Distribuțiile de probabilitate discrete sunt modele matematice care descriu apariția evenimentelor cu valori finite discrete. Aceste distribuții sunt caracterizate prin proprietățile lor, cum ar fi suma probabilităților tuturor rezultatelor posibile egală cu 1 și prezența unui parametru care determină forma distribuției. În acest articol, vom explora caracteristicile celor mai comune distribuții de probabilitate discrete, cum ar fi distribuția Bernoulli, distribuția binomială, distribuția Poisson și distribuția geometrică, precum și vom prezenta câteva exerciții practice pentru a înțelege mai bine aceste concepte.
Înțelegerea conceptului de distribuție discretă a probabilității: o explicație simplă și clară.
Pentru a înțelege conceptul de distribuție discretă a probabilității, este important să înțelegem că este o funcție matematică ce asociază o probabilitate fiecărui rezultat posibil al unui experiment aleatoriu. Cu alte cuvinte, distribuția discretă a probabilității ne permite să determinăm șansa ca fiecare rezultat să apară într-un set finit sau enumerabil de posibilități.
O distribuție discretă de probabilitate este caracterizată prin funcția sa de probabilitate, care atribuie fiecărui rezultat o valoare non-negativă, suma tuturor probabilităților fiind egală cu 1. În plus, rezultatele posibile sunt distincte și izolate, fără posibilitatea apariției unor valori intermediare.
Un exemplu clasic de distribuție discretă a probabilității este distribuția Poisson, utilizată pe scară largă în procesele de numărare, cum ar fi numărul de evenimente care au loc într-o anumită perioadă de timp. Un alt exemplu comun este distribuția binomială, care modelează experimente cu doar două rezultate posibile, cum ar fi succesul sau eșecul.
Pentru a aplica teoria distribuțiilor discrete de probabilitate, este necesar să se înțeleagă proprietățile și caracteristicile specifice ale acestora, precum și să se poată calcula probabilitățile și să se interpreteze rezultatele. Exercițiile practice sunt esențiale pentru a aprofunda înțelegerea și dezvoltarea abilităților în acest domeniu al probabilităților.
Aflați despre principalele distribuții discrete utilizate în statistică și probabilități.
Aflați despre principalele distribuții discrete utilizate în statistică și probabilități. Distribuțiile de probabilitate discrete sunt instrumente importante în analiza statistică, permițând modelarea și prezicerea evenimentelor aleatorii. Printre principalele distribuții discrete se numără distribuția Bernoulli, distribuția binomială, distribuția geometrică, distribuția Poisson și distribuția hipergeometrică.
A Distribuția Bernoulli este utilizat pentru a modela experimente cu doar două rezultate posibile, cum ar fi succesul și eșecul. distribuție binomială Se aplică în situații în care există un număr fix de încercări independente, cu doar două rezultate posibile în fiecare încercare, cum ar fi succesul și eșecul.
A distribuție geometrică este utilizat pentru a modela numărul de încercări până la primul succes într-o secvență de experimente independente. Distribuția Poisson este utilizată pentru a modela apariția unor evenimente rare într-un interval specific de timp sau spațiu.
În cele din urmă, distribuție hipergeometrică Se utilizează pentru modelarea experimentelor în care există o selecție fără înlocuire a elementelor dintr-o populație finită, cu interes pentru numărul de succese într-un eșantion specific.
Pentru a înțelege mai bine aceste distribuții discrete și cum să le aplicăm, este important să exersăm prin exerciții. Rezolvarea problemelor care implică aceste distribuții poate ajuta la consolidarea cunoștințelor și la perfecționarea abilităților statistice și probabilistice.
Prin urmare, atunci când se studiază statistica și probabilitățile, este esențial să se cunoască caracteristicile și aplicațiile principalelor distribuții discrete, cum ar fi distribuția Bernoulli, distribuția binomială, distribuția geometrică, distribuția Poisson și distribuția hipergeometrică.
Tipuri de distribuții de probabilitate: aflați despre diferitele forme de distribuții statistice.
Distribuțiile de probabilitate sunt modele matematice care descriu comportamentul aleatoriu al unui fenomen. Există diferite tipuri de distribuții de probabilitate, fiecare cu propriile caracteristici și aplicații. În acest articol, ne vom concentra asupra distribuțiilor de probabilitate discrete, care sunt asociate cu variabile discrete - cele care pot lua valori specifice, numărabile.
Printre cele mai comune distribuții de probabilitate discrete se numără distribuția uniformă, distribuția binomială, distribuția Poisson și distribuția geometrică. Fiecare dintre aceste distribuții are propriile proprietăți și este utilizată în contexte statistice diferite.
Distribuția uniformă, de exemplu, este caracterizată prin atribuirea aceleiași probabilități tuturor valorilor posibile ale unei variabile discrete. Distribuția binomială este utilizată pentru a modela numărul de succese într-o secvență de încercări independente, fiecare cu aceeași probabilitate de succes. Distribuția Poisson, la rândul ei, este utilizată pentru a modela numărul de evenimente rare într-un interval de timp sau spațiu. Iar distribuția geometrică este utilizată pentru a modela numărul de încercări necesare până la primul succes într-o secvență de încercări independente.
Pentru a înțelege mai bine cum funcționează aceste distribuții, este important să exersăm cu exerciții. De exemplu, putem calcula probabilitatea de a obține exact 3 capete la 5 aruncări ale unei monede corecte folosind distribuția binomială. Sau putem determina probabilitatea ca cel puțin 2 evenimente să aibă loc într-un interval de timp specific folosind distribuția Poisson.
Prin înțelegerea caracteristicilor și aplicațiilor acestor distribuții, statisticienii și profesioniștii din domeniul științei conexe pot lua decizii mai informate și mai precise pe baza datelor probabilistice.
Care variabile sunt considerate discrete în probabilitate?
În probabilități, variabilele discrete sunt cele care pot lua un număr finit sau numărabil de valori. Aceasta înseamnă că variabilele discrete sunt cele care pot fi numărate, de obicei reprezentate prin numere întregi. De exemplu, numărul de mașini dintr-o parcare, numărul de elevi dintr-o sală de clasă și numărul de fețe de pe un zar sunt toate exemple de variabile discrete.
Aceste variabile sunt distincte de variabilele continue, care pot lua un număr infinit de valori într-un interval specific. În timp ce variabilele discrete au valori specifice, discrete, variabilele continue pot lua orice valoare într-un interval continuu. De exemplu, înălțimea unei persoane, timpul necesar pentru finalizarea unei sarcini și temperatura camerei sunt exemple de variabile continue.
Prin urmare, variabilele discrete în probabilitate sunt cele care pot fi numărate și pot lua valori specifice, separate, spre deosebire de variabilele continue care pot lua orice valoare într-un interval.
Distribuții discrete de probabilitate: Caracteristici, Exerciții
As distribuții de probabilitate discrete sunt o funcție care asociază fiecărui element al lui X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, unde X este o variabilă aleatoare discretă dată, iar S este spațiul de eșantionare, probabilitatea ca acest eveniment să se întâmple. Această funcție f a lui X(S) definită ca f(xi) = P(X = xi) este uneori numită funcția de probabilitate a masei.
Această masă de probabilitate este de obicei reprezentată sub forma unui tabel. Deoarece X este o variabilă aleatoare discretă, X(S) are fie un număr finit, fie un număr infinit de evenimente. Printre cele mai comune distribuții de probabilitate discrete se numără distribuția uniformă, distribuția binomială și distribuția Poisson.
Caracteristici
Funcția de distribuție a probabilității trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
Mai mult, dacă X ia doar un număr finit de valori (de exemplu, x1, x2, …, xn), atunci p(xi) = 0 dacă i > n și, prin urmare, seria infinită de condiții b devine seria finită
Această funcție îndeplinește și următoarele proprietăți:
Fie B un eveniment asociat variabilei aleatoare X. Aceasta înseamnă că B este conținut în X(S). Mai exact, să presupunem că B = {xi1, xi2,…}. Prin urmare:
Cu alte cuvinte: probabilitatea unui eveniment B este egală cu suma probabilităților rezultatelor individuale asociate cu B.
Din aceasta putem concluziona că, dacă
Tipuri
Distribuție uniformă în n puncte
Se spune că o variabilă aleatoare X urmează o distribuție caracterizată prin faptul că este uniformă în n puncte dacă fiecare valoare are aceeași probabilitate atribuită. Funcția sa de masă de probabilitate este:
Să presupunem că avem un experiment cu două rezultate posibile: ar putea fi aruncarea unei monede ale cărei rezultate posibile sunt cap sau pajură sau alegerea unui număr întreg al cărui rezultat ar putea fi un număr par sau impar; Acest tip de experiment este cunoscut sub numele de test Bernoulli.
În general, cele două rezultate posibile se numesc succes și eșec, unde p este probabilitatea de succes și 1 - p este probabilitatea de eșec. Putem determina probabilitatea a x succese în n încercări Bernoulli independente cu următoarea distribuție.
Distribuție binomială
Această funcție reprezintă probabilitatea obținerii a x succese în n încercări Bernoulli independente, a căror probabilitate de succes este p. Funcția sa de masă de probabilitate este:
Următorul grafic reprezintă funcția de masă de probabilitate pentru diferite valori ale parametrilor distribuției binomiale.
Următoarea distribuție își datorează numele matematicianului francez Simeon Poisson (1781-1840), care a obținut-o ca limită a distribuției binomiale.
Distribuția Poisson
O variabilă aleatoare X se spune că are o distribuție Poisson a parametrului λ atunci când poate primi valorile întregi pozitive 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, ... cu următoarea probabilitate:
În această expresie, λ este numărul mediu de apariții ale evenimentului pentru fiecare unitate de timp, iar x este numărul de apariții ale evenimentului.
Funcția sa de probabilitate a masei este:
Mai jos este un grafic care reprezintă funcția de masă de probabilitate pentru diferite valori ale parametrilor distribuției Poisson.
Rețineți că atâta timp cât numărul de succese este mic și numărul de teste efectuate pe o distribuție binomială este mare, putem oricând aproxima aceste distribuții, deoarece distribuția Poisson este limita distribuției binomiale.
Principala diferență dintre aceste două distribuții constă în faptul că, în timp ce binomul depinde de doi parametri – nep –, distribuția Poisson depinde doar de λ, care este uneori numită intensitatea distribuției.
Până acum, am vorbit doar despre distribuțiile de probabilitate pentru cazurile în care diferitele experimente sunt independente unele de altele; adică, atunci când rezultatul unuia nu este afectat de rezultatul celuilalt.
Când experimentele nu sunt independente, distribuția hipergeometrică este foarte utilă.
Distribuție hipergeometrică
Fie N numărul total de obiecte dintr-o mulțime finită, dintre care putem identifica k într-un fel, formând o submulțime K, al cărei complement este format din celelalte Nk elemente.
Dacă alegem n obiecte la întâmplare, variabila aleatoare X care reprezintă numărul de obiecte aparținând lui K în acea alegere va avea o distribuție hipergeometrică a parametrilor N, n și k. Funcția sa de probabilitate a masei este:
Următorul grafic reprezintă funcția de masă de probabilitate pentru diferite valori ale parametrilor de distribuție hipergeometrică.
Exerciții rezolvate
Primul exercițiu
Să presupunem că probabilitatea ca un tub radio (plasat într-un anumit tip de echipament) să funcționeze mai mult de 500 de ore este de 0,2. Dacă se testează 20 de tuburi, care este probabilitatea ca exact k dintre ele să funcționeze mai mult de 500 de ore, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Soluţie
Dacă X este numărul de tuburi care funcționează mai mult de 500 de ore, vom presupune că X are o distribuție binomială. Atunci
Și așa:
Pentru k≥11, probabilitățile sunt mai mici de 0,001
Astfel, putem observa cum probabilitatea ca aceștia să lucreze mai mult de 500 de ore crește, până când atinge valoarea maximă (cu k = 4) și apoi începe să scadă.
Al doilea exercițiu
O monedă este aruncată de 6 ori. Când rezultatul este cap, numim succes. Care este probabilitatea să iasă exact două cape?
Soluţie
În acest caz, avem n = 6 și probabilitatea de succes și eșec este p = q = 1/2
Prin urmare, probabilitatea ca două fețe să fie date (adică k = 2) este
Al treilea exercițiu
Care este probabilitatea de a găsi cel puțin patru fețe?
Soluţie
În acest caz, avem k = 4, 5 sau 6
Al treilea exercițiu
Să presupunem că 2% din articolele produse într-o fabrică sunt defecte. Calculați probabilitatea P ca într-un eșantion de 100 de articole să existe trei articole defecte.
Soluţie
În acest caz, putem aplica distribuția binomială pentru n = 100 și p = 0,02, obținând ca rezultat:
Totuși, deoarece p este mic, folosim aproximarea Poisson cu λ = np = 2. Astfel
Referințe
- Kai Lai Chung: Teoria elementară a probabilităților cu procese stocastice. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Matematică discretă și aplicațiile sale. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPANIA.
- Paul L. Meyer Probabilități și aplicații statistice. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, doctor în filosofie, 2000. Probleme rezolvate în matematică discretă. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, doctor în filosofie, Probleme în teorie și probabilități. McGraw-HILL