Diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti sú matematické modely, ktoré opisujú výskyt udalostí s diskrétnymi, konečnými hodnotami. Tieto rozdelenia sú charakterizované svojimi vlastnosťami, ako je súčet pravdepodobností všetkých možných výsledkov rovný 1 a prítomnosť parametra, ktorý určuje tvar rozdelenia. V tomto článku preskúmame charakteristiky najbežnejších diskrétnych rozdelení pravdepodobnosti, ako je Bernoulliho rozdelenie, binomické rozdelenie, Poissonovo rozdelenie a geometrické rozdelenie, a tiež predstavíme niekoľko praktických cvičení na lepšie pochopenie týchto konceptov.
Pochopenie konceptu diskrétneho rozdelenia pravdepodobnosti: jednoduché a jasné vysvetlenie.
Pre pochopenie konceptu diskrétneho rozdelenia pravdepodobnosti je dôležité pochopiť, že ide o matematickú funkciu, ktorá spája pravdepodobnosť s každým možným výsledkom náhodného experimentu. Inými slovami, diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti nám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu každého výsledku v konečnej alebo vyčísliteľnej množine možností.
Diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti je charakterizované svojou pravdepodobnostnou funkciou, ktorá každému výsledku priraďuje nezápornú hodnotu, pričom súčet všetkých pravdepodobností sa rovná 1. Okrem toho sú možné výsledky odlišné a izolované, bez možnosti výskytu medziľahlých hodnôt.
Klasickým príkladom diskrétneho rozdelenia pravdepodobnosti je Poissonovo rozdelenie, ktoré sa bežne používa v procesoch počítania, napríklad pri počte udalostí, ktoré nastanú v danom časovom období. Ďalším bežným príkladom je binomické rozdelenie, ktoré modeluje experimenty iba s dvoma možnými výsledkami, ako je úspech alebo neúspech.
Na aplikáciu teórie diskrétnych rozdelení pravdepodobnosti je potrebné pochopiť ich špecifické vlastnosti a charakteristiky, ako aj vedieť vypočítať pravdepodobnosti a interpretovať výsledky. Praktické cvičenia sú nevyhnutné na prehĺbenie porozumenia a rozvoj zručností v tejto oblasti pravdepodobnosti.
Získajte informácie o hlavných diskrétnych rozdeleniach používaných v štatistike a pravdepodobnosti.
Získajte informácie o hlavných diskrétnych rozdeleniach používaných v štatistike a pravdepodobnosti. Diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti sú dôležitými nástrojmi v štatistickej analýze, ktoré umožňujú modelovanie a predikciu náhodných udalostí. Medzi hlavné diskrétne rozdelenia patrí Bernoulliho rozdelenie, binomické rozdelenie, geometrické rozdelenie, Poissonovo rozdelenie a hypergeometrické rozdelenie.
A Bernoulliho rozdelenie sa používa na modelovanie experimentov s iba dvoma možnými výsledkami, ako je úspech a neúspech. binomické rozdelenie Používa sa v situáciách, keď existuje pevný počet nezávislých pokusov, pričom v každom pokuse sú možné iba dva výsledky, ako napríklad úspech a neúspech.
A geometrické rozloženie sa používa na modelovanie počtu pokusov až do prvého úspechu v postupnosti nezávislých experimentov. Poissonovo rozdelenie sa používa na modelovanie výskytu zriedkavých udalostí v konkrétnom časovom alebo priestorovom intervale.
Nakoniec hypergeometrické rozdelenie Používa sa na modelovanie experimentov, v ktorých dochádza k výberu bez nahradenia prvkov z konečnej populácie, so zameraním na počet úspechov v konkrétnej vzorke.
Pre lepšie pochopenie týchto diskrétnych rozdelení a ich aplikácie je dôležité precvičovať si ich prostredníctvom cvičení. Riešenie problémov zahŕňajúcich tieto rozdelenia môže pomôcť upevniť si vedomosti a zdokonaliť štatistické a pravdepodobnostné zručnosti.
Preto je pri štúdiu štatistiky a pravdepodobnosti nevyhnutné poznať charakteristiky a aplikácie hlavných diskrétnych rozdelení, ako je Bernoulliho rozdelenie, binomické rozdelenie, geometrické rozdelenie, Poissonovo rozdelenie a hypergeometrické rozdelenie.
Typy rozdelení pravdepodobnosti: oboznámte sa s rôznymi formami štatistických rozdelení.
Rozdelenia pravdepodobnosti sú matematické modely, ktoré opisujú náhodné správanie javu. Existujú rôzne typy rozdelení pravdepodobnosti, pričom každé má svoje vlastné charakteristiky a aplikácie. V tomto článku sa zameriame na diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti, ktoré sú spojené s diskrétnymi premennými – tými, ktoré môžu nadobúdať špecifické, spočítateľné hodnoty.
Medzi najbežnejšie diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti patrí rovnomerné rozdelenie, binomické rozdelenie, Poissonovo rozdelenie a geometrické rozdelenie. Každé z týchto rozdelení má svoje vlastné vlastnosti a používa sa v rôznych štatistických kontextoch.
Napríklad rovnomerné rozdelenie je charakterizované priradením rovnakej pravdepodobnosti všetkým možným hodnotám diskrétnej premennej. Binomické rozdelenie sa používa na modelovanie počtu úspechov v postupnosti nezávislých pokusov, pričom každý má rovnakú pravdepodobnosť úspechu. Poissonovo rozdelenie sa zase používa na modelovanie počtu zriedkavých udalostí v časovom alebo priestorovom intervale. A geometrické rozdelenie sa používa na modelovanie počtu pokusov potrebných do prvého úspechu v postupnosti nezávislých pokusov.
Pre lepšie pochopenie fungovania týchto rozdelení je dôležité precvičovať si ich. Napríklad pravdepodobnosť, že v 3 hodoch spravodlivou mincou padnú presne 5 hlavy, môžeme vypočítať pomocou binomického rozdelenia. Alebo môžeme určiť pravdepodobnosť výskytu aspoň 2 udalostí v určitom časovom intervale pomocou Poissonovho rozdelenia.
Pochopením charakteristík a aplikácií týchto rozdelení môžu odborníci v oblasti štatistiky a súvisiacich vied robiť informovanejšie a presnejšie rozhodnutia na základe pravdepodobnostných údajov.
Ktoré premenné sa z hľadiska pravdepodobnosti považujú za diskrétne?
V pravdepodobnosti sú diskrétne premenné tie, ktoré môžu nadobúdať konečný alebo spočítateľný počet hodnôt. To znamená, že diskrétne premenné sú tie, ktoré sa dajú spočítať, zvyčajne reprezentované celými číslami. Napríklad počet áut na parkovisku, počet študentov v triede a počet stien na kocke sú príkladmi diskrétnych premenných.
Tieto premenné sa líšia od spojitých premenných, ktoré môžu nadobúdať nekonečný počet hodnôt v rámci určitého rozsahu. Zatiaľ čo diskrétne premenné majú špecifické, diskrétne hodnoty, spojité premenné môžu nadobúdať akúkoľvek hodnotu v rámci spojitého rozsahu. Napríklad výška osoby, čas potrebný na dokončenie úlohy a teplota miestnosti sú príkladmi spojitých premenných.
Diskrétne premenné v pravdepodobnosti sú preto tie, ktoré možno spočítať a nadobúdajú špecifické, samostatné hodnoty, na rozdiel od spojitých premenných, ktoré môžu nadobúdať ľubovoľnú hodnotu v rámci určitého rozsahu.
Diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti: charakteristiky, cvičenia
As diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti sú funkciou, ktorá každému prvku X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, kde X je daná diskrétna náhodná premenná a S je výberový priestor, priradí pravdepodobnosť, že táto udalosť nastane. Táto funkcia f pre X(S), definovaná ako f(xi) = P(X = xi), sa niekedy nazýva funkcia hromadnej pravdepodobnosti.
Táto pravdepodobnostná hmotnosť sa zvyčajne reprezentuje vo forme tabuľky. Keďže X je diskrétna náhodná premenná, X(S) má buď konečný, alebo nekonečný počet udalostí. Medzi najbežnejšie diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti patrí rovnomerné rozdelenie, binomické rozdelenie a Poissonovo rozdelenie.
VLASTNOSTI
Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti musí spĺňať nasledujúce podmienky:
Okrem toho, ak X nadobúda iba konečný počet hodnôt (napr. x1, x2, …, xn), potom p(xi) = 0, ak i > n, a preto sa nekonečný rad podmienok b stáva konečným radom
Táto funkcia tiež spĺňa nasledujúce vlastnosti:
Nech B je udalosť spojená s náhodnou premennou X. To znamená, že B je obsiahnutá v X(S). Konkrétne predpokladajme, že B = {xi1, xi2,…}. Preto:
Inými slovami: pravdepodobnosť udalosti B sa rovná súčtu pravdepodobností jednotlivých výsledkov spojených s B.
Z toho môžeme usudzovať, že ak
typ
Rovnomerné rozdelenie v n bodoch
Hovoríme, že náhodná premenná X má rozdelenie charakterizované rovnomernosťou v n bodoch, ak má každá hodnota priradenú rovnakú pravdepodobnosť. Jej pravdepodobnostná hmotnostná funkcia je:
Predpokladajme, že máme experiment s dvoma možnými výsledkami: môže to byť hod mincou, ktorého možné výsledky sú hlava alebo chrt, alebo výber celého čísla, ktorého výsledok môže byť párne alebo nepárne číslo; Tento typ experimentu je známy ako Bernoulliho test.
Vo všeobecnosti sa dva možné výsledky nazývajú úspech a neúspech, kde p je pravdepodobnosť úspechu a 1-p je pravdepodobnosť neúspechu. Pravdepodobnosť x úspechov v n nezávislých Bernoulliho pokusoch môžeme určiť pomocou nasledujúceho rozdelenia.
Binomické rozdelenie
Táto funkcia predstavuje pravdepodobnosť dosiahnutia x úspechov v n nezávislých Bernoulliho pokusoch, ktorých pravdepodobnosť úspechu je p. Jej pravdepodobnostná hmotnostná funkcia je:
Nasledujúci graf predstavuje funkciu pravdepodobnostnej hmotnosti pre rôzne hodnoty parametrov binomického rozdelenia.
Nasledujúce rozdelenie vďačí za svoj názov francúzskemu matematikovi Simeonovi Poissonovi (1781-1840), ktorý ho získal ako limitu binomického rozdelenia.
Poissonovo rozdelenie
Hovoríme, že náhodná premenná X má Poissonovo rozdelenie parametra λ, keď môže nadobúdať kladné celočíselné hodnoty 0,1,2,3, ... s nasledujúcou pravdepodobnosťou:
V tomto výraze je λ priemerný počet výskytov udalosti pre každú časovú jednotku a x je počet výskytov udalosti.
Jeho funkcia pravdepodobnosti hmotnosti je:
Nižšie je uvedený graf znázorňujúci funkciu pravdepodobnostnej hmotnosti pre rôzne hodnoty parametrov Poissonovho rozdelenia.
Všimnite si, že pokiaľ je počet úspechov nízky a počet testov vykonaných na binomickom rozdelení je vysoký, vždy vieme tieto rozdelenia aproximovať, pretože Poissonovo rozdelenie je limitou binomického rozdelenia.
Hlavný rozdiel medzi týmito dvoma rozdeleniami spočíva v tom, že zatiaľ čo binomické rozdelenie závisí od dvoch parametrov – nep –, Poissonovo rozdelenie závisí iba od λ, ktoré sa niekedy nazýva intenzita rozdelenia.
Doteraz sme hovorili iba o rozdelení pravdepodobnosti v prípadoch, keď sú rôzne experimenty navzájom nezávislé, teda keď výsledok jedného nie je ovplyvnený výsledkom iného.
Keď experimenty nie sú nezávislé, hypergeometrické rozdelenie je veľmi užitočné.
Hypergeometrické rozdelenie
Nech N je celkový počet objektov v konečnej množine, z ktorých k vieme nejakým spôsobom identifikovať, čím vytvoríme podmnožinu K, ktorej doplnok je tvorený zostávajúcimi Nk prvkami.
Ak náhodne vyberieme n objektov, náhodná premenná X predstavujúca počet objektov patriacich do K v tejto voľbe bude mať hypergeometrické rozdelenie parametrov N, n a k. Jej hmotnostná pravdepodobnostná funkcia je:
Nasledujúci graf predstavuje funkciu pravdepodobnostnej hmotnosti pre rôzne hodnoty parametrov hypergeometrického rozdelenia.
Vyriešené úlohy
Prvé cvičenie
Predpokladajme, že pravdepodobnosť, že rádiová trubica (umiestnená v určitom type zariadenia) bude pracovať viac ako 500 hodín, je 0,2. Ak sa testuje 20 elektrónok, aká je pravdepodobnosť, že presne k z nich bude pracovať viac ako 500 hodín, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Riešenie
Ak je X počet elektrónok, ktoré bežia viac ako 500 hodín, budeme predpokladať, že X má binomické rozdelenie. Potom
A tak:
Pre k ≥ 11 je pravdepodobnosť menšia ako 0,001
Môžeme teda pozorovať, ako sa pravdepodobnosť, že k z nich bude pracovať viac ako 500 hodín, zvyšuje, až kým nedosiahne svoju maximálnu hodnotu (k = 4) a potom začne klesať.
2. cvičenie
Mincou sa hodí 6-krát. Keď padne hlava, hovoríme, že padne hlava. Aká je pravdepodobnosť, že padnú presne dve hlavy?
Riešenie
V tomto prípade máme n = 6 a pravdepodobnosť úspechu a neúspechu je p = q = 1/2.
Preto je pravdepodobnosť, že sú dané dve tváre (t. j. k = 2),
Tretie cvičenie
Aká je pravdepodobnosť nájdenia aspoň štyroch tvárí?
Riešenie
V tomto prípade máme k = 4, 5 alebo 6
Tretie cvičenie
Predpokladajme, že 2 % položiek vyrobených v továrni sú chybné. Nájdite pravdepodobnosť P, že vo vzorke 100 položiek sú tri chybné položky.
Riešenie
V tomto prípade môžeme použiť binomické rozdelenie pre n = 100 a p = 0,02, čoho výsledkom je:
Keďže p je malé, používame Poissonovu aproximáciu s λ = np = 2. Teda
Referencie
- Kai Lai Chung: Elementárna teória pravdepodobnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Diskrétna matematika a jej aplikácie. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Pravdepodobnosť a štatistické aplikácie. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz, Ph.D., 2000, Riešené problémy v diskrétnej matematike. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz, Ph.D. Problémy v teórii a pravdepodobnosti. McGraw-HILL