Pirâmide hexagonal: definição, características e exemplos

Uma pirâmide hexagonal é um poliedro formado por um hexágono, que é a base, e seis triângulos que começam nos vértices do hexágono e coincidem em um ponto fora do plano que contém a base. Esse ponto de concorrência é conhecido como o ápice ou ápice da pirâmide.

Um poliedro é um corpo geométrico tridimensional fechado cujas faces são figuras planas. Um hexágono é uma figura plana fechada (polígono) formada por seis lados. Se todos os seis lados têm o mesmo comprimento e formam ângulos iguais, diz-se regular; caso contrário, é irregular.

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Definição de

Uma pirâmide hexagonal contém sete faces, a base e os seis triângulos laterais, dos quais a base é a única que não toca o vértice.

Diz-se que a pirâmide é reta se todos os triângulos laterais são isósceles. Nesse caso, a altura da pirâmide é o segmento que vai do vértice ao centro do hexágono.

Em geral, a altura de uma pirâmide é a distância entre o vértice e o plano da base. Diz-se que a pirâmide é oblíqua se nem todos os triângulos laterais são isósceles.

Se o hexágono é regular e a pirâmide também é reta, diz-se que é uma pirâmide hexagonal regular. Da mesma forma, se o hexágono é irregular ou a pirâmide é oblíqua, diz-se que é uma pirâmide hexagonal irregular.

Caracteristicas

Côncavo ou convexo

Um polígono é convexo se a medida de todos os ângulos internos for menor que 180 graus. Geometricamente, isso equivale a dizer que, dados alguns pontos dentro do polígono, o segmento de linha que os une está contido no polígono. Caso contrário, diz-se que o polígono é côncavo.

Pirâmide hexagonal: definição, características e exemplos 2

Se o hexágono é convexo, diz-se que a pirâmide é uma pirâmide hexagonal convexa. Caso contrário, será dito que é uma pirâmide hexagonal côncava.

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Bordas

As arestas de uma pirâmide são os lados dos seis triângulos que a compõem.

Apothem

O apótema da pirâmide é a distância entre o vértice e os lados da base da pirâmide. Essa definição só faz sentido quando a pirâmide é regular, porque, se for irregular, essa distância varia dependendo do triângulo considerado.

Em contraste, nas pirâmides regulares, o apótema corresponderá à altura de cada triângulo (já que cada um é isósceles) e será o mesmo em todos os triângulos.

O apótema da base é a distância entre um dos lados da base e o centro da mesma. Pela maneira como é definido, o apótema da base também faz sentido apenas nas pirâmides regulares.

Denotações

A altura de uma pirâmide hexagonal será indicada por h , o apótema da base (no caso regular) por APb e o apótema da pirâmide (também no caso regular) por AP .

Uma característica das pirâmides hexagonais regulares é que h , APB e AP formar um direito triângulo hipotenusa AP e pernas h e APB . Pelo teorema de Pitágoras, você tem que AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

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A imagem acima representa uma pirâmide regular.

Como calcular a área? Fórmulas

Considere uma pirâmide hexagonal regular. Seja adaptado para cada lado do hexágono. Então A corresponde à medida da base de cada triângulo da pirâmide e, portanto, às arestas da base.

A área de um polígono é o produto do perímetro (a soma dos lados) pelo apótema da base, dividido entre dois. No caso de um hexágono, seria 3 * A * APb.

Pode-se observar que a área de uma pirâmide hexagonal regular é igual a seis vezes a área de cada triângulo da pirâmide mais a área da base. Como mencionado anteriormente, a altura de cada triângulo corresponde ao apótema da pirâmide, AP.

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Portanto, a área de cada triângulo na pirâmide é dada por A * AP / 2. Assim, a área de uma pirâmide hexagonal regular é 3 * A * (APb + AP), onde A é uma aresta da base, APb é o apótema da base e AP o apótema da pirâmide.

Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares

No caso de uma pirâmide hexagonal irregular, não existe uma fórmula direta para calcular a área, como no caso anterior. Isso ocorre porque cada triângulo da pirâmide terá uma área diferente.

Nesse caso, a área de cada triângulo deve ser calculada separadamente e a área da base. Então, a área da pirâmide será a soma de todas as áreas calculadas anteriormente.

Como calcular o volume? Fórmulas

O volume de uma pirâmide hexagonal regular é o produto da altura da pirâmide pela área da base entre três. Assim, o volume de uma pirâmide hexagonal regular é dado por A * APb * h, onde A é uma aresta da base, APb é o apótema da base e h é a altura da pirâmide.

Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares

Da mesma forma que a área, no caso de uma pirâmide hexagonal irregular, não existe uma fórmula direta para calcular o volume, já que as bordas da base não têm a mesma medida porque é um polígono irregular.

Nesse caso, a área base deve ser calculada separadamente e o volume será (h * área base) / 3.

Exemplo

Calcule a área e o volume de uma pirâmide hexagonal regular com uma altura de 3 cm, cuja base é um hexágono regular de 2 cm de cada lado e o apótema da base é de 4 cm.

Solução

Primeiro, o apótema da pirâmide (AP) deve ser calculado, que é o único dado ausente. Observando a imagem acima, você pode ver que a altura da pirâmide (3 cm) e o apótema da base (4 cm) formam um triângulo retângulo; Portanto, o teorema de Pitágoras é usado para calcular o apótema da pirâmide:

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Matemática5 pontos

Assim, usando a fórmula escrita acima, segue-se que a área é igual a 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2.

Por outro lado, usando a fórmula do volume, obtém-se que o volume da pirâmide especificada é 2 * 4 * 3 = 24cm ^ 3.

Referências

  1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013).Matemática: uma abordagem de resolução de problemas para professores do ensino fundamental. Editores López Mateos.
  2. Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005).Matemática 3. Progreso Editorial.
  3. Gallardo, G. e Pilar, PM (2005).Matemática 6. Progreso Editorial.
  4. Gutiérrez, CT, & Cisneros, MP (2005).Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
  5. Kinsey, L. & Moore, TE (2006).Simetria, forma e espaço: uma introdução à matemática através da geometria (ilustrado, reimpresso ed.). Springer Science & Business Media.
  6. Mitchell, C. (1999).Projetos deslumbrantes da linha matemática (ed. Ilustrado). Scholastic Inc.
  7. R., MP (2005).Eu desenho em sexto. Editorial Progreso.

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