Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré opisuje počet výskytov udalosti v konkrétnom časovom alebo priestorovom intervale, keď je známy priemerný počet výskytov. Je široko používané v rôznych oblastiach, ako je štatistika, inžinierstvo, medicína a financie.
Vzorec pre Poissonovo rozdelenie je daný vzťahom P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!, kde λ je priemerný počet výskytov udalosti, k je požadovaný počet výskytov a e je Eulerova konštanta (približne 2,71828).
Toto rozdelenie má niektoré dôležité vlastnosti, ako je nezávislosť medzi výskytmi udalostí, konštantná miera výskytu a absencia súčasných výskytov. Okrem toho možno Poissonovo rozdelenie aproximovať normálnym rozdelením, keď je priemerný počet výskytov veľký.
Aká rovnica sa používa v Poissonovom rozdelení na výpočet pravdepodobností?
Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré opisuje počet výskytov udalosti v konkrétnom časovom intervale alebo v určitej oblasti. Rovnica používaná v Poissonovom rozdelení na výpočet pravdepodobností je nasledovná:
P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
onde:
- P(X = k) je pravdepodobnosť, že v danom časovom intervale alebo oblasti nastanú presne k udalostí.
- λ je priemerná miera výskytu udalostí za jednotku času alebo plochy.
- e je matematická konštanta približne rovná 2,71828.
- k je počet udalostí, ktorých pravdepodobnosť chceme vypočítať.
- k! predstavuje faktoriál k, čo je súčin všetkých kladných celých čísel menších alebo rovných k.
Táto rovnica nám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu presne k udalostí v danom kontexte na základe priemernej miery výskytu týchto udalostí. Poissonovo rozdelenie sa v štatistike široko používa na modelovanie situácií, v ktorých sa zriedkavé udalosti vyskytujú nezávisle a konštantnou rýchlosťou.
Základné charakteristiky Poissonovho procesu.
Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré opisuje počet udalostí, ku ktorým dochádza v pevnom časovom alebo priestorovom intervale. Má niekoľko základných charakteristík, vďaka ktorým je užitočné v rôznych oblastiach vrátane štatistiky, matematiky, inžinierstva a prírodných vied.
Vzorec pre Poissonovo rozdelenie je daný vzťahom: P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!, Kde x predstavuje počet udalostí, ktoré sa vyskytnú v sledovanom intervale a λ je parameter, ktorý predstavuje priemernú mieru výskytu udalostí.
Poissonov model je vhodný pre situácie, kde sa udalosti vyskytujú nezávisle a miera výskytu je konštantná v čase alebo priestore. Napríklad Poissonovo rozdelenie možno použiť na modelovanie počtu hovorov prijatých call centrom v danej hodine.
Medzi dôležité vlastnosti Poissonovho rozdelenia patrí priemer a rozptyl, ktoré sa rovnajú parametru λOkrem toho je Poissonovo rozdelenie nezáporné a nemá hornú hranicu.
Vďaka svojim základným charakteristikám a jedinečným vlastnostiam zohráva zásadnú úlohu v štatistickej analýze a rozhodovaní v rôznych kontextoch.
Ako vypočítať Poissonovo rozdelenie: krok za krokom a praktické príklady.
Na výpočet Poissonovho rozdelenia je dôležité postupovať podľa niekoľkých krokov a použiť správne vzorce. Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré opisuje počet udalostí, ku ktorým dochádza v určitom časovom intervale alebo priestore, pri danej priemernej miere výskytu týchto udalostí.
Vzorec pre Poissonovo rozdelenie je:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
onde:
- P(X = k) je pravdepodobnosť výskytu presne k udalostí
- e je základ prirodzeného logaritmu
- λ je priemerná miera výskytu udalostí
- k je počet udalostí, ktorých pravdepodobnosť chceme vypočítať
- k! je faktoriál k
Ak chcete vypočítať Poissonovo rozdelenie, postupujte podľa týchto krokov:
1. Určte priemernú mieru výskytu udalostí (λ)
2. Vyberte počet udalostí, pre ktoré chcete vypočítať pravdepodobnosť (k)
3. Dosadte hodnoty do vzorca Poissonovho rozdelenia
4. Vypočítajte konečný výsledok
Napríklad, ak je priemerná nehodovosť na rohu ulice 2 za týždeň, aká je pravdepodobnosť, že sa za týždeň stanú presne 3 nehody?
Pomocou vzorca pre Poissonovo rozdelenie máme:
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (0.1353) * (8) / 6 = 0.1804
Preto je pravdepodobnosť, že sa za týždeň stanú presne 3 nehody, 0.1804 alebo 18.04 %.
Ako nájsť priemernú hodnotu udalostí v určitom časovom intervale?
Na nájdenie priemernej hodnoty udalostí v konkrétnom časovom intervale môžeme použiť Poissonovo rozdelenie. Toto rozdelenie sa bežne používa na modelovanie výskytu zriedkavých udalostí v pevnom časovom intervale, ako je napríklad počet hovorov prijatých call centrom za hodinu.
Vzorec pre Poissonovo rozdelenie je daný vzťahom:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
onde:
- P(X = k) je pravdepodobnosť výskytu k udalostí v časovom intervale.
- e je Eulerova konštanta, približne rovná 2.71828.
- λ je priemerný počet udalostí za jednotku času.
- k je počet udalostí, ktoré chceme analyzovať.
- k! predstavuje faktoriál k.
Jednou z najdôležitejších vlastností Poissonovho rozdelenia je, že jeho stredná hodnota sa rovná jeho priemeru, to znamená, že priemer udalostí v určitom časovom intervale je daný ako λ.
Preto na nájdenie priemernej hodnoty udalostí v konkrétnom časovom intervale jednoducho použite priemerný počet udalostí za jednotku času, ktorý vo vzorci Poissonovho rozdelenia predstavuje λ.
Poissonovo rozdelenie: Vzorce, rovnice, model, vlastnosti
A Poissonovo rozdelenie je diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti, prostredníctvom ktorého je známa pravdepodobnosť, že v rámci veľkej vzorky a počas určitého intervalu môže nastať udalosť s malou pravdepodobnosťou.
Poissonovo rozdelenie sa často môže použiť namiesto binomického rozdelenia, ak sú splnené nasledujúce podmienky: veľká veľkosť vzorky a malá pravdepodobnosť.
Siméon-Denis Poisson (1781 – 1840) vytvoril toto rozdelenie, ktoré nesie jeho meno a je veľmi užitočné pri riešení nepredvídateľných udalostí. Poisson publikoval svoje výsledky v roku 1837 vo výskumnej práci o pravdepodobnosti neoprávnených trestných rozsudkov.
Neskôr iní výskumníci prispôsobili toto rozloženie iným oblastiam, napríklad počtu hviezd, ktoré sa dali nájsť v danom objeme priestoru, alebo pravdepodobnosti, že vojak zomrie na kopanec koňa.
Vzorec a rovnice
Matematický tvar Poissonovho rozdelenia je nasledovný:
- μ (niekedy označované aj ako λ) je priemer alebo parameter rozdelenia
– Eulerovo číslo: e = 2.71828
– Pravdepodobnosť dosiahnutia y = k je P
- k je počet úspechov 0, 1,2,3, XNUMX, XNUMX …
- n je počet testov alebo udalostí (veľkosť vzorky)
Diskrétne náhodné premenné, ako už názov napovedá, závisia od náhody a nadobúdajú iba diskrétne hodnoty: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.
Priemerné rozdelenie je dané vzťahom:
Ďalším dôležitým parametrom je rozptyl σ, ktorý meria rozptyl údajov. Pre Poissonovo rozdelenie je to:
σ = μ
Poisson určil, že keď n → ∞ a p → 0, priemer µ – nazývaný aj očakávaná hodnota – má tendenciu ku konštantnej hodnote:
μ → konštantný
Dôležitý : p je pravdepodobnosť výskytu udalosti s prihliadnutím na celkovú populáciu, zatiaľ čo P (r) je Poissonova predpoveď pre vzorku.
Model a vlastnosti
Poissonovo rozdelenie má nasledujúce vlastnosti:
- Veľkosť vzorky je veľká: n → ∞.
- Uvažované udalosti alebo udalosti sú od seba nezávislé a vyskytujú sa náhodne.
-Pravdepodobnosť P že určitá udalosť e vyskytuje sa počas určitého časového obdobia, je veľmi malý: P → 0 .
- Pravdepodobnosť, že v časovom intervale nastane viac ako jedna udalosť, je 0.
-Priemerná hodnota sa približuje konštante danej vzťahom: μ = np ( n je veľkosť vzorky )
-Keďže disperzia σ sa rovná μ, čím nadobúda väčšie hodnoty, tým sa zväčšuje aj variabilita.
-Udalosti musia byť rovnomerne rozložené v použitom časovom intervale.
- Množina možných hodnôt udalostí e je: 0,1,2,3,4, XNUMX, XNUMX, XNUMX, XNUMX….
-Súčet i Premenné, ktoré majú Poissonovo rozdelenie, sú tiež Poissonove premenné. Ich stredná hodnota je súčtom stredných hodnôt týchto premenných.
Rozdiely oproti binomickému rozdeleniu
Poissonovo rozdelenie sa líši od binomického rozdelenia v nasledujúcich dôležitých aspektoch:
-Binomické rozdelenie je ovplyvnené veľkosťou vzorky a pravdepodobnosťou P , ale Poissonovo rozdelenie je ovplyvnené iba μ priemerný
-V binomickom rozdelení sú možné hodnoty náhodnej premennej e sú 0,1,2, …, N, avšak v Poissonovom rozdelení neexistuje horná hranica pre tieto hodnoty.
Príklady
Poisson spočiatku aplikoval svoje slávne rozdelenie na súdne konania, ale na priemyselnej úrovni bolo jedným z jeho prvých použití varenie piva. V tomto procese sa na fermentáciu používajú kvasinkové kultúry.
Kvasinky pozostávajú zo živých buniek, ktorých populácia sa časom mení. Pri varení piva je potrebné pridať potrebné množstvo, preto je dôležité poznať počet buniek na jednotku objemu.
Počas druhej svetovej vojny sa Poissonovo rozdelenie používalo na určenie, či Nemci skutočne mierili na Londýn z Calais, alebo či jednoducho strieľali náhodne. Pre Spojencov to bolo dôležité na určenie toho, akú dobrú technológiu mali nacisti k dispozícii.
Praktické aplikácie
Aplikácie Poissonovho rozdelenia sa vždy vzťahujú na počty v čase alebo priestore. A pretože pravdepodobnosť výskytu je malá, je tiež známa ako „zákon zriedkavých udalostí“.
Tu je zoznam udalostí, ktoré spadajú do jednej z týchto kategórií:
-Záznam častíc pri rádioaktívnom rozpade, ktorý je, podobne ako rast kvasinkových buniek, exponenciálnou funkciou.
- Počet návštev konkrétnej webovej stránky.
– Príchod ľudí v rade na zaplatenie alebo obsluhu (teória radu).
– Počet áut, ktoré prejdú určitým bodom na ceste počas určitého časového obdobia.
-Mutácie, ku ktorým došlo v danom reťazci DNA po vystavení žiareniu.
- Počet meteoritov s priemerom väčším ako 1 m, ktoré spadli za jeden rok.
– Chyby na štvorcový meter látky.
-Počet krviniek v 1 centimetri kubickom.
-Hovory za minútu do telefónnej ústredne.
– Kúsky čokolády prítomné v 1 kg cesta na koláč.
-Počet stromov napadnutých daným parazitom na 1 hektári lesa.
Všimnite si, že tieto náhodné premenné predstavujú počet výskytov udalosti počas pevne stanoveného časového obdobia ( hovorov za minútu do ústredne ) alebo určitá oblasť priestoru ( chyby látky na meter štvorcový ).
Tieto udalosti, ako už bolo uvedené, sú nezávislé od času, ktorý uplynul od posledného výskytu.
Priblíženie sa k binomickému rozdeleniu pomocou Poissonovho rozdelenia
Poissonovo rozdelenie je dobrou aproximáciou binomického rozdelenia, pretože:
- Veľkosť vzorky je veľká: n ≥ 100
-Pravdepodobnosť noha malý: p ≤ 0,1
- μ byť v poradí: np ≤ 10
V týchto prípadoch je Poissonovo rozdelenie vynikajúcim nástrojom, pretože binomické rozdelenie môže byť v týchto prípadoch zložité na použitie.
Vyriešené úlohy
Cvičenie 1
Seizmologická štúdia zistila, že za posledných 100 rokov došlo na celom svete k 93 veľkým zemetraseniam s magnitúdou najmenej 6,0 na logaritmickej Richterovej stupnici. Predpokladajme, že Poissonovo rozdelenie je v tomto prípade vhodným modelom. Nájdite:
a) Priemerný výskyt veľkých zemetrasení za rok.
b) Ak P (r) pre pravdepodobnosť výskytu e zemetrasení počas náhodne vybraného roka, nájdite nasledujúce pravdepodobnosti:
P (0), P (1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) a P (7).
c) Skutočné výsledky štúdie sú nasledovné:
- 47 rokov (0 zemetrasení)
– 31 rokov (1 zemetrasenie)
– 13 rokov (2 zemetrasenie)
– 5 rokov (3 zemetrasenie)
– 2 rokov (4 zemetrasenie)
– 0 rokov (5 zemetrasenie)
– 1 rok (6 zemetrasení)
– 1 rok (7 zemetrasení)
Ako sa tieto výsledky porovnávajú s výsledkami získanými v časti b? Je Poissonovo rozdelenie dobrou voľbou na modelovanie týchto udalostí?
Riešenie a)
a) Zemetrasenia sú udalosti, ktorých pravdepodobnosť p je malé a uvažujeme obmedzené časové obdobie jedného roka. Priemerné zemetrasenie je:
μ = 93/100 zemetrasení/rok = 0,93 zemetrasení za rok.
Riešenie b)
b) Na výpočet požadovaných pravdepodobností sa hodnoty dosadia do vzorca uvedeného na začiatku:
y = 2
μ = 0,93
e = 2.71828
Je oveľa menšia ako P(2).
Výsledky sú uvedené nižšie:
P(0) = 0,395, P(1) = 0,367, P(2) = 0,171, P(3) = 0,0529, P(4) = 0,0123, P(5) = 0,00229, P(6) = 0,000355, P(7) = 0,0000471.
Napríklad by sme mohli povedať, že existuje 39,5 % pravdepodobnosť, že v danom roku nenastanú žiadne veľké zemetrasenia. Alebo že v danom roku sa vyskytne 5,29 % z troch veľkých zemetrasení.
Riešenie c)
c) Frekvencie sa analyzujú vynásobením n = 100 rokov:
39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 a 0,00471.
Napríklad:
– Frekvencia 39,5 naznačuje, že v 39,5 zo 100 rokov výskytu 0 veľkých zemetrasení by sme mohli povedať, že je to dosť blízko skutočnému výsledku 47 rokov bez akýchkoľvek veľkých zemetrasení.
Porovnajme ďalší Poissonov výsledok so skutočnými výsledkami:
Hodnota 36,7 znamená, že každých 37 rokov dochádza k jednému veľkému zemetraseniu. Skutočný výsledok je, že každých 31 rokov došlo k jednému veľkému zemetraseniu, čo je v súlade s modelom.
– Očakáva sa 17,1 roka s 2 veľkými zemetraseniami a je známe, že za 13 rokov, čo je blízka hodnota, došlo v skutočnosti k 2 veľkým zemetraseniam.
Preto je v tomto prípade prijateľný Poissonov model.
Cvičenie 2
Spoločnosť odhaduje, že počet komponentov, ktoré zlyhajú pred dosiahnutím 100 hodín prevádzky, sa riadi Poissonovým rozdelením. Ak je priemerný počet porúch v tomto bode 8, nájdite nasledujúce pravdepodobnosti:
a) Že komponent zlyhá do 25 hodín.
b) Porucha menej ako dvoch komponentov do 50 hodín.
c) Do 125 hodín zlyhajú najmenej tri komponenty.
Riešenie a)
a) Je známe, že priemerný počet porúch za 100 hodín je 8; preto sa za 25 hodín očakáva štvrtina porúch, teda 2 poruchy. Toto bude parameter μ.
Je požadovaná pravdepodobnosť zlyhania 1 komponentu, náhodná premenná je „komponenty, ktoré zlyhajú pred 25 hodinami“ a jej hodnota je y = 1. Dosadením do pravdepodobnostnej funkcie:
Otázkou však je, aká je pravdepodobnosť, že menej ako dve zložky zlyhajú do 50 hodín, a nie presne 2 komponenty zlyhajú do 50 hodín, takže pravdepodobnosti sú:
-Žiadne zlyhanie
-Iba zlyhanie 1
P(zlyhanie menej ako 2 komponentov) = P(0) + P(1)
P (zlyhajú menej ako 2 komponenty) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915
c) Že najmenej Ak počas 125 hodín zlyhajú tri komponenty, znamená to, že počas tohto obdobia môžu zlyhať 3, 4, 5 alebo viac komponentov.
Pravdepodobnosť výskytu najmenej jedna z viacerých udalostí sa rovná 1 mínus pravdepodobnosť, že nenastane žiadna z udalostí.
-Žiadanou udalosťou je, aby 3 alebo viac komponentov zlyhalo do 125 hodín
– To, že sa udalosť nenastane, znamená, že zlyhá menej ako 3 komponenty, pričom pravdepodobnosť zlyhania je: P(0) + P(1) + P(2)
Parameter μ rozdelenia je v tomto prípade:
μ = 8 + 2 = 10 porúch za 125 hodín .
P(3 alebo viac komponentov zlyhajú) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) =
Referencie
- Poissonovo rozdelenie v MathWorks. Zdroj: en.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Štatistika pre správu a ekonomiku. 3. vydanie. Iberoamerica Publishing Group.
- Stat Trek Naučte sa štatistiku. Poissonovo rozdelenie Zdroj: stattrek.com,
- Triola, M. 2012. Elementárna štatistika. 11. vyd. Pearson Education.
- Poissonovo rozdelenie Wikipédia Zdroj: en.wikipedia.org