Trikotna števila so zaporedje naravnih števil, ki ga lahko predstavimo kot enakostranični trikotnik, kjer ima vsaka vrstica en element več kot prejšnja vrstica. Trikotno številsko zaporedje se začne z 1, 3, 6, 10, 15 in tako naprej.
Ena od lastnosti trikotnih števil je, da jih je mogoče izračunati po formuli n*(n+1)/2, kjer n predstavlja zaporedno številko. Poleg tega so trikotna števila povezana z drugimi področji matematike, kot so kombinacije števil in Pascalova formula.
V tem kontekstu je mogoče lastnosti trikotnih števil prikazati z matematično indukcijo, pri čemer se z uporabo zgoraj omenjene formule in algebrskih manipulacij dosežejo želeni zaključki. Te demonstracije so pomembne za razumevanje in uporabo trikotnih števil na različnih področjih matematike in znanosti.
V tem praktičnem vodniku odkrijte trikotna števila od 1 do 100.
Kaj so trikotna števila? Trikotna števila so zaporedje števil, ki jih lahko vizualno predstavimo v trikotni obliki. Dobimo jih s seštevanjem naravnih števil od 1 do določenega števila n. Na primer, število 6 je trikotno, ker ga lahko predstavimo s figuro s 6 kraki, ki tvorijo trikotnik.
Lastnosti trikotnih števil: Ena od lastnosti trikotnih števil je, da jih lahko predstavimo s formulo n*(n+1)/2, kjer je n želeno trikotno število. Poleg tega so trikotna števila povezana tudi s kvadratnimi števili, tako da je n-to trikotno število enako vsoti prvih n naravnih števil.
Za iskanje trikotnih števil od 1 do 100 preprosto uporabite zgornjo formulo za vsako vrednost n od 1 do 100. Na primer, deseto trikotno število je podano z 10*(10+10)/1 = 2.
Iskanje trikotnih števil od 1 do 100 je preprosta naloga, če za vsako vrednost n uporabimo pravilno formulo.
Pomen in relevantnost figurativnih števil v pitagorejski filozofiji.
V pitagorejski filozofiji imajo figurativna števila temeljno vlogo, saj predstavljajo abstraktne koncepte in simbolizirajo red in harmonijo vesolja. Ta števila imajo globok pomen in so jih pitagorejci imeli za sveta, saj so verjeli, da je matematika ključ do razumevanja narave sveta.
Najpogostejša figurativna števila v pitagorejski filozofiji so trikotna števila, ki nastanejo z razporejanjem pik v trikotnem vzorcu. Ta števila imajo zanimive matematične lastnosti in se pogosto uporabljajo v geometrijskih demonstracijah in izračunih.
Trikotna števila dobimo s seštevanjem zaporednih naravnih števil, začenši z 1. Na primer, prvo trikotno število je 1, drugo je 1+2=3, tretje je 1+2+3=6 in tako naprej. To zaporedje števil tvori vrsto, ki jo lahko geometrijsko predstavimo s trikotnikom pik.
Zanimiva lastnost trikotnih števil je, da jih je mogoče predstaviti kot vsoto naravnih števil, kar je mogoče preprosto dokazati z algebrskimi manipulacijami. Ta lastnost je uporabna v različnih matematičnih kontekstih in se pogosto uporablja pri izračunih in dokazovanju izrekov.
Zaradi njihovih zanimivih matematičnih lastnosti in filozofske relevantnosti so fascinantna tema preučevanja za tiste, ki jih zanima matematika in filozofija.
Razumevanje definicije in lastnosti trikotne tabele množenja.
Trikotna števila so števila, ki jih lahko predstavimo v obliki enakostraničnega trikotnika. Nastanejo, ko seštejemo zaporedna naravna števila, začenši z 1. Na primer, število 1 je trikotno, ker ga lahko predstavimo s točko. Število 3 je trikotno, ker ga lahko predstavimo s premico s tremi točkami. In tako naprej.
Koncept, povezan s trikotnimi števili, je trikotna tabela množenja . Sestavljena je iz tabele, ki prikazuje množenje trikotnih števil med seboj. Če na primer trikotno število 3 pomnožimo s trikotnim številom 6, bo rezultat 36.
Lastnosti trikotne tabele množenja vključujejo simetrijo glede na glavno diagonalo, kar pomeni, da je množenje dveh trikotnih števil vedno enako, ne glede na vrstni red množenja. Poleg tega trikotna tabela množenja kaže tudi povezavo s trikotnimi števili , saj so dobljeni produkti vedno trikotna števila.
Za prikaz lastnosti trikotne tabele množenja lahko uporabimo splošno formulo za trikotna števila, ki je podana z n(n+1)/2. Z množenjem dveh trikotnih števil dobimo produkt dveh izrazov n(n+1)/2, kar da trikotno število.
Razmerje med kvadratnimi in trikotnimi števili: kakšna povezava obstaja med njima?
Kaj so trikotna števila? Trikotna števila so zaporedje naravnih števil, ki jih lahko predstavimo v trikotni obliki. Nastanejo, ko razporedimo točke v obliki enakostraničnega trikotnika, kjer je prvo trikotno število 1, drugo 3 (1+2), tretje 6 (1+2+3) in tako naprej.
Zanimiva lastnost trikotnih števil je njihov odnos do kvadratnih števil . Trikotno število lahko predstavimo kot vsoto zaporednih naravnih števil , medtem ko lahko kvadratno število predstavimo kot produkt dveh enakih števil.
To razmerje je mogoče matematično prikazati. Na primer, lahko trdimo, da lahko katero koli trikotno število izrazimo kot polovico kvadratnega števila, torej T(n) = (n*(n+1))/2 = (n^2+n)/2. To kaže, kako so trikotna in kvadratna števila elegantno povezana.
Zato lahko sklepamo, da imajo trikotna in kvadratna števila zanimivo matematično povezavo, kjer je eno mogoče povezati z drugim s preprostimi izrazi. Ta povezava nam omogoča, da podrobneje raziščemo numerične vzorce in matematične lastnosti.
Kaj so trikotna števila? Lastnosti in dokazi
Znana so kot trikotna števila , ker so zaporedna števila pridobljena z razporejanjem ali oblikovanjem enakostraničnih trikotnih pik. Prva v zaporedju so: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
Prvo trikotno število je 1, drugo pa 3, ker ga dobimo tako, da prejšnji črti dodamo dve točki, da dobimo enakostranični trikotnik s tremi elementi.
Tretja je 6, ki se pojavi tako, da se prejšnji razporeditvi doda vrsta treh pik, s čimer se oblikuje trikotnik s tremi pikami na strani. 10 v zaporedju dobimo tako, da se prejšnji razporeditvi doda še ena vrsta, s čimer se oblikuje trikotnik s štirimi pikami na strani.
Formula, ki nam omogoča, da najdemo n-ti element trikotnega zaporedja, znanega kot prejšnje trikotno število, je:
Tn = Tn -1 + n
Seznam prvih šestih trikotnih števil dobimo na naslednji način:
Prvi : 1
Drugič : 1 + 2 = 3
Tretjič : (1 + 2 ) + 3 = 3 + 3 = 6
– Četrtič : (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10
Peti : (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15
Šesti : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21
Lastnosti trikotnih števil
1. N-to trikotno število Tn v zaporedju trikotnih števil je polovica števila n, pomnoženega z n + 1:
Tn = ½n (n + 1)
2. Vsota n-tega trikotnega števila s prejšnjim trikotnim številom, torej (n-1)-tim, je n na kvadrat:
T n + T n-1 = n 2
3. Razlika n-tega trikotnega števila minus n-tega trikotnega števila minus ena je n:
T <sub>n </sub> – T <sub>n-1 </sub> = n
4. Vsota prvih n trikotnih števil se imenuje tetraedrsko število Sn in je enaka eni šestini produkta števila n, pomnoženega z (n + 1) in pomnoženega z (n + 2):
S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)
5. Vsako naravno število N je rezultat vsote treh trikotnih števil:
N = Δ1 + Δ1 + Δ3
To zadnjo lastnost oziroma izrek je leta 1796 odkril veliki matematik Carl Friedrich Gauss, o čemer je zapisal v svoj dnevnik z grškim vzklikom Eureka!, kar pomeni "Uspelo mi je!".
To je bila ista beseda, ki jo je že dolgo prej uporabil grški Arhimed, ko je določal navidezno težo potopljenega telesa.
V tem razmerju se število nič šteje za trikotno in se lahko ponovi.
Manifest
– Demonstracija 1
Dokaži, da je n-to trikotno število:
Tn = ½n (n + 1)
Zgornjo formulo je enostavno sklepati, če se zavedamo, da lahko trikotni razporeditvi dodamo enako število točk, da oblikujemo štirikotnik točk.
Ker je skupno število točk v štirikotni matriki enako številu vrstic n, pomnoženemu s številom stolpcev (n + 1) , bo imela trikotna matrika le polovico točk v štirikotni matriki.
Tukaj je to prikazano na sliki 2.
– Demonstracija 2
Dokaži, da je vsota n-tega trikotnega števila in n-tega minus trikotnega števila enaka n na kvadrat:
T n + T n-1 = n 2
Že dokazano je, da je trikotno število n podano z:
Tn = ½n (n + 1)
Zato je prejšnje trikotno število:
T n-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n – 1)
Vsota obeh ostaja:
Tₙ + Tₙ -1 = ½ₙ(n + 1) + ½ₙ(n – 1)
Skupni delitelj ½ n se uporablja za izračun:
Tₙ + Tₙₙ -1 = ½ₙ [(n + 1) + (n – 1)] = ½ₙ [n + 1 + n – 1]
In takoj se izraz znotraj oklepaja poenostavi:
Tn + Tn -1 = ½ n [2n] = ½ 2n ⋅ n
Če se spomnimo, da je ½ krat 2 enak 1 in da je n krat n enak n na kvadrat, imamo:
T n + T n-1 = n 2
To lastnost je mogoče prikazati tudi v geometrijski obliki, preprosto tako, da trikotnik dopolnimo v kvadrat, kot je prikazano na sliki 3.
– Demonstracija 3
Razlika med n-tim trikotnim številom in n-1 trikotnim številom je n:
T <sub>n </sub> – T <sub>n-1 </sub> = n
To lahko preprosto dokažemo, če si zapomnimo, da naslednje trikotno število dobimo iz prejšnjega števila z uporabo formule:
Tn = Tn -1 + n
Iz tega je razvidno, da je T **n** – T **n-1** = n. To si je enostavno tudi grafično predstaviti, kot je prikazano na sliki 4.
– Demonstracija 5
Vsota prvih n trikotnih števil S<sub> n</sub> je enaka eni šestini produkta števila n, pomnoženega z (n + 1) in pomnoženega z (n + 2):
S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)
Uporabimo n-to trikotno število: T <sub>n</sub> = ½ n (n + 1) . Vsoto prvih n trikotnih števil bomo označili z S <sub>n</sub>.
Na primer, S 1 pomeni vsoto prvega trikotnega števila, ki bo nedvomno 1.
Zdaj pa poglejmo, ali je formula, ki jo poskušamo preizkusiti, veljavna za n = 1:
S 1 = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1
Formula za n = 1 je dejansko preverjena. Zlahka vidimo, da bo vsota prvih n + 1 trikotnih števil enaka vsoti prvega n in naslednjega trikotnega števila:
Sₙ + 1 = Sₙ + Tₙ + 1
Predpostavimo, da je formula za S n enaka n, jo nadomestimo v prejšnji izraz in dodamo trikotno število reda n + 1 :
S n + 1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]
Poglejmo korak za korakom, kaj dobite:
-Izračunamo seštevek dveh ulomkovnih izrazov:
S n + 1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12
-Skupni delitelj se odstrani iz števca 2(n + 1)(n + 2) in poenostavi:
S n + 1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n + 3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n + 3) / 6
Prejšnji rezultat se ujema s formulo za S n, če n nadomestimo z n + 1, kar smo pokazali z indukcijo z uporabo formule za vsoto prvih n trikotnih členov.
Tetraedrsko število
Tako dobljeni rezultat se imenuje tetraedrsko število reda n , ker je podobno kopičenju trikotnih plasti, ki tvorijo tetraeder, kot je prikazano v naslednji animaciji.
Literatura
- Camacho J. Nepričakovan pojav trikotnih števil. Pridobljeno iz: masscience.com
- Claudio. Trikotne številke. Pridobljeno iz: simplynumbers. Blogspot.com
- Wikipedija. Trikotno število. Pridobljeno iz: es.wikipedia.com
- Wikipedija. Trikotno število. Pridobljeno s: en.wikipedia.com
- Wikipedija. Triedrično število. Pridobljeno iz: en.wikipedia.com