er sannsynligheten gitt av P(A) = n_A / n. Denne formelen er ganske intuitiv når alle utfall har samme sjanse til å inntreffe.
Frekventistisk tolkning knytter sannsynlighet til den relative frekvensen observert i repetisjoner av et eksperiment . Fra dette synspunktet gjentar vi det tilfeldige eksperimentet n ganger og teller hvor mange ganger hendelse A inntreffer, og kaller dette tallet n_A; deretter ser vi på grensen, når n øker, for brøken n_A / n. Sannsynligheten for A ville være P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), forutsatt at denne grensen eksisterer.
Det finnes også den subjektive tolkningen, mye brukt i Bayesiansk statistikk, der sannsynlighet er knyttet til graden av tro hos et rasjonelt subjekt . I denne tilnærmingen kvantifiserer P(A) hvor sikker noen er på forekomsten av A, tatt i betraktning tilgjengelig kunnskap. Det er ikke erfaring som "bærer" sannsynligheten, men subjektet som vurderer usikkerheten sammenhengende.
Til tross for disse ulike tolkningene, kan de alle sameksistere innenfor Kolmogorovs samme aksiomatiske rammeverk . Det vil si at uavhengig av om du foretrekker et klassisk, frekventistisk eller subjektivt synspunkt, vil sannsynligheten til slutt bli matematisk modellert av en funksjon P som følger et lite sett med aksiomer om et hendelsesrom.
Formell konstruksjon: sannsynlighetsrom og σ-algebraer
Kolmogorov beskrev sannsynlighet i form av en trippel (Ω, F, P), kalt sannsynlighetsrommet . I denne trippelen er Ω utfallsrommet, F er mengden av mulige hendelser (teknisk sett en σ-algebra av delmengder av Ω), og P er sannsynlighetsfunksjonen.
En σ-algebra F er en spesiell samling av delmengder av Ω som tilfredsstiller visse egenskaper . Grovt sett må F inneholde det tomme settet, være lukket under komplement (hvis A er i F, så er komplementet også i F), og være lukket under tellbare unioner (hvis A₁, A₂, … er i F, så er unionen av dem alle også i F). Denne strukturen sikrer at vi kan arbeide med mengdeoperasjoner uten å forlate universet av hendelser som har veldefinerte sannsynligheter.
Formelt sett er F en σ-algebra over Ω når: den tomme mengden ∅ tilhører F; hvis A er i F, så tilhører komplementet til A i Ω også F; og hvis A₁, A₂, … er en (endelig eller tellbar uendelig) sekvens av elementer i F, så er foreningen A₁ ∪ A₂ ∪ … også i F. I mange sammenhenger kalles F også et Borel-felt eller σ-felt.
Sannsynlighetsfunksjonen P er definert på F og tilordner et ikke-negativt reelt tall til hver hendelse E i F. Vi sier da at P(E) er i ℝ og P(E) ≥ 0 for alle E i F. I generell målteori kan mål anta uendelige verdier, men i standard sannsynlighetsteori er P(E) alltid endelig, noe som medfører noen forskjeller sammenlignet med mer generelle mål.
Denne strukturen (Ω, F, P) med P(Ω) = 1 er det vi kaller et sannsynlighetsrom . Betingelsen P(Ω) = 1 er essensiell fordi den representerer ideen om at når man utfører eksperimentet, vil et resultat i Ω absolutt forekomme; det finnes ingen "skjulte resultater" utenfor utvalgsrommet.
Kolmogorovs tre aksiomer
Kolmogorovs aksiomatiske teori er basert på tre grunnleggende aksiomer som enhver sannsynlighetsfunksjon må oppfylle . De er enkle å formulere, men ekstremt kraftfulle, fordi praktisk talt alle de vanlige egenskapene til sannsynlighet er avledet fra dem.
Første aksiom — Ikke-negativitet: for enhver hendelse A som tilhører σ-algebraen F, har vi P(A) ≥ 0. Det vil si at sannsynligheter aldri er negative. I noen mer eksotiske teorier snakkes det om "negative sannsynligheter", men disse ideene avviker fra Kolmogorovs klassiske rammeverk.
Andre aksiom — Normalisering: sannsynligheten for en viss hendelse er lik 1, det vil si at P(Ω) = 1. Dette aksiomet etablerer konvensjonen om at 1 tilsvarer 100 % sikkerhet, og 0 tilsvarer umulighet. I mer elementære versjoner kan dette aksiomet også forstås som at summen av sannsynlighetene for alle elementære utfall av Ω er lik 1.
Tredje aksiom — σ-additivitet: hvis A₁, A₂, … er en sekvens av parvise disjunkte (også kalt gjensidig utelukkende) hendelser, så er P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Dette gjelder for både en endelig og en tellbar uendelig samling av hendelser. Denne tellbare additivitetsegenskapen er den største forskjellen sammenlignet med ren endelig additivitet.
I enklere sammenhenger arbeider noen forfattere bare med endelig additivitet , som krever at P(A ∪ B) = P(A) + P(B) for disjunkte hendelser A og B, og at dette strekker seg til et endelig antall mengder. I dette tilfellet er det tilstrekkelig å arbeide med en mengdealgebra, ikke nødvendigvis en σ-algebra, men standardtilnærmingen i moderne sannsynlighetsregning er å kreve σ-additivitet.
Det er fra dette tredje aksiomet at flere viktige konsekvenser oppstår, som likheter, ulikheter og sannsynlighetslover . Det er også kjernen i forbindelsen mellom sannsynlighet og målteori, som studerer mål i mengder på en svært generell måte.
Egenskaper avledet fra aksiomer
Fra Kolmogorovs tre aksiomer kan vi bevise flere grunnleggende og ekstremt nyttige egenskaper . Disse egenskapene er ikke antatt på forhånd: de er logiske konsekvenser av aksiomene.
En av de første egenskapene er sannsynlighetens monotonitet . Hvis A og B er hendelser i F og A er inneholdt i B (A ⊆ B), så er P(A) ≤ P(B). Ideen er intuitiv: hvis B omfatter alt som kan skje i A, og kanskje mer, så kan ikke B ha en lavere sannsynlighet enn A.
En annen fundamental egenskap er at sannsynligheten for en umulig hendelse er null . Fra et formelt synspunkt, ved å bruke σ-additivitet, betrakter vi en sekvens der E₁ = A, E₂ = B \ A og Eᵢ = ∅ for i ≥ 3, i et scenario der A ⊆ B. Siden Eᵢ er disjunkte og deres forening er B, må summen av sannsynlighetene konvergere mot P(B). Hvis vi antar at P(∅) = a > 0, ville summen av P(∅) uendelig mange ganger eksplodere til uendelig, noe som er uforenlig med endelig P(B). Derfor konkluderer vi med at P(∅) = 0.
Derfor kan vi angi ulikheten 0 ≤ P(E) ≤ 1 for enhver hendelse E i F. Vi visste allerede at P(E) ≥ 0 fra det første aksiomet. Når vi vet at P(Ω) = 1 og bruker monotonisitet med E ⊆ Ω, følger det at P(E) ≤ P(Ω) = 1. Dermed er enhver sannsynlighet alltid mellom 0 og 1, inkludert.
En vanlig brukt identitetslov er den såkalte additive loven for to hendelser . For hendelsene A og B i F gjelder at P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Denne formelen korrigerer "dobbelttellingen" av den felles hendelsen A ∩ B, som legges til to ganger hvis vi summerer P(A) og P(B) uten justering.
En annen viktig konsekvens er forholdet mellom en hendelse og dens komplement . Hvis vi betegner komplementet til A med ̄A, så er P(̄A) = 1 − P(A). Denne likheten oversetter ideen om at "enten A skjer eller så skjer ikke A", og det finnes ingen annen mulighet innenfor Ω.
Fra dette blir det også klart at P(A) = 0 ikke nødvendigvis impliserer at A er den umulige hendelsen . I matematiske termer er det mulig for en hendelse å ha null sannsynlighet uten å være den tomme mengden (dette vises for eksempel i kontinuerlige rom), men på det mest elementære nivået er P(A) = 0 vanligvis assosiert med praktisk talt umulige hendelser.
Praktisk eksempel: å kaste en mynt
Et klassisk og svært didaktisk eksempel for å visualisere Kolmogorovs aksiomer er myntkast . La oss anta, til å begynne med, at mynten bare kan lande på "kron" (K) eller "mynt" (K), og at disse er de eneste mulige utfallene.
Vi definerer deretter utfallsrommet som Ω = {H, T} . De mulige hendelsene danner en σ-algebra F sammensatt av {∅, {H}, {T}, {H, T}}. I denne sammenhengen er den umulige hendelsen ∅, de elementære hendelsene er {H} og {T}, og den sikre hendelsen er {H, T}.
Ved hjelp av Kolmogorovs aksiomer vet vi at P(∅) = 0 og P(Ω) = 1. Hvis vi antar at mynten er rettferdig, det vil si at den ikke favoriserer noen av sidene, antyder symmetri at P({H}) = P({T}). Siden summen P({H}) + P({T}) må være lik 1, konkluderer vi med at begge er lik 1/2.
Dermed er sannsynligheten for å få "kroner eller mynter" P({H, T}) = 1 , sannsynligheten for å få "kroner" er P({H}) = 1/2, og sannsynligheten for å få "mynter" er P({T}) = 1/2. Summen av sannsynlighetene for de elementære hendelsene uttømmer den totale sannsynligheten for rommet.
Denne modellen, selv om den er enkel, illustrerer hvordan aksiomene oppfører seg i praksis og hvordan de forhindrer inkonsekvenser i sannsynlighetsberegninger . Hvis vi ikke definerer utvalgsrommet nøye, kan vi gjøre alvorlige feil, fordi enhver hendelse alltid er en delmengde av Ω; hvis delmengden ikke passer inn i Ω, er ikke sannsynligheten engang definert.
Sannsynlighet i endelige og tellbare rom
Når utvalgsrommet er endelig eller tellbart, kan sannsynlighet beskrives på en veldig konkret måte . Anta at Ω = {ω₁, ω₂, …} er et endelig eller tellbart sett med mulige utfall.
Hvis A er en hendelse som inneholder noen av disse utfallene, for eksempel A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …} , kan sannsynligheten for A sees på som summen av sannsynlighetene for de tilsvarende elementære hendelsene: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Dette er en direkte anvendelse av additivitet (eller σ-additivitet) på disjunkte sett.
I det spesielle tilfellet der utvalgsrommet er endelig, med #Ω = n, og alle utfall er like sannsynlige , har vi P({ωᵢ}) = 1/n for hver i. Hvis A inneholder k distinkte utfall i Ω, så er P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Dette er nøyaktig den klassiske Laplace-formelen omtolket innenfor det moderne aksiomatiske rammeverket.
Når utvalgsrommet er tellbart uendelig, må summen av sannsynlighetene for de elementære hendelsene fortsatt konvergere mot 1. Det vil si at Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Det er her σ-additivitet viser sin styrke, slik at vi ikke bare kan håndtere endelige summer, men også uendelige serier av hendelser.
Betinget sannsynlighet og aksiomers rolle.
Et sentralt aspekt ved teorien er å forstå hvordan sannsynlighet endres når vi vet at en viss hendelse allerede har inntruffet . Det er her betinget sannsynlighet kommer inn i bildet, vanligvis skrevet som P(A | B), som betyr "sannsynlighet for A gitt at B har inntruffet".
Den grunnleggende formelen for betinget sannsynlighet er P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), forutsatt at P(B) > 0. Denne definisjonen er kompatibel med Kolmogorovs aksiomer, og faktisk, for hver B med P(B) > 0, tilfredsstiller funksjonen A ↦ P(A | B) igjen de tre aksiomene når vi begrenser hendelsesrommet til B.
Dette betyr at P(· | B) i seg selv er en sannsynlighetsfunksjon over det «nye» utvalgsrommet B. Som en konsekvens gjelder alle de grunnleggende egenskapene for betingede sannsynligheter: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, betinget monotoni (hvis A₁ ⊆ A₂, så er P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) og formelen P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).
Definisjonen av betinget sannsynlighet stammer også fra det viktige forholdet P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), når P(A) > 0. Symmetrisk kan vi skrive P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), forutsatt at P(B) > 0. Disse likhetene bidrar til å dekomponere felles sannsynligheter og er grunnlaget for flere resultater, som Bayes' teorem.
Det er interessant å merke seg at "ubetinget" sannsynlighet kan sees på som et spesielt tilfelle av betinget sannsynlighet . Faktisk kan vi skrive P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), siden P(Ω) = 1. Dette forsterker ideen om at all sannsynlighet konseptuelt er betinget av noe bakgrunnsinformasjon, selv om det bare er kunnskapen om at vi arbeider innenfor Ω.
Uavhengighet av hendelser
Et annet sentralt konsept som er basert på aksiomer er uavhengigheten mellom hendelser . To hendelser A og B er uavhengige hvis forekomsten av den ene ikke endrer sannsynligheten for den andre.
I formelt språk er A og B uavhengige når P(A ∩ B) = P(A)₂P(B) . Når det gjelder betinget sannsynlighet, innebærer dette at hvis P(B) > 0, så er P(A | B) = P(A), og hvis P(A) > 0, så er P(B | A) = P(B). Det vil si at det å vite at B har inntruffet ikke endrer sannsynligheten for A, og omvendt.
Enhver hendelse er uavhengig av den umulige hendelsen ∅ og den sikre hendelsen Ω . For det tomme settet er P(A ∩ ∅) = 0 og P(∅) = 0, så relasjonen holder trivielt. For den sikre hendelsen er P(A ∩ Ω) = P(A) og P(Ω) = 1, derfor er P(A ∩ Ω) = P(A) · P(Ω) = P(A).
Et vanlig spørsmål er om to disjunkte hendelser kan være uavhengige . Generelt sett, hvis A og B er disjunkte og begge har positiv sannsynlighet, så er P(A ∩ B) = 0, men P(A) ≠ P(B) > 0, noe som bryter med definisjonen av uavhengighet. Dermed er to disjunkte hendelser med sannsynlighet som ikke er null i mange tilfeller ikke uavhengige, siden forekomsten av den ene utelukker muligheten for den andre.
Når man har med mer enn to hendelser å gjøre, oppstår det flere forskjellige begreper om uavhengighet . Vi kan ha parvis uavhengighet, felles uavhengighet og andre typer. I alle disse tilfellene forblir imidlertid utgangspunktet relasjonen P(A ∩ B) = P(A) P(B), basert på Kolmogorovs aksiomer og definisjonen av betinget sannsynlighet.
Praktiske regler og klassiske sannsynlighetslover
Utover formelle egenskaper, lar aksiomer oss formulere mer operasjonelle lover, nyttige i det daglige arbeidet til de som utfører sannsynlighetsberegninger . En av disse er den såkalte addisjonsloven, allerede nevnt på formen P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), som kan utvides til et større antall hendelser gjennom inklusjons-eksklusjonsprinsippet.
En annen vanlig brukt regel er forholdet mellom en hendelse og dens del "utenfor" en annen hendelse . For A og B i F gjelder følgende: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Dette er ganske enkelt å dekomponere A i to deler: den delen som oppstår sammen med B (A ∩ B) og den delen som oppstår uten B (A ∩ ̄B). Disse to delene er atskilte, og deres forening er A, noe som fører til den tidligere likheten ved additivitet.
Sannsynlighetsloven og Bayes' teorem, selv om de ikke er fullstendig detaljert her, er også direkte avhengige av aksiomene . Sannsynlighetsloven kombinerer betingede sannsynligheter i en partisjon av utvalgsrommet, mens Bayes' teorem "inverterer" betingede verdier, slik at sannsynligheter kan oppdateres basert på nye bevis.
I mer didaktiske versjoner er det også listet opp noen lettlærte «praktiske aksiomer» , som for eksempel: maksimal sannsynlighet er 1 (100 %); summen av sannsynlighetene for alle elementene i utvalgsrommet er lik 1; og sannsynligheten for en hendelse X lagt til sannsynligheten for «ikke X» er alltid 1. Disse utsagnene er direkte refleksjoner av de formelle aksiomene.
Med dette settet med lover blir det mulig å løse problemer som spenner fra enkle sjansespill til sofistikerte modeller med mange variabler . Den store fordelen er at bak alle formlene og beregningstriksene forblir den samme aksiomatiske tripoden.
Kolmogorovs sannsynlighetsaksiomer gir et strengt, men fleksibelt grunnlag for å håndtere usikkerhet . Fra tre enkle prinsipper – ikke-negativitet, normalisering og σ-additivitet – er det bygget en rik teori som er i stand til å innlemme klassiske, frekventistiske og subjektive tolkninger, håndtere endelige eller uendelige rom, beskrive betingede sannsynligheter og uavhengighet, og støtte anvendelser innen praktisk talt alle vitenskapelige og teknologiske felt.