Números amigáveis ​​ou amigáveis: exemplos e como encontrá-los

Números amigáveis ​​ou amigáveis: exemplos e como encontrá-los

Os  amigos ou os números amigáveis  são dois números naturais aeb a soma dos divisores de um deles (excluindo o número) é igual ao outro número, e a soma dos divisores deste (também não incluindo) é igual ao primeiro número .

Foram encontrados muitos pares de números que compartilham essa propriedade curiosa. Não são números muito pequenos, os menores são 220 e 284, descobertos há vários séculos. Então, vamos colocá-los como um exemplo do que significa essa amizade peculiar entre números.

Os divisores de 220, não incluindo 220, são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Por sua parte, os divisores de 284, não incluindo 284, são: 1, 2, 4, 71 e 142.

Agora adicionamos os divisores do primeiro número, que é 220:

D 1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Observamos que a soma é de fato 284, o número amigável.

Os divisores de 284 são então adicionados:

D 2 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

E o primeiro membro do casal é obtido.

Os antigos matemáticos gregos da escola pitagórica, fundados por Pitágoras (569-475 aC), autor do famoso teorema de mesmo nome, conseguiram descobrir essa relação peculiar entre esses dois números, aos quais atribuíam muitas qualidades místicas.

Eles também eram conhecidos pelos matemáticos islâmicos da Idade Média, que conseguiram determinar uma fórmula geral para encontrar números amigáveis ​​por volta de 850 dC.

Fórmula para encontrar números amigáveis

O matemático islâmico Thabit Ibn Qurra (826-901) encontrou uma maneira de gerar alguns números amigáveis. Sejam p , q e r três números primos, ou seja, números que apenas admitem 1 e eles mesmos como divisores.

Quando o seguinte for cumprido:

p = 3,2 n-1 – 1

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q = 3,2 n – 1

r = 9,2 2n-1 – 1

Com n um número maior que 1, então:

a = 2 n pq eb = 2 n

Faça um par de números amigáveis. Vamos testar a fórmula para n = 2 e ver qual par de números amigáveis ​​ele gera:

p = 3,2 2-1 – 1 = 3. 2 – 1 = 5

q = 3,2 2 – 1 = 11

r = 9,2 2,2-1 – 1 = 71

Assim:

a = 2 n pq = 2 2 . 5. 11 = 220

b = 2 n r = 2 2 . 71 = 284

A fórmula do matemático medieval funciona para n = 2, já que esses são precisamente os primeiros números amigáveis, dos quais se falou no começo e que já eram conhecidos na Idade Média.

No entanto, o teorema não funciona para todos os números amigáveis ​​encontrados até agora, apenas para n = 2, n = 4 en = 7.

Séculos mais tarde, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) deduziu uma nova regra para encontrar números amigáveis, com base na de Thabit Ibn Qurra:

p = (2 n-m + 1). 2 m – 1

q = (2 n-m + 1). 2 n – 1

r = (2 n-m + 1) 2 . 2 m + n  – 1

Como sempre, os números p, q e r são primos, mas agora existem dois expoentes inteiros: m e n, dos quais m deve atender à seguinte condição:

1 ≤ m ≤ n-1

O par de números amigáveis ​​é formado da mesma maneira:

a = 2 n pq 

b = 2 n

Se m = n-1, o teorema de Thabit é obtido novamente, mas, como no teorema do matemático islâmico, nem todos os números amigáveis ​​satisfazem o governo de Euler. No entanto, com isso aumentou o número de números amigáveis ​​conhecidos até então.

Aqui estão os primeiros pares de expoentes (m, n) com os quais encontrar alguns números amigáveis:

(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) e (29,40)

Mais tarde, na seção de exercícios, encontraremos o par de números amigáveis ​​que é formado graças aos expoentes (3,4) da regra de Euler.

Exemplos de números amigáveis

-220 e 284

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-1184 e 1210

-2620 e 2924

-5020 e 5564

-6232 e 6368

-10.744 e 10.856

-12.285 e 14.595

-17.296 e 18.416

Obviamente, muitos pares de números mais amigáveis ​​podem ser gerados por computador.

Como decompor um número e encontrar seus divisores

Vamos ver agora como encontrar os divisores de um número, para verificar se eles são amigos. De acordo com a definição de números amigáveis, todos os divisores de cada participante são necessários para adicioná-los, exceto os próprios números.

Agora, os números naturais podem ser divididos em dois grupos: números primos e números compostos.

Os números primos admitem apenas 1 e eles mesmos como divisores exatos. E os números compostos por sua parte, sempre podem ser expressos como o produto de números primos e ter outros divisores, além de 1 e eles próprios.

Qualquer número que consiste em N, como 220 ou 284, pode ser expresso assim:

N = a n . b m . c p … r k

Onde a, b, c … r são números primos en, m, p … k são expoentes pertencentes aos números naturais, que podem ser de 1 em diante.

Em termos desses expoentes, existe uma fórmula para descobrir quantos (mas não quais) divisores o número N. Seja C essa quantidade:

C = (n +1) (m + 1) (p + 1) … (k + 1)

Depois que o número N é expresso em termos de produtos de números primos e você sabe quantos divisores ele possui, você já tem as ferramentas para saber quais são seus divisores, tanto primos quanto não primos. E é necessário conhecê-los todos para verificar se são amigos, exceto o último, que é o próprio número.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Encontre todos os divisores do par de números amigáveis ​​220 e 284.

Solução

Vamos primeiro encontrar os divisores primos de 220, que é um número composto:

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220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

A fatoração primária de 220 é:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2 2 .5. onze

Portanto n = 2, m = 1, p = 1 e possui:

C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 divisores

Os primeiros divisores a observar a decomposição do número são: 1 , 2 , 4 , 5 e 11 . E há também 110 e 55 .

Faltariam 5 deles, que são encontrados produzindo produtos entre os primos e suas combinações: 2 2 .5 = 20;   2 2, 11 = 44 ; 2. 11 = 22 e finalmente 1 e 220 em si .

Um procedimento análogo é seguido para 284:

284 1422
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2 2 . 71

C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores

Esses divisores são: 1, 2, 4, 71, 142 e 284, conforme declarado no início.

– Exercício 2

Verificar a fórmula de Euler para n = 4 e m = 3 gera o triplo de números primos (p, q, r) = (23,47, 1151). Qual é o par de números amigáveis ​​formados com eles?

Solução

Os números primos p, q e r são calculados por:

p = (2 n-m + 1). 2 m – 1

q = (2 n-m + 1). 2 n – 1

r = (2 n-m + 1) 2 . 2 m + n  – 1

Substituindo os valores de m = 3 en = 4 obtemos:

p = (2 4-3 + 1). 2 3 – 1 = 23

q = (2 4-3 + 1). 2 4 – 1 = 47

r = (2 4-3 + 1) 2 . 2 4 + 3  – 1 = 1151

Agora aplicamos a fórmula para encontrar o par de números amigáveis ​​aeb:

a = 2 n pq 

b = 2 n

a = 2 n pq = 16. 23. 47 = 17.296

b = 2 n r = 16. 1151 = 18.416

E, de fato, eles estão entre a lista dos primeiros pares de números amigáveis ​​que mostramos anteriormente.

Referências

  1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
  2. Tudo sobre números primos. Números amigáveis. Recuperado em: manyprimes.org.
  3. Wolfram MathWorld. Regra de Euler. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
  4. Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: en.wikipedia.org.
  5. Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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