Lineárna interpolácia je metóda používaná na odhad medziľahlých hodnôt medzi dvoma známymi bodmi. Táto metóda zohľadňuje lineárny vzťah medzi známymi bodmi na určenie hodnoty, ktorá nás zaujíma. Tento proces sa široko používa v rôznych oblastiach, ako je matematika, štatistika, inžinierstvo a ďalšie.
V tomto článku sa budeme venovať metóde lineárnej interpolácie a krok za krokom vysvetlíme, ako tento typ výpočtu vykonať. Uvedieme tiež príklady vyriešených úloh, ktoré uľahčia pochopenie a praktické využitie tejto metódy. Dúfame, že týmto spôsobom prispejeme k pochopeniu a efektívnemu využitiu lineárnej interpolácie v rôznych kontextoch.
Podrobný návod na efektívne vykonanie interpolačného výpočtu.
Pre efektívne vykonanie interpolačného výpočtu postupujte podľa týchto krokov:
Krok 1: Zhromaždite údaje potrebné pre interpolačný problém. Patria sem známe hodnoty referenčných bodov a hodnota x, pre ktorú chcete interpolovať.
Krok 2: Vypočítajte rozdiel medzi známymi hodnotami x, ktoré sú najbližšie k požadovanej hodnote x. To pomôže určiť interpolačný interval.
Krok 3: Vypočítajte rozdiel medzi hodnotami y zodpovedajúcimi najbližším referenčným bodom. Toto určí zmenu y v interpolačnom intervale.
Krok 4: Pomocou vzorca lineárnej interpolácie vypočítajte hodnotu y pre požadovanú hodnotu x. Vzorec je daný vzťahom:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Krok 5: Dosadte známe hodnoty do vzorca a vyriešte ho, aby ste získali hodnotu y, ktorá zodpovedá požadovanej hodnote x.
Dodržaním týchto krokov budete môcť efektívne vykonať interpolačný výpočet a získať presné výsledky pre daný problém.
Kedy je vhodné použiť lineárnu interpoláciu v matematickej analýze alebo modelovaní?
Lineárna interpolácia je metóda používaná v matematickej analýze alebo modelovaní, keď je potrebné odhadnúť medziľahlé hodnoty zo známych hodnôt. Táto metóda je vhodná, keď sú dáta distribuované lineárne a spojitým spôsobom.
Napríklad, keď máme tabuľku s hodnotami funkcie v diskrétnych bodoch a chceme odhadnúť hodnotu funkcie pre medziľahlý bod, lineárna interpolácia môže byť dobrou voľbou. Spočíva v nakreslení priamky medzi dvoma známymi bodmi a použití tejto priamky na odhad požadovanej hodnoty.
Je dôležité zdôrazniť, že lineárna interpolácia nemusí byť vhodná v prípadoch, keď dáta vykazujú nelineárne správanie, ako sú krivky alebo oscilácie. V týchto prípadoch môžu byť vhodnejšie iné, zložitejšie metódy interpolácie.
Ako efektívne vyplniť medzery v tabuľke medzihodnotami.
Lineárna interpolácia je metóda používaná na efektívne doplnenie medzier v tabuľke medzihodnotami. Táto metóda spočíva vo výpočte chýbajúcich hodnôt na základe známych hodnôt v tabuľke pomocou jednoduchého vzorca.
Na použitie lineárnej interpolácie potrebujete aspoň dva známe body v tabuľke. Z týchto bodov môžete vypočítať medzihodnoty pomocou nasledujúceho vzorca:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Kde Y je medzihodnota, ktorú chceme nájsť, Y1 a Y2 sú známe hodnoty z tabuľky, X1 a X2 sú zodpovedajúce hodnoty X a X je hodnota X, pre ktorú chceme nájsť medzihodnotu Y.
Pre ilustráciu si vyriešme praktickú úlohu pomocou lineárnej interpolácie. Predpokladajme, že máme nasledujúcu tabuľku:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Teraz použijeme vzorec lineárnej interpolácie na nájdenie hodnoty Y, keď je X rovné 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Preto hodnota Y, keď sa X rovná 2, je 5.
Ako vidíme, lineárna interpolácia je jednoduchá a efektívna metóda na doplnenie medzier v tabuľke medzihodnotami. Pomocou tejto techniky môžeme rýchlo a jednoducho získať presné výsledky.
Praktický návod na efektívne vykonávanie kvadratickej interpolácie.
Pre efektívne vykonanie kvadratickej interpolácie je dôležité postupovať podľa niekoľkých jednoduchých krokov. Najprv musíte mať známe body, ktoré sa použijú na interpoláciu. Potom musíte vypočítať koeficienty kvadratickej funkcie, ktorá prechádza týmito bodmi.
Na výpočet koeficientov kvadratickej funkcie môžeme použiť metódu najmenších štvorcov. Táto metóda spočíva v nájdení kvadratickej funkcie, ktorá minimalizuje súčet štvorcov rozdielov medzi vypočítanými hodnotami a skutočnými hodnotami známych bodov.
Keď vypočítame koeficienty kvadratickej funkcie, môžeme ju použiť na interpoláciu hodnôt medzi známymi bodmi. Na to stačí dosadiť požadovanú hodnotu do kvadratickej funkcie a získať zodpovedajúcu interpolovanú hodnotu.
Je dôležité poznamenať, že kvadratická interpolácia je presnejšia ako lineárna interpolácia, pretože zohľadňuje zakrivenie údajov. Je však dôležité poznamenať, že kvadratická interpolácia môže viesť k menej presným výsledkom v oblastiach ďaleko od známych bodov.
Preto je pri vykonávaní kvadratickej interpolácie nevyhnutné zabezpečiť, aby boli známe body rovnomerne rozložené a aby bola kvadratická funkcia vypočítaná správne. To umožňuje presnejšie a spoľahlivejšie výsledky interpolácie.
Lineárna interpolácia: Metóda, Riešené úlohy
Lineárna interpolácia je metóda odvodená od všeobecnej Newtonovej interpolácie a aproximácie na určenie neznámej hodnoty, ktorá leží medzi dvoma číslami; to znamená, že sa nájde medzihodnota. Používa sa aj na aproximáciu funkcií, kde sú známe hodnoty f (a) a f (b) a chcete poznať medzihodnotu f (x).
Existujú rôzne typy interpolácie vrátane lineárnej, kvadratickej, kubickej a interpolácie vyššieho rádu, pričom najjednoduchšou je lineárna aproximácia. Nevýhodou lineárnej interpolácie je, že výsledok nebude taký presný ako pri aproximáciách s použitím funkcií vyššieho rádu.
Definícia
Lineárna interpolácia je proces, ktorý umožňuje odvodiť hodnotu medzi dvoma dobre definovanými hodnotami, ktoré môžu byť v tabuľke alebo lineárnom grafe.
Napríklad, ak viete, že 3 litre mlieka majú hodnotu 4 dolárov a 5 litrov má hodnotu 7 dolárov, ale chcete vedieť, akú hodnotu majú 4 litre mlieka, interpolujete, aby ste našli túto medzihodnotu.
metodo
Na odhad medzihodnoty funkcie sa funkcia f (x) aproximuje pomocou priamky r (x) , čo znamená, že funkcia sa mení lineárne s „x“ pre úsek „x = a“ a „x = b“; to znamená, že pre hodnotu „x“ v intervale (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) je hodnota „y“ daná priamkou medzi bodmi a vyjadrená nasledujúcim vzťahom:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Aby bola interpolácia lineárna, interpolačný polynóm musí byť stupňa jedna (n = 1), aby zodpovedal hodnotám x0 a x1.
Lineárna interpolácia je založená na podobnosti trojuholníkov, takže geometrickým odvodením predchádzajúceho výrazu je možné získať hodnotu «y», ktorá predstavuje neznámu hodnotu pre «x».
Preto musíte:
a = tan Ɵ = (protiľahlá odnož 1 ÷ susedná odnož 1 ) = (protiľahlá odnož 2 ÷ susedná odnož 2 )
Inak povedané, je to:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Odstránením spojnice „a“ z výrazov získate:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Takto sa získa všeobecná rovnica pre lineárnu interpoláciu:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Vo všeobecnosti lineárna interpolácia dáva malú chybu v skutočnej hodnote skutočnej funkcie, hoci chyba je minimálna v porovnaní s intuitívnym číslom blízkym nájdenému číslu.
K tejto chybe dochádza pri pokuse o aproximáciu hodnoty krivky pomocou priamky; v takýchto prípadoch je potrebné zmenšiť veľkosť intervalu, aby bola aproximácia presnejšia.
Pre dosiahnutie najlepších aproximačných výsledkov sa odporúča použiť na vykonanie interpolácie funkcie stupňa 2, 3 alebo aj vyšších stupňov. V týchto prípadoch je Taylorova veta veľmi užitočným nástrojom.
Vyriešené úlohy
Cvičenie 1
Počet baktérií na jednotku objemu v inkubácii po x hodinách je uvedený v nasledujúcej tabuľke. Chcete poznať objem baktérií počas 3,5-hodinového obdobia.
Riešenie
Referenčná tabuľka neuvádza hodnotu, ktorá by udávala počet baktérií počas 3,5 hodiny, ale existujú vyššie a nižšie hodnoty zodpovedajúce obdobiu 3 a 4 hodín. Teda:
x 0 = 3 a 0 = 91
x = 3,5 y = ?
x 1 = 4 a 1 = 135
Teraz sa na nájdenie interpolovanej hodnoty použije matematická rovnica, ktorá vyzerá takto:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Potom sa dosadia zodpovedajúce hodnoty:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Zistilo sa teda, že počas 3,5 hodiny je množstvo baktérií 113, čo predstavuje strednú úroveň medzi objemom baktérií existujúcich v čase 3 a 4 hodiny.
Cvičenie 2
Luis vlastní továreň na zmrzlinu a chce vykonať štúdiu, aby určil svoj augustový príjem na základe svojich výdavkov. Riaditeľ spoločnosti vytvorí graf, ktorý tento vzťah znázorňuje, ale Luis chce vedieť:
Aký je príjem za august, ak bol vynaložený výdavok 55.000 XNUMX dolárov?
Riešenie
Je poskytnutý graf zobrazujúci príjmy a výdavky. Luis chce vedieť, aké budú príjmy za august, ak továreň bude mať výdavky vo výške 55.000 XNUMX dolárov. Toto číslo nie je priamo znázornené v grafe, ale čísla sú vyššie aj nižšie.
Najprv sa vytvorí tabuľka, ktorá uľahčí prepojenie hodnôt:
Teraz sa na určenie hodnoty y použije interpolačný vzorec.
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Potom sa dosadia zodpovedajúce hodnoty:
y = 56 000 + (78 000 – 56 000) * [(55 000 – 45 000) ÷ (62 000 – 45 000)]
y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 XNUMX USD.
Ak bol v auguste vynaložený výdavok vo výške 55.000 68.936 USD, príjem bol XNUMX XNUMX USD.
Referencie
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Témy z teórie geometrických grup. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineárna interpolácia », Encyklopédia matematiky.
- JM (1998). Prvky numerických metód pre inžinierstvo. UASLP.
- E. (2002). Chronológia interpolácie: od starovekej astronómie po moderné spracovanie signálov a obrazov. Zborník prác IEEE.
- číselné, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.