Dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa to modele matematyczne opisujące występowanie zdarzeń o dyskretnych, skończonych wartościach. Rozkłady te charakteryzują się swoimi właściwościami, takimi jak suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wyników równa 1 oraz obecność parametru determinującego kształt rozkładu. W tym artykule przyjrzymy się charakterystyce najpopularniejszych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa, takich jak rozkład Bernoulliego, rozkład dwumianowy, rozkład Poissona i rozkład geometryczny, a także przedstawimy kilka ćwiczeń praktycznych, które pomogą lepiej zrozumieć te koncepcje.
Zrozumienie koncepcji dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa: proste i zrozumiałe wyjaśnienie.
Aby zrozumieć koncepcję dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa, ważne jest, aby zrozumieć, że jest to funkcja matematyczna, która przypisuje prawdopodobieństwo każdemu możliwemu wynikowi eksperymentu losowego. Innymi słowy, dyskretny rozkład prawdopodobieństwa pozwala nam określić prawdopodobieństwo wystąpienia każdego wyniku w skończonym lub wyliczalnym zbiorze możliwości.
Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa charakteryzuje się funkcją prawdopodobieństwa, która przypisuje każdemu wynikowi wartość nieujemną, a suma wszystkich prawdopodobieństw jest równa 1. Co więcej, możliwe wyniki są odrębne i izolowane, bez możliwości występowania wartości pośrednich.
Klasycznym przykładem dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa jest rozkład Poissona, szeroko stosowany w obliczeniach, takich jak liczba zdarzeń występujących w danym okresie. Innym popularnym przykładem jest rozkład dwumianowy, który modeluje eksperymenty z tylko dwoma możliwymi wynikami, takimi jak sukces lub porażka.
Aby zastosować teorię dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa, konieczne jest zrozumienie ich specyficznych właściwości i charakterystyk, a także umiejętność obliczania prawdopodobieństw i interpretowania wyników. Ćwiczenia praktyczne są niezbędne do pogłębienia wiedzy i rozwinięcia umiejętności w tej dziedzinie prawdopodobieństwa.
Poznaj główne rozkłady dyskretne stosowane w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa.
Poznaj główne rozkłady dyskretne stosowane w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa. Dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa są ważnymi narzędziami w analizie statystycznej, umożliwiającymi modelowanie i przewidywanie zdarzeń losowych. Do głównych rozkładów dyskretnych należą: rozkład Bernoulliego, rozkład dwumianowy, rozkład geometryczny, rozkład Poissona oraz rozkład hipergeometryczny.
A Rozkład Bernoulliego służy do modelowania eksperymentów, w których możliwe są tylko dwa wyniki, na przykład sukces lub porażka. rozkład dwumianowy Stosuje się ją w sytuacjach, w których istnieje stała liczba niezależnych prób, a w każdej próbie możliwe są tylko dwa wyniki, na przykład sukces lub porażka.
A rozkład geometryczny służy do modelowania liczby prób aż do pierwszego sukcesu w ciągu niezależnych eksperymentów. Rozkład Poissona służy do modelowania występowania rzadkich zdarzeń w określonym przedziale czasu lub przestrzeni.
Wreszcie rozkład hipergeometryczny Służy do modelowania eksperymentów, w których następuje selekcja bez zastępowania elementów ze skończonej populacji, przy czym interesuje nas liczba sukcesów w konkretnej próbie.
Aby lepiej zrozumieć te rozkłady dyskretne i ich zastosowanie, ważne jest ćwiczenie. Rozwiązywanie problemów z tymi rozkładami może pomóc w utrwaleniu wiedzy i doskonaleniu umiejętności statystycznych i probabilistycznych.
Dlatego też przy badaniu statystyki i rachunku prawdopodobieństwa niezbędna jest znajomość charakterystyk i zastosowań głównych rozkładów dyskretnych, takich jak rozkład Bernoulliego, rozkład dwumianowy, rozkład geometryczny, rozkład Poissona i rozkład hipergeometryczny.
Rodzaje rozkładów prawdopodobieństwa: poznaj różne formy rozkładów statystycznych.
Rozkłady prawdopodobieństwa to modele matematyczne opisujące losowe zachowanie zjawiska. Istnieją różne rodzaje rozkładów prawdopodobieństwa, z których każdy ma swoje własne cechy i zastosowania. W tym artykule skupimy się na dyskretnych rozkładach prawdopodobieństwa, które są powiązane ze zmiennymi dyskretnymi – takimi, które mogą przyjmować konkretne, policzalne wartości.
Do najpopularniejszych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa należą rozkład jednostajny, rozkład dwumianowy, rozkład Poissona i rozkład geometryczny. Każdy z tych rozkładów ma swoje własne właściwości i jest wykorzystywany w różnych kontekstach statystycznych.
Na przykład rozkład jednostajny charakteryzuje się przypisywaniem tego samego prawdopodobieństwa wszystkim możliwym wartościom zmiennej dyskretnej. Rozkład dwumianowy służy do modelowania liczby sukcesów w sekwencji niezależnych prób, z których każda ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu. Z kolei rozkład Poissona służy do modelowania liczby rzadkich zdarzeń w przedziale czasowym lub przestrzennym. Z kolei rozkład geometryczny służy do modelowania liczby prób potrzebnych do pierwszego sukcesu w sekwencji niezależnych prób.
Aby lepiej zrozumieć, jak działają te rozkłady, ważne jest ćwiczenie. Na przykład, możemy obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów w 5 rzutach uczciwą monetą, korzystając z rozkładu dwumianowego. Albo możemy określić prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej 2 zdarzeń w określonym przedziale czasu, korzystając z rozkładu Poissona.
Dzięki zrozumieniu cech i zastosowań tych rozkładów, statystyka i specjaliści w dziedzinie nauk pokrewnych mogą podejmować bardziej świadome i trafne decyzje w oparciu o dane probabilistyczne.
Które zmienne są uważane za dyskretne w teście prawdopodobieństwa?
W teorii prawdopodobieństwa zmienne dyskretne to takie, które mogą przyjmować skończoną lub policzalną liczbę wartości. Oznacza to, że zmienne dyskretne to zmienne policzalne, zazwyczaj reprezentowane przez liczby całkowite. Na przykład liczba samochodów na parkingu, liczba uczniów w klasie i liczba oczek na kostce do gry to przykłady zmiennych dyskretnych.
Zmienne te różnią się od zmiennych ciągłych, które mogą przyjmować nieskończoną liczbę wartości w określonym zakresie. Podczas gdy zmienne dyskretne mają określone, dyskretne wartości, zmienne ciągłe mogą przyjmować dowolne wartości w zakresie ciągłym. Na przykład wzrost osoby, czas potrzebny na wykonanie zadania i temperatura w pomieszczeniu są przykładami zmiennych ciągłych.
Zatem zmienne dyskretne w teście prawdopodobieństwa to takie, które można policzyć i które przyjmują określone, oddzielne wartości, w przeciwieństwie do zmiennych ciągłych, które mogą przyjmować dowolne wartości w pewnym zakresie.
Dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa: charakterystyka, ćwiczenia
As dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa są funkcją, która każdemu elementowi X(S) = {x1, x2, …, xi, …} przypisuje, gdzie X to dana dyskretna zmienna losowa, a S to przestrzeń próbkowania, prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia. Ta funkcja f z X(S) zdefiniowana jako f(xi) = P(X = xi) jest czasami nazywana funkcją prawdopodobieństwa masy.
Ta masa prawdopodobieństwa jest zazwyczaj przedstawiana w postaci tabeli. Ponieważ X jest dyskretną zmienną losową, X(S) ma skończoną lub nieskończoną liczbę zdarzeń. Do najpopularniejszych dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa należą rozkład jednostajny, rozkład dwumianowy i rozkład Poissona.
Cechy
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa musi spełniać następujące warunki:
Co więcej, jeśli X przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości (np. x1, x2, …, xn), to p(xi) = 0, jeśli i > n, a zatem nieskończony szereg warunków b staje się szeregiem skończonym
Funkcja ta spełnia również następujące właściwości:
Niech B będzie zdarzeniem skojarzonym ze zmienną losową X. Oznacza to, że B jest zawarte w X(S). Załóżmy konkretnie, że B = {xi1, xi2,…}. Zatem:
Innymi słowy: prawdopodobieństwo zdarzenia B jest równe sumie prawdopodobieństw poszczególnych wyników powiązanych ze zdarzeniem B.
Z tego możemy wywnioskować, że jeśli
Rodzaje
Jednorodny rozkład w n punktach
Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi charakteryzującemu się tym, że jest jednostajna w n punktach, jeśli każdej wartości przypisane jest to samo prawdopodobieństwo. Jej funkcja masy prawdopodobieństwa ma postać:
Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment z dwoma możliwymi wynikami: rzucamy monetą, której wynikiem może być orzeł lub reszka, albo wybieramy liczbę całkowitą, której wynikiem może być liczba parzysta lub nieparzysta; Ten rodzaj eksperymentu znany jest jako test Bernoulliego.
Ogólnie rzecz biorąc, dwa możliwe wyniki nazywane są sukcesem i porażką, gdzie p to prawdopodobieństwo sukcesu, a 1-p to prawdopodobieństwo porażki. Możemy określić prawdopodobieństwo x sukcesów w n niezależnych próbach Bernoulliego, korzystając z następującego rozkładu.
Rozkład dwumianowy
Funkcja ta reprezentuje prawdopodobieństwo uzyskania x sukcesów w n niezależnych próbach Bernoulliego, których prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p. Jej funkcja masy prawdopodobieństwa to:
Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu dwumianowego.
Poniższy rozkład zawdzięcza swoją nazwę francuskiemu matematykowi Simeonowi Poissonowi (1781-1840), który uznał go za granicę rozkładu dwumianowego.
Rozkład Poissona
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona parametru λ, gdy może przyjmować dodatnie wartości całkowite 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, … z następującym prawdopodobieństwem:
W tym wyrażeniu λ jest średnią liczbą wystąpień zdarzenia w każdej jednostce czasu, a x jest liczbą wystąpień zdarzenia.
Funkcja prawdopodobieństwa masy wynosi:
Poniżej znajduje się wykres przedstawiający funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu Poissona.
Należy pamiętać, że dopóki liczba sukcesów jest niska, a liczba przeprowadzonych testów na rozkładzie dwumianowym jest wysoka, zawsze możemy przybliżyć te rozkłady, ponieważ rozkład Poissona jest granicą rozkładu dwumianowego.
Główną różnicą pomiędzy tymi dwoma rozkładami jest to, że rozkład dwumianowy zależy od dwóch parametrów – nep – natomiast rozkład Poissona zależy tylko od λ, które jest czasami nazywane intensywnością rozkładu.
Do tej pory omawialiśmy rozkłady prawdopodobieństwa wyłącznie w przypadkach, gdy różne eksperymenty są od siebie niezależne, czyli gdy wynik jednego eksperymentu nie jest uzależniony od wyniku innego.
Gdy eksperymenty nie są niezależne, rozkład hipergeometryczny jest bardzo użyteczny.
Rozkład hipergeometryczny
Niech N będzie całkowitą liczbą obiektów w skończonym zbiorze, z którego k można w jakiś sposób zidentyfikować, tworząc podzbiór K, którego dopełnieniem są pozostałe Nk elementów.
Jeśli wybierzemy losowo n obiektów, zmienna losowa X reprezentująca liczbę obiektów należących do K w tym wyborze będzie miała rozkład hipergeometryczny parametrów N, n i k. Jej funkcja prawdopodobieństwa masy wynosi:
Poniższy wykres przedstawia funkcję masy prawdopodobieństwa dla różnych wartości parametrów rozkładu hipergeometrycznego.
Rozwiązane ćwiczenia
Pierwsze ćwiczenie
Załóżmy, że prawdopodobieństwo, że lampa radiowa (umieszczona w określonym typie urządzenia) będzie działać dłużej niż 500 godzin, wynosi 0,2. Jeśli przetestowanych zostanie 20 lamp, jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie k z nich będzie działać dłużej niż 500 godzin, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Rozwiązanie
Jeśli X jest liczbą rur pracujących dłużej niż 500 godzin, założymy, że X ma rozkład dwumianowy. Wtedy
I tak:
Dla k≥11 prawdopodobieństwo jest mniejsze niż 0,001
Możemy zatem zaobserwować, jak prawdopodobieństwo, że k z tych osób przepracuje ponad 500 godzin, wzrasta, aż osiągnie wartość maksymalną (przy k = 4), a następnie zaczyna spadać.
2. ćwiczenie
Rzucamy monetą 6 razy. Jeśli wypadnie orzeł, nazywamy to sukcesem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną dokładnie dwa orły?
Rozwiązanie
W tym przypadku mamy n = 6, a prawdopodobieństwo sukcesu i porażki wynosi p = q = 1/2
Dlatego prawdopodobieństwo, że dane są dwie ściany (tj. k = 2) wynosi
Trzecie ćwiczenie
Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia co najmniej czterech ścian?
Rozwiązanie
W tym przypadku mamy k = 4, 5 lub 6
Trzecie ćwiczenie
Załóżmy, że 2% produktów produkowanych w fabryce jest wadliwych. Znajdź prawdopodobieństwo P, że w próbie 100 produktów znajdą się trzy wadliwe produkty.
Rozwiązanie
W tym przypadku możemy zastosować rozkład dwumianowy dla n = 100 i p = 0,02, otrzymując w rezultacie:
Ponieważ jednak p jest małe, stosujemy przybliżenie Poissona z λ = np = 2. Tak więc
Referencje
- Kai Lai Chung: Elementarna teoria prawdopodobieństwa z procesami stochastycznymi. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Matematyka dyskretna i jej zastosowania. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Rachunek prawdopodobieństwa i zastosowania statystyki. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, doktorat z 2000 roku, Rozwiązane problemy z matematyki dyskretnej. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, doktorat. Problemy teorii i rachunku prawdopodobieństwa. McGraw-HILL