Typy zależności matematycznych wynikających ze zmienności: teoria, testy i zastosowania

Strona główna » Bez kategorii » Wskazówki dotyczące relacji matematycznych między zmiennymi: teoria, testowanie i zastosowania

Capire che di legam c'è tra due variabili è una delle domande più częstych in statistica applicata, scienza dei dati e ricerca sperimentale e ricerca ilościowe . W drugą stronę relacja jest liniowa i zawsze stanowi część cogliere, w drugą stronę jest monotonna, ale nieliniowa, z kategorią monetarną i nienumeryczną, kotwica zależy od trzeciej zmiennej, która zakłóca le acque: insomma, non è una passeggiata.

W tym praktycznym i teoretycznym przewodniku po włosku, w trybie organicznym, poznajemy główne wskazówki dotyczące matematycznych relacji między zmiennymi , takie jak wizualna diagnoza i formalny test, współczynniki jakościowe (Pearson, Spearman, Kendall), z wieloma zmiennymi (chi-quadro di indipendenza, test esatto di Fisher, V di Cramér, współczynnik kontingenza, phi), jak zgadzam się na wartość z Kappa, oraz jak zarządzać zmiennością umowy , aby przetwarzać korelację między zmiennymi. Ponadto, apriamo una finestra sull' algebra delle relazioni (w sensie siemistycznym i obliczeniowym), niezbędne do formalizacji pojęć takich jak dziedzina, kompozycja, inversa i funkcje.

Co zamierzamy osiągnąć w ramach „relacji” ze względu na zmienność

W języku matematycznym relacja R pomiędzy A i B jest sottoinsieme kartezjańskiego prodotto A×B : rzędna kopii (a, b) widoczna dla R wskazuje, że element a di A jest „w relacji” z elementem b di B. In termini applicati, relacja può essere deterministica (funzione) oppure probabilistica (associazione stochastica): w pierwszym przypadku ad ogni a coresponde esatamente un b, w sekundzie serwowaliśmy tendencję (più lub mniej silną), a nie legam uno-a-uno.

Wszystkie wewnętrzne relacje algebry (w sensie insiemicznym) są interesującymi własnościami, takimi jak riflessività (ogni a è w odniesieniu do tej relacji), symetria ((a, b) implikuje (b, a)), antysymetria (jeśli (a, b) i (b, a) to a = b) i transitività (da (a, b) i (b, c) wynika z (a, w)). Ta własność jest kluczowa: jeśli relacja jest zespolona, ​​symetryczna i przechodnia , ujawnia relację równoważności, która „dzieli” A na klasy równoważnych elementów. Jeśli relacja jest riflessive, antysymetryczna i przechodnia, abbiamo una relazione d'ordine.

W tej analizie przekładamy tę ideę na praktykę: oceniając rodzaj zmienności (ilościowe continua, ordinali, nominali/dicotomiche) e la classificazione nalle statistiche e scegliamo strumenti adeguati per misurare la relazione, wiedząc, że „relazione” nie zawsze oznacza „przyczyna-skutek”.

Ispezione wizualne: zjedz wzór i kierunek riconoscere

Prima di buttarsi nei numeri, un grapho a dyspersja to najinteligentniejszy demossa. Chmura wzdłuż linii prostej sugeruje zależność liniową (dodatnią lub ujemną); ustrukturyzuj krzywą wskazując zależności nieliniowe (ale monotonne). Jeśli nie naruszysz wzorca, liniowa zależność może zniszczyć zgodę.

W przypadku zmiennych wartości wykres punktowy pannelli (i przykład w R z pairs(dati) ) i linia trendu smussate (geom_smooth w ggplot2) mogą pomóc w odnotowaniu powiązań, skupień i wartości odstających . Uwaga: gli odstający podeno influenzare moltissimo i współczynniki, gatunek Pearson.

Na przykład w R możesz zacząć w ten sposób: pairs(data)

# Matrice di grafici a dispersione
pairs(dati)

# Correlazioni grezze (matrice)
cor(dati, use = "pairwise.complete.obs")

Pierwsze wizualne przesiewanie, skorygowane liczbowo, pomaga monitorować test na podstawie kształtu, monotonii i pozornej liniowości.

Sprawdź jego normalność: podczas podawania davvero

Test parametryczny (podobnie jak test Pearsona) zakłada w niektórych przypadkach normalną lub symetryczną strukturę bez ciężkiego kodu. Per controllare l'ipotesi, si parte spesso da strumenti grafici como istogrammi condensità e QQ-plot.

W języku R minimalna bateria może obejmować:

# Istogrammi con densità e curva normale sovrapposta
par(mfrow = c(2, 2))
plot_hist <- function(x) {
  hist(x, prob = TRUE)
  lines(density(x), col = "red")
  curve(dnorm(x, mean(x), sd(x)), add = TRUE, col = "blue")
}
plot_hist(dati$GASTEDU)
plot_hist(dati$GASAUDE)
plot_hist(dati$GASLAZER)
plot_hist(dati$IDADE)

Aby porównać obserwowane wielkości ze standardem normalnym, wykres QQ jest nieinstytucjonalny:

par(mfrow = c(2, 2))
qqfun <- function(x) {
  qqnorm(x, main = "", xlab = "Quantili teorici N(0,1)", pch = 20)
  qqline(x, col = "red", lty = 1)
}
qqfun(dati$IDADE)
qqfun(dati$GASAUDE)
qqfun(dati$GASLAZER)
qqfun(dati$GASTEDU)

Biorąc to pod uwagę, jeśli nie mogę zastosować formalnego testu normalności rozkładu do gromadzenia dowodów: Kołmogorowa–Smirnowa z parametrami statystycznymi, Lillieforsa, Craméra–von Misesa, Shapiro–Wilka, Shapiro–France, Andersona–Darlinga i testu normalności rozkładu Pearsona (chi-quadro).

normalita <- function(x) {
  t1 <- ks.test(x, "pnorm", mean(x), sd(x))            # Kolmogorov–Smirnov
  t2 <- nortest::lillie.test(x)                         # Lilliefors
  t3 <- nortest::cvm.test(x)                            # Cramér–von Mises
  t4 <- shapiro.test(x)                                 # Shapiro–Wilk
  t5 <- nortest::sf.test(x)                             # Shapiro–Francia
  t6 <- nortest::ad.test(x)                             # Anderson–Darling
  t7 <- PearsonDS::pearson.test(x)                      # Pearson chi-quadro di normalità
  pv <- c(t1$p.value, t2$p.value, t3$p.value, t4$p.value, t5$p.value, t6$p.value, t7$p.value)
  data.frame(p_value = pv, row.names = c(t1$method, t2$method, t3$method, t4$method, t5$method, t6$method, t7$method))
}
normalita(dati$GASAUDE)

Jeśli datowanie jest normalne i zależność jest liniowa , współczynnik Pearsona jest dobrym pierwszym wyborem; w przeciwnym razie rozsądnie jest mieszać podstawę sui ranghi ze Spearmanem lub Kendallem.

Związek zmienności ilościowej: kowariancja i korelacja

Kowariancja pomiędzy Problemem jest kowariancja zależna od jednostki mieszanej , która jest mało porównywalna.

Korelacja liniowa Pearsona rozwiązuje problem standaryzacji odchylenia standardowego: współczynnik r waha się między -1 a 1, dając wartości od ±1, co oznacza silną zależność liniową (dodatnią lub ujemną), do 0, co sugeruje liniowość. Uwaga: r = 0 nie wyklucza zależności nieliniowych.

Obliczenia korelacji w R:

# Coefficiente di Pearson e test di significatività
cor(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "pearson")

Gdy relacja jest monotonna, ale nieliniowa lub gdy nie jest normalna (wartość odstająca), sensowne jest użycie Spearmana (ranghi; mocny i przystosowany do średnio-dużych campioni) lub Kendalla τ (basato su concordanze/discordanze; preferibile su campioni piccoli lub con molti pareggi):

# Correlazioni non parametriche
cor.test(dati$GASTEDU, dati$GASAUDE, method = "spearman")

# Su un sottoinsieme più piccolo, meglio Kendall
dati2 <- head(dati, 20)
cor.test(dati2$IDADE, dati2$GASAUDE, method = "kendall")

Pomysł użyteczny: współczynnik do wyznaczania R² w modelu liniowym bez restytucji zmiennej stopy Y spiegata liniowo z X. W R:

summary(lm(GASAUDE ~ ESTCIVIL, data = dati))$r.squared

W przypadku zmienności dychotomicznej i ilościowej współczynnik punktowo-dwuseryjny pokrywa się z wyliczeniem Pearsona ze zmienną kodowaną 0/1; w praktyce współczynnik kor(dichotomiczny, ilościowy) z metodą = „pearson”.

Kategorie zmienne: indipendenza, siła skojarzenia i piccoli campioni

Gdy zmienność snu nominalnego lub porządkowego wchodzi w zakres , związek bada się za pomocą tablicy kontyngencji (częstość z klasyfikacją doppia). Typowa ipotesi to: H0 = niezależność (konieczne powiązanie), kontrola H1 = dwuzależność.

Testem różnicowym jest model chi-indipendenza . Jeśli Twój sen jest często krótszy niż ten (zazwyczaj <5), jeśli zastosujesz korelację Yatesa dla 2×2 lub zdasz test Fishera , szczególnie wskazane w przypadku Campioni Piccoli.

# Tabella incrociata e chi-quadro
xtabs(~ PROFI + ESTCIVIL, data = dati) -> tab1
chisq.test(dati$PROFI, dati$ESTCIVIL)  # p-value non significativo => indipendenza plausibile

# Campioni piccoli: test di Fisher
chisq.test(dati$PROFI, dati$RENDA)
fisher.test(dati2$PROFI, dati2$RENDA)

Aby określić intensywność skojarzenia w tabeli I×J, należy użyć: V di Cramér (0–1), współczynnika kontyngencji (0–1, ograniczenie), a w 2×2 il phi (φ) , co formalnie jest zastosowaniem równania Pearsona do tabeli binarnej.

# Misure di associazione per tabelle
library(vcd)
xtabs(~ PROFI + RENDA, data = dati) -> tab2
assocstats(tab2)  # riporta V di Cramér, coeff. di contingenza e test

# Attenzione: cor() su codifiche numeriche di categorie non è equivalente a φ in generale

Jeśli chodzi o porównanie grup ze zmiennymi ilościowymi (Reddit per profesja), jeśli test jest wyceniany , ANOVA i alternatywna analiza nieparametryczna, nie ma przedziału ufności. Zasadniczo jest to zgodne z typem zmienności, a metoda jest fundamentalna.

Accordo tra valutatori: Kappa di Cohen

Kiedy due (più) giudici klasyfikuje gli stessi oggetti w kategorii, nie wystarczy wymieszać procent zgodności, w tym przypadku perché a quota può essere dovuta . Il Kappa di Cohen określa ilościowo poprawną zgodność dla umowy przypadkowej: oceniam ją dalej do 0, wskazując zgodność pari al caso, cenię ją maggiori sugerując zgodność rosnącą (interpretazioni comuni: Scarso, Discreet, Moderato, Good, Molto Good).

W R można oszacować Kappa anche inversione ponderata (wg kategorii ordinali):

set.seed(1)
val1 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)
val2 <- sample(0:1, 10, replace = TRUE)

# Kappa non ponderato
fmsb::Kappa.test(val1, val2)

Jeśli kategoria nie jest niezwykle naturalna (a czasami łagodna/umiarkowana/poważna), Kappa traktuje karę w przypadku nieporozumień mniej jako „vicini”, a mniej jako „lontani”, co skutkuje znacznie bardziej pouczającą oceną.

Relazioni e variabili di confused: la correlazione parziale

Può capitare che due variabile W pytaniu, jeśli obliczysz korelację pomiędzy X i Y kontrolującymi Z.

W R z ggm::pcor si ottiene la correlazione parziale di primo ordine e si può testne lasignificatività. Przydatne jest porównanie muzyki klasycznej i parziale per capire jako Z „spiega” del legam grezzo.

library(ggm)
# Correlazione parziale tra GASLAZER e GASAUDE controllando GASTEDU
rp <- pcor(c("GASLAZER", "GASAUDE", "GASTEDU"), var(dati))

# Correlazione grezza
r  <- cor(dati$GASLAZER, dati$GASAUDE)

# Test della correlazione parziale (1 variabile di controllo)
pcor.test(rp, 1, length(dati$GASAUDE))

# Confronto R^2 grezzo vs parziale
data.frame("Senza_controllo" = r^2, "Con_controllo" = rp^2)

Jeśli kurek „kręci się” w kontroli, Allora Z była ważnym partnerem . Gdy zmienną kontrolną jest kategoria (np. profesja), nie mogę zastosować podobnych podejść ani modeli, które uwzględniają kategorię jako czynnik.

Ograniczenie i dobre praktyki w stosowaniu korelacji

Współczynnik Pearsona łączy tylko liniowość . Jeśli zależność jest nieliniowa (kwadratowa, sponenzialna, logarytmiczna), może ona dać wynik 0 pur przy obecności silnej zależności. W takim przypadku wartości Spearmana transformują odpowiednio model nieliniowy.

Z tego powodu , przede wszystkim, warto sprawdzić wykres i, jeśli to konieczne, przeprowadzić analizę odpornościową lub sprawdzić wrażliwość wyniku przy eliminowaniu punktów skrajnych.

Kolejny klasyk: korelacja ≠ przyczynowość . Ze względu na zmienność nie mogę powiązać ze sobą grypy snu, która daje trzeci tłuszcz, po prostu zbieg okoliczności lub efekt odwrotnego mechanizmu. Servono disegni eksperymentali, strumenti causali lub modelli appropriati per parlare di causa-effetto.

Typ relacji: liniowy, monotonny, zerowy, kategorialny

Jest to często mieszane (ilościowe lub dychotomiczne/nominalne/zwykłe), jeśli staje się testem porównania między grupami, korelacjami dwuserialowymi/punktowo-biserialnymi lub modelem (i przykładową regresją z czynnikami predykcyjnymi). Z różnymi kategoriami , ci si affida chi-quadro/Fisher i wszystkie siły dell'associazione già viste.

Funkcje jedzenia specjalnych relacji

Funkcja to relacja , która, dla każdego elementu dziedziny, ściśle wiąże jeden element dziedziny przeciwnej. Podsumowując, jest to podtekst równania A×B, w którym każde a w A porównuje pojedynczą voltę z pierwszym składnikiem. Inne ważne operacje w algebrze tej relacji to: suma (R1 ∪ R2), intersekcja (R1 ∩ R2), kompozycja (R2 ∘ R1) i odwrotność (R^{-1}, która jest prostą kopią (a, b) w (b, a)).

Questi mattoni conceptuali tornano utili sia nella matematica pure (equivalenze, ordini, classi diquivalenza) sia w aplikacjach betonowy gołąb służy do formalizowania relacji z podmiotu.

Algebra relacji i nauka, którą dałem

W świecie baz danych algebra względna stanowi teoretyczną strukturę języka SQL: operacje takie jak selekcja, proiezja, łączenie, łączenie i intersezione versioni ćwiczeniowe operacje względnego zbioru. Ta formalizacja jest potężną bronią do szybkiego opisywania, optymalizacji i manipulowania danymi.

W kontekście sztucznej inteligencji i uczenia maszynowego, zdolność modelowania relacji między podmiotami pozwala na opłacalną konstrukcję wiedzy, systemów poleceń i kanałów integracji; Wartość ta jest ważna w ekonomii, biostatystyce i naukach społecznych, prawie zawsze jest to „ chi è legato a chi, e in che mode ”.

Klasyczne przykłady relacji w teorii układów

Relacja równoważności : sen realistyczny, symetryczny i przechodni. Esempi tipici includono „avere lo stesso valore assoluto” sui reali o la congruenza modulo n sugli interi. Ogni relacja równoważności indukuje classi di równoważność , która ripartiscono l'insieme in blocchi disgiunti.

Relazioni d' ordine : karabinowy, antysymetryczny i przechodni. Esempi: ≤ sui numeri naturali, l'inclusione ⊆ sull'insieme delle parti P(X), o „dziel” (|) sui naturali. Sono fondamentali perdefinie ordinamenti totali lub parziali e per ragionare su Massimi, Minimi, Catene i Antichains.

Lisykografia porządkowa : to, co powiedziałem. Jest to porządek w sekwencji (stringhe, liczba zapisana w sekwencji), który porównuje element po elemencie. W tej strukturze występuje istotny szum, a ja pomijam algorytmy.

Ta sekcja jest przydatna, ponieważ „relazione” w matematyce jest głównym pojęciem jedynej korelacji : obejmuje uguaglianze, ordini, kompozycję i wiele więcej, a wszystko to jest niezbędne do modellare sistemi complessi.

Praktyczny przepływ pracy: kontrola wyników

Możliwe jest płynne wykonywanie pracy bez jej utraty podczas konstrukcji, a czasami:

• Kontrola graficzna: wykres punktowy, wygładzanie, istogrammi, wykres QQ. Occhio a outlier e forma non lineari.
• Czeki:jeśli działa, przetestuj normalność; Kontroluj normalność, jeśli przewidziany jest model liniowy.
• Scelta del coefficient: Pearson (lineare, dati circa normali), Spearman/Kendall (monotona/non normale/piccoli campioni).
• Kategoryczny: chi-quadro/Fisher + misure d'associazione (V di Cramér, coeff. di contingenza, φ). Do porównania grupowego test t/ANOVA lub alternatywa.
• Zgodni: skoreluj model parziale lub wielowymiarowy (w tym kategoria fattori).

Qualunque sia la scelta, interpretae nel Competitiono è la chiave: grandezza dell'effetto, znaczące statystyki, ampiezza del campione e qualità dei dati contano como (se non più) del numero finale.

Esempi di codice R ricorrenti

Krótko mówiąc, możesz użyć tej metody , aby zwiększyć dokładność analizy relacji między zmiennymi, a następnie dostosować ją do swojego zestawu danych:

# 1) Correlazioni
cor(x, y, method = "pearson")
cor.test(x, y, method = "spearman")
cor.test(x_small, y_small, method = "kendall")

# 2) Grafici (base e ggplot2)
plot(x, y)
# ggplot2: geom_point() + geom_smooth(method = "lm" o se = FALSE)

# 3) Normalità
shapiro.test(x)
nortest::ad.test(x)

# 4) Tabelle e test
xtabs(~ a + b, data = dati) -> tab
chisq.test(tab)
fisher.test(tab)  # campioni piccoli o celle con attesi < 5
vcd::assocstats(tab)  # V di Cramér e coeff. di contingenza

# 5) Kappa
afmsb::Kappa.test(giudice1, giudice2)

# 6) Correlazione parziale
ggm::pcor(c("x", "y", "z"), var(dati))

Uwaga praktyczna : wybór „giuste” zależy od danych. Warto zweryfikować hipotezę, porównać metodę i, jeśli się sprawdzi, skonstruować skrypt piccolo, aby szybko i rzetelnie zdiagnozować problem.

Abbiamo zauważył, że „relazione” może oznaczać najczęściej: formę linearną u Pearsona, monotonię u Spearmana/Kendalla, cienkie skojarzenia w ramach kategorii z chi-quadro/Fisher i misure z V di Cramérem i φ; senza dimenticare umowę pomiędzy giudici (Kappa) a zarządem dałem confondenti z korelacją parziale. Dlatego algebra relacyjna fornisce i mattoni conttuali na dziedzinę definiującą, odwrotność i kompozycję, pomiędzy algebrą relacyjną kieruje trybem, w którym archiwizuję, a bazą danych interroghiamo i dati nei. Pomysłem jest scegliere lo strumento in base al type di variabili, alla forma del legam e agli obiettivi dell'analisi , ricordandoci che nessun cooperativee, da solo, può raccontare tutta la storia.