Shpejtësia e menjëhershme është shpejtësia e një objekti në një çast të caktuar në kohë. Për ta llogaritur atë, është e nevojshme të përcaktohet ndryshimi në pozicionin e objektit gjatë një intervali kohor infinitezimalisht të vogël. Formula për llogaritjen e shpejtësisë së menjëhershme është derivati i funksionit që përshkruan pozicionin e objektit në lidhje me kohën. Në këtë artikull, do të shqyrtojmë përkufizimin e shpejtësisë së menjëhershme, formulën e përdorur për ta llogaritur atë, disa shembuj llogaritjesh dhe ushtrime praktike.
Si të përcaktohet shpejtësia e menjëhershme e një objekti në lëvizje?
Për të përcaktuar shpejtësinë e menjëhershme të një objekti në lëvizje, është e nevojshme të llogaritet derivati i funksionit që përshkruan lëvizjen e objektit në lidhje me kohën. Shpejtësia e menjëhershme është shpejtësia e objektit në një moment specifik, domethënë, në një çast të saktë.
Formula për llogaritjen e shpejtësisë së menjëhershme jepet nga derivati i funksionit të pozicionit në lidhje me kohën. Matematikisht, ne mund ta përfaqësojmë shpejtësinë e menjëhershme si:
v = lim (Δt → 0) Δs/Δt
Ku v është shpejtësia e menjëhershme, Δs është ndryshimi në pozicionin e objektit dhe Δt është ndryshimi në kohë. Për të llogaritur shpejtësinë e menjëhershme, është e nevojshme të zvogëlohet intervali kohor Δt sa më shumë që të jetë e mundur, në mënyrë që shpejtësia të llogaritet në çastin e saktë të dëshiruar.
Për ta ilustruar, supozojmë se një makinë po lëviz përgjatë një rruge dhe funksioni që përshkruan lëvizjen e makinës jepet nga s(t) = 2t^2 + 3t, ku s është pozicioni i makinës në lidhje me kohën t. Për të gjetur shpejtësinë e menjëhershme të makinës në t = 2 sekonda, thjesht diferenconi funksionin e pozicionit në lidhje me kohën dhe zëvendësoni vlerën e t = 2 në derivat.
Kështu, shpejtësia e menjëhershme e makinës në t = 2 sekonda jepet nga:
v = 4t + 3
Duke zëvendësuar t = 2, marrim:
v = 4(2) + 3 = 8 + 3 = 11 m/s
Prandaj, shpejtësia e menjëhershme e makinës në t = 2 sekonda është 11 m/s.
Llogaritja e shpejtësisë së menjëhershme të një objekti në lëvizje kërkon përdorimin e derivatit të funksionit të pozicionit në lidhje me kohën, duke na lejuar të përcaktojmë shpejtësinë e objektit në një çast specifik. Ky koncept është themelor për të kuptuar lëvizjen e objekteve në fizikë dhe matematikë.
Si të përcaktohet në mënyrë efikase shkalla e menjëhershme e një reaksioni kimik.
Për të përcaktuar shpejtësia e menjëhershme Për të kryer në mënyrë efikase një reaksion kimik, është e nevojshme të përdoret formula e saktë dhe të kryhen llogaritjet me saktësi. Shpejtësia e menjëhershme e një reaksioni kimik llogaritet nga ndryshimi në përqendrimin e një reaktanti ose produkti në lidhje me kohën, në një moment specifik.
Formula për llogaritjen e shkallës së menjëhershme të një reaksioni kimik jepet nga ekuacioni:
V = Δ[A] / Δt
ku V përfaqëson shpejtësinë e menjëhershme të reaksionit, ∆[A] është ndryshimi në përqendrimin e reaktantit ose produktit gjatë një intervali kohor ∆t.
Për të përcaktuar shpejtësinë e menjëhershme, është e rëndësishme të zgjidhni një interval kohor shumë të shkurtër, afër zeros, në mënyrë që ndryshimi i përqendrimit të jetë pothuajse i menjëhershëm. Sa më i shkurtër të jetë intervali kohor i zgjedhur, aq më i saktë është përcaktimi i shpejtësisë së menjëhershme të reaksionit kimik.
Kryerja e ushtrimeve praktike për të llogaritur shkallën e menjëhershme të një reaksioni kimik mund t'ju ndihmojë të kuptoni më mirë konceptin dhe zbatimin e formulës. Është e rëndësishme të praktikoni zgjidhjen e një sërë problemesh për të përsosur aftësinë tuaj për të përcaktuar në mënyrë efikase shkallën e menjëhershme.
Kuptoni konceptin e shpejtësisë së menjëhershme të një celulari në një mënyrë të thjeshtë dhe të qartë.
Shpejtësia e menjëhershme e një objekti është shpejtësia e tij në një moment të caktuar, domethënë, në një çast specifik në kohë. Ajo ndryshon nga shpejtësia mesatare, e cila llogaritet gjatë një intervali kohor më të gjatë.
Për të llogaritur shpejtësinë e menjëhershme të një objekti, është e nevojshme të përcaktohet ndryshimi në pozicionin e tij gjatë një intervali kohor shumë të shkurtër. Sa më i shkurtër të jetë ky interval kohor, aq më e saktë do të jetë shpejtësia e menjëhershme e llogaritur.
Formula për llogaritjen e shpejtësisë së menjëhershme të një objekti është e njëjtë me shpejtësinë mesatare, por duke marrë parasysh një interval kohor infinitezimalisht të vogël. Formula është: v = Δs / Δt, ku v është shpejtësia e menjëhershme, Δs është ndryshimi në pozicionin e objektit dhe Δt është intervali kohor i marrë në konsideratë.
Për të llogaritur shpejtësinë e menjëhershme të një objekti në një pikë specifike në trajektoren e tij, është e nevojshme të përdoret llogaritja diferenciale. Shpejtësia e menjëhershme përfaqësohet nga derivati i funksionit që përshkruan pozicionin e objektit në lidhje me kohën.
Për ta konsoliduar konceptin, është e rëndësishme të kryeni ushtrime praktike për llogaritjen e shpejtësisë së menjëhershme. Këto ushtrime do t'ju ndihmojnë të kuptoni më mirë marrëdhënien midis shpejtësisë së menjëhershme dhe shpejtësisë mesatare, si dhe të zhvilloni aftësinë për të llogaritur shpejtësitë në momente specifike.
Zbuloni udhëzuesin hap pas hapi për llogaritjen e shpejtësisë në një mënyrë të thjeshtë dhe efikase.
Para llogaritëse a shpejtësia e menjëhershme të një objekti në lëvizje, është e nevojshme të ndiqen disa hapa të thjeshtë. Shpejtësia e menjëhershme është shpejtësia e një objekti në një moment të caktuar, domethënë, është shpejtësia në një çast specifik.
Formula për llogaritjen e shpejtësisë së menjëhershme jepet nga:
V = Δd / Δt
Ku V përfaqëson shpejtësinë e menjëhershme, Δd është ndryshimi në distancën e përshkuar nga objekti dhe Δt është ndryshimi në kohë. Për të llogaritur shpejtësinë e menjëhershme, thjesht pjesëtoni ndryshimin në distancë me ndryshimin në kohë.
Le të shohim një shembull praktik: një makinë përshkon një distancë prej 100 metrash në 20 sekonda. Për të llogaritur shpejtësinë e menjëhershme të makinës, thjesht aplikoni formulën V = Δd / Δt, d.m.th., V = 100 / 20 = 5 m/s.
Tani që dini si të llogaritni shpejtësinë e menjëhershme, praktikoni me disa ushtrime për ta përforcuar konceptin. Mos harroni ta përdorni gjithmonë formulën saktë dhe t'i kontrolloni dy herë rezultatet për të siguruar saktësinë e llogaritjeve tuaja.
Me këto këshilla të thjeshta, do të jeni në gjendje të llogaritni shpejtësinë e menjëhershme në mënyrë efikase dhe pa ndërlikime. Shfrytëzoni këtë njohuri për ta aplikuar në situata të përditshme dhe në problemet e fizikës që përfshijnë lëvizjen e objekteve.
Shpejtësia e menjëhershme: përkufizimi, formula, llogaritja dhe ushtrimet
A shpejtësia e menjëhershme përkufizohet si ndryshimi i menjëhershëm i zhvendosjes me kalimin e kohës. Është një koncept që i shton saktësi të madhe studimit të lëvizjes. Dhe është një përparim në lidhje me shpejtësinë mesatare, informacioni i së cilës është shumë i përgjithshëm.
Për të përftuar shpejtësinë e menjëhershme, le të shqyrtojmë një interval kohor sa më të shkurtër të jetë e mundur. Kalkulusi diferencial është mjeti i përsosur për ta shprehur këtë ide matematikisht.
Pika fillestare është shpejtësia mesatare:
Ky limit njihet si derivat. Në notacionin e llogaritjes diferenciale, keni:
Sa herë që lëvizja kufizohet në një vijë të drejtë, mund të hiqet dorë nga shënimi vektorial.
Llogaritja e shpejtësisë së menjëhershme: interpretim gjeometrik
Figura e mëposhtme tregon interpretimin gjeometrik të konceptit të derivatit: është pjerrësia e vijës tangjent në kurbë x (t) kundrejt t në secilën pikë.
Mund ta imagjinoni se si e arrini limitin duke iu afruar gradualisht pikës Q në pikën P. Do të vijë një kohë kur të dy pikat do të jenë aq afër sa nuk do të mund ta dalloni njërën nga tjetra.
Vija që i bashkon ato do të ndryshojë nga sekanti (një vijë që kryqëzohet në dy pika) në tangjent (një vijë që prek kurbën në një pikë të vetme). Prandaj, për të gjetur shpejtësinë e menjëhershme të një grimce në lëvizje, duhet të kemi:
- Grafiku i pozicionit të grimcës në lidhje me kohën. Duke gjetur pjerrësinë e vijës tangjente me kurbën në çdo çast në kohë, ju merrni shpejtësinë e menjëhershme në çdo pikë të zënë nga grimca.
E mira:
- Funksioni i pozicionit të grimcave x (t) , e cila nxirret për të marrë funksionin e shpejtësisë v (t) , atëherë ky funksion vlerësohet çdo herë t , për lehtësi. Funksioni i pozicionit supozohet të jetë i diferencueshëm.
Disa raste të veçanta në llogaritjen e shpejtësisë së menjëhershme
-Pjerrësia e vijës tangjente me kurbën në P është 0. Një pjerrësi zero do të thotë që objekti është i palëvizshëm dhe se shpejtësia e tij është sigurisht 0.
-Pjerrësia e vijës tangjente me kurbën në P është më e madhe se 0. Shpejtësia është pozitive. Në grafikun e mësipërm, kjo do të thotë që telefoni celular po largohet nga pika O.
-Pjerrësia e vijës tangjente me kurbën në P është më e vogël se 0. Shpejtësia do të ishte negative. Në grafikun e mësipërm, nuk ka pika të tilla, por në këtë rast grimca do t'i afrohej pikës O.
-Pjerrësia e vijës tangjente me kurbën është konstante në P dhe në të gjitha pikat e tjera. Në këtë rast, grafiku është një vijë e drejtë dhe telefoni celular ka një MRU prej lëvizje drejtvizore uniforme (shpejtësia e saj është konstante).
Në përgjithësi, funksioni v (t) është gjithashtu një funksion i kohës, i cili nga ana tjetër mund të ketë një derivat. Dhe nëse nuk do të ishte e mundur të gjendeshin derivatet e funksioneve x (t) e v (t) ?
Në rast se x (t), Mund të ndodhë që pjerrësia - shpejtësia e menjëhershme - të ndryshojë shenjën menjëherë. Ose që të kalojë nga zero në një vlerë të ndryshme menjëherë.
Në këtë rast, grafiku x (t) do të kishte pika ose qoshe në vendet e ndryshimeve të papritura. Shumë ndryshe nga rasti i përshkruar në imazhin e mëparshëm, ku kurba x (t) është një kurbë e lëmuar, pa pika, kënde, ndërprerje ose ndryshime të papritura.
E vërteta është se, për telefonat celularë të vërtetë, kthesat e lëmuara janë ato që përfaqësojnë më së miri sjelljen e objektit.
Lëvizja në përgjithësi është mjaft komplekse. Telefonat celularë mund të ndalen për një kohë, të përshpejtohen nga gjendja e qetësisë në një shpejtësi të caktuar dhe të largohen nga pika e fillimit, ta mbajnë atë shpejtësi për një kohë, pastaj të frenojnë për të ndaluar përsëri e kështu me radhë.
Përsëri, ato mund të fillojnë nga e para dhe të vazhdojnë në të njëjtin drejtim. Ose, ato mund të aktivizojnë kthimin prapa. Kjo quhet lëvizje e ndryshueshme njëdimensionale.
Ja disa shembuj të llogaritjes së shpejtësisë së menjëhershme për të sqaruar përdorimin e përkufizimeve të dhëna:
Ushtrime të zgjidhura për shpejtësinë e menjëhershme
Ushtrimi 1
Një grimcë udhëton përgjatë një vije të drejtë sipas ligjit të mëposhtëm të lëvizjes:
x (t) = -t 3 + 2 t 2 + 6 t – 10
Të gjitha njësitë janë në sistemin ndërkombëtar. Gjeni:
a) Pozicioni i grimcës në t = 3 sekonda.
b) Shpejtësia mesatare në intervalin midis t = 0 dhe t = 3 s.
c) Shpejtësia mesatare në intervalin midis t = 0 dhe t = 3 s.
d) Shpejtësia e menjëhershme e grimcës nga pyetja e mëparshme, në t = 1 s.
Përgjigje
a) Për të gjetur pozicionin e grimcës, ligji i lëvizjes (funksioni i pozicionit) vlerësohet në t = 3:
x (3) = (-4/3) 3 3 + 2. 3 2 + 6,3 – 10 m = -10 m
Është në rregull nëse pozicioni është negativ. Shenja (-) tregon që grimca është në të majtë të origjinës O.
b) Në llogaritjen e shpejtësisë mesatare, kërkohen pozicionet përfundimtare dhe fillestare të grimcës në kohët e treguara: x (3) dhe x (0). Pozicioni në t = 3 është x (3) dhe rezultati i mëparshëm është i njohur. Pozicioni në t = 0 sekonda është x (0) = -10 m.
Meqenëse pozicioni përfundimtar është i barabartë me pozicionin fillestar, menjëherë konkludohet se shpejtësia mesatare është 0.
c) Shpejtësia mesatare është raporti i distancës së përshkuar me kohën e kaluar. Tani, distanca është madhësia e zhvendosjes, prandaj:
distanca = |x2 – x1 | = | -10 – (-10) | m = 20 m
Vini re se distanca e përshkuar është gjithmonë pozitive.
v m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s
d) Këtu është e nevojshme të gjejmë derivatin e parë të pozicionit në lidhje me kohën. Pastaj, ai vlerësohet për t = 1 sekondë.
x '(t) = -4 t 2 + 4 t + 6
x '(1) = -4,1 2 + 4,1 + 6 m/s = 6 m/s
Ushtrimi 2
Më poshtë është një grafik i pozicionit të një telefoni celular në krahasim me kohën. Gjeni shpejtësinë e menjëhershme në t = 2 sekonda.
përgjigje
Vizatoni vijën tangjente me kurbën në t = 2 sekonda dhe llogaritni pjerrësinë e saj duke marrë dy pika në vijë.
Në këtë shembull, do të marrim dy pika që vizualizohen lehtësisht, koordinatat e të cilave janë (2 s, 10 m) dhe prerja me boshtin vertikal (0 s, 7 m):
Referencat
- Giancoli, D. Fizikë. Parimet me zbatime. 6 ª Botim Salla Prentice. 22-25.
- Resnick, R. (1999). Fizikë Vëllimi 1. Botimi i Tretë në Spanjisht . Mexico Empresa Editorial Continental SA de CV 21-22.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizikë për Shkencë dhe Inxhinieri. Vëllimi 1. 7 ma Edicioni Shtëpia Botuese Meksikë Cengage Learning. 23-25.