Një kënd i brendashkruar i një rrethi është një kënd, kulmi i të cilit ndodhet në rreth dhe brinjët e të cilit janë kordat e rrethit. Këto kënde kanë veti interesante që mund të eksplorohen përmes teoremave të ndryshme.
Disa nga teoremat më të rëndësishme që lidhen me këndet e brendashkruara përfshijnë teoremën e këndit të brendashkruar, e cila thotë se një kënd i brendashkruar në një rreth është i barabartë me gjysmën e këndit qendror përkatës, dhe teoremën e tangjentës, e cila thotë se një kënd i brendashkruar që pret të njëjtin hark si një kordë është i barabartë me këndin e formuar nga korda dhe tangjenta me rrethin në pikën e kryqëzimit.
Për një kuptim më të mirë, le të analizojmë disa shembuj praktikë të zbatimit të këtyre teoremave në problemet gjeometrike që përfshijnë kënde të brendashkruara në rrathë.
Cilat janë këndet e ndryshme të formuara në një rreth?
Në një rreth, mund të formohen disa kënde. Një nga këndet më të rëndësishme është kënd i brendashkruarNjë kënd i brendashkruar është ai, kulmi i të cilit ndodhet në rreth dhe brinjët e të cilit e presin rrethin në dy pika të dallueshme. Ky kënd është gjysma e harkut që ai pret.
Ekzistojnë disa teorema që lidhen me këndet e brendashkruara në një rreth. Një nga më të rëndësishmet është Teorema e Këndit të Brendshëm, e cila pohon se një kënd i brendashkruar në një rreth është i barabartë me gjysmën e gjatësisë së harkut që ai pret. Kjo teoremë është shumë e dobishme për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë kënde të brendashkruara në një rreth.
Për ta ilustruar më tej këtë, le të shohim një shembull: nëse një hark në një rreth mat 120 gradë, atëherë këndi përkatës i brendashkruar do të jetë 60 gradë. Kjo ndodh sepse këndi i brendashkruar është gjithmonë gjysma e harkut që pret.
Duke kuptuar teoremën e këndit të brendashkruar dhe duke u praktikuar me shembuj, mund të zgjidhni lehtësisht probleme që përfshijnë kënde të brendashkruara në një rreth.
Zbuloni formulën për të llogaritur këndin e brendashkruar në një rreth.
Këndi i brendashkruar në një rreth përcaktohet si këndi i formuar nga dy rreze që fillojnë nga qendra e rrethit dhe e presin atë në dy pika të dallueshme. Për të llogaritur këndin e brendashkruar në një rreth, përdorim formulën:
Këndi i brendashkruar = 2 * Këndi qendror
Ku këndi qendror është këndi i formuar nga dy rreze që fillojnë nga qendra e rrethit dhe e presin atë në dy pika të dallueshme. Kjo teoremë është themelore për zgjidhjen e problemeve që lidhen me rrathët, siç është gjetja e këndeve në figurat gjeometrike ose në problemet e trigonometrisë.
Për shembull, nëse këndi qendror i një rrethi është 60 gradë, atëherë këndi i brendashkruar do të jetë:
Këndi i brendashkruar = 2 * 60 = 120 gradë
Kështu, ne mund ta llogarisim lehtësisht këndin e brendashkruar në një rreth nga këndi qendror. Kjo formulë është e dobishme në zbatime të ndryshme matematikore dhe gjeometrike, duke lehtësuar llogaritjen e këndeve në rrathë.
Njohja e 5 elementëve thelbësorë për të përshkruar plotësisht një perimetër.
Për të përshkruar plotësisht një rreth, duhet të dini pesë elementët thelbësorë që e karakterizojnë atë. Këta elementë janë rrezja, diametri, qendra, korda dhe këndi i brendashkruar.
O rreze është distanca nga qendra e rrethit deri në çdo pikë në perimetrin e tij. Diametri është dyfishi i rrezes dhe kalon nëpër qendrën e rrethit. qendër është pika qendrore e perimetrit, nga ku fillojnë të gjitha matjet. Corda është një segment i drejtë që bashkon dy pika në perimetrin. Dhe kënd i brendashkruar është këndi i formuar nga dy harqe të një rrethi që kanë një kulm në rreth.
Këndi i brendashkruar i një rrethi është masa e këndit të formuar nga dy harqe që kanë një kulm në rreth. Ky lloj këndi përdoret gjerësisht në problemet e gjeometrisë dhe trigonometrisë, pasi lidhet me disa veti të rrathëve.
Ekzistojnë disa teorema që përfshijnë këndin e brendashkruar në një rreth. Një nga më të njohurat është teorema e këndit të brendashkruar, i cili thotë se masa e një këndi të brendashkruar në një rreth është e barabartë me gjysmën e masës së harkut përkatës.
Për shembull, nëse një hark i një rrethi ka një gjatësi prej 120 gradësh, atëherë këndi përkatës i brendashkruar do të jetë 60 gradë. Kjo teoremë është shumë e dobishme për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë kënde të brendashkruara në rrathë.
Prandaj, njohja e pesë elementëve thelbësorë për të përshkruar plotësisht një rreth, duke përfshirë këndin e brendashkruar, është thelbësore për të kuptuar dhe zgjidhur pyetje gjeometrike që përfshijnë rrathët.
Marrëdhënia midis këndit të brendashkruar dhe këndit qendror në një rreth: cila është lidhja?
Këndet e brendashkruara të një rrethi lidhen drejtpërdrejt me këndet qendrore që ndajnë të njëjtin hark përkatës. Kjo marrëdhënie është themelore për të kuptuar gjeometrinë e një rrethi dhe drejtohet nga disa teorema të rëndësishme.
Um kënd i brendashkruar është ai, kulmi i të cilit është në perimetrin dhe brinjët e të cilit janë korda të të njëjtit. kënd qendror është ai që ka kulmin në qendër të rrethit dhe brinjët e të cilit janë rreze të të njëjtit rreth. Lidhja midis këtyre dy llojeve të këndeve është për shkak të faktit se këndi qendror është dyfishi i këndit të brendashkruar që ka të njëjtin hark përkatës.
Kjo marrëdhënie mund të formalizohet nga disa teorema, të tilla si Teorema e këndit të brendashkruar dhe Teorema e Këndit QendrorTeorema e parë pohon se një kënd i brendashkruar në një rreth është gjysma e këndit qendror që ka të njëjtin hark përkatës. Teorema e dytë pohon se shuma e një këndi të brendashkruar dhe një këndi qendror që kanë të njëjtin hark përkatës është gjithmonë e barabartë me 180 gradë.
Për ta ilustruar këtë marrëdhënie, mund të shqyrtojmë një shembull të thjeshtë: nëse kemi një kënd të brendashkruar prej 60 gradësh në një rreth, këndi qendror përkatës do të jetë 120 gradë. Kjo ndodh sepse këndi qendror është dyfishi i këndit të brendashkruar.
Kjo lidhje na lejon të përcaktojmë veti dhe teorema të rëndësishme që lehtësojnë zgjidhjen e problemeve që përfshijnë rrathë dhe kënde.
Këndi i brendashkruar i një rrethi: përkufizim, teorema, shembuj
O kënd i brendashkruar i një rrethi është një kënd që ka kulmin e tij në rreth dhe rrezet e tij janë sekante ose tangjente me të. Si pasojë, këndi i brendashkruar do të jetë gjithmonë konveks ose i sheshtë.
Figura 1 tregon disa kënde të brendashkruara në rrathët e tyre përkatës. Këndi ∠EDF është brendashkruar me kulmin e tij D në rreth dhe dy rrezet e tij [DE] dhe [DF] që sekantojnë rrethin.
Po kështu, këndi GHGI është i brendashkruar, meqenëse kulmi i tij është në rreth dhe brinjët janë sekante.
Këndet JKJR dhe ∠UST janë gjithashtu të brendashkruara në rreth. I pari prej tyre ka një brinjë sekante dhe tjetrën tangjente, ndërsa i dyti i ka të dyja brinjët tangjente me rrethin, duke formuar një kënd të brendashkruar në plan (180º).
Disa autorë e quajnë këndin gjysmë të brendashkruar njërën nga anët tangjente me rrethin, por në këtë artikull ai konsiderohet i brendashkruar.
Çdo kënd i brendashkruar përcakton ose nënvizon një hark të shoqëruar me të. Për shembull, në Figurën 2, këndi i brendashkruar ∠ABC nënvizon harkun A⌒C me gjatësi d.
E njëjta figurë tregon këndin EDOE, i cili nuk është i brendashkruar në rreth sepse nuk e ka kulmin në rreth, por në qendër O.
Këndi qendror
Përveç këndit të brendashkruar, kënd qendror mund të përcaktohet në një rreth, i cili është këndi kulmi i të cilit është në qendër të rrethit dhe brinjët e të cilit e presin rrethin.
Masa radiane e një këndi qendror është herësi midis harkut nën-prerës, domethënë harkut të rrethit midis anëve të këndit dhe rrezes së rrethit.
Nëse perimetri është njësi (rrezja 1), gjatësia e harkut në të njëjtat njësi rrezeje është masa e këndit në radianë.
Dhe kur kërkohet matja e këndit në gradë, atëherë matja radiane shumëzohet me faktorin 180º / π.
Instrumentet matëse të këndit përdorin gjithmonë një kënd qendror, dhe gjatësia e harkut të nënshtruar prej tij kalibrohet direkt në gradë. Kjo do të thotë që sa herë që matet një kënd, ajo që matet në fund është gjatësia e harkut të nënshtruar nga këndi qendror.
Teorema
– Teorema 1 (këndi i brendashkruar dhe këndi qendror)
Masa e një këndi të brendashkruar është gjysma e masës së këndit qendror nëse të dy këndet shtrihen në të njëjtin hark. .
Dy kënde ∠ABC dhe ∠AOC janë paraqitur në Figurën 4, të cilat presin të njëjtin hark të rrethit A⌒C.
Nëse masa e këndit të brendashkruar është α, atëherë masa β e këndit qendror është dyfishi i masës së këndit të brendashkruar (β = 2 α) sepse të dy nënvizojnë të njëjtin hark matjeje d.
Demonstrimi 1a
Për të vërtetuar Teoremën 1, do të fillojmë duke treguar disa raste të veçanta, derisa të arrijmë në rastin e përgjithshëm.
Supozojmë një kënd të brendashkruar, në të cilin një nga brinjët e tij kalon nëpër qendrën e rrethit, siç tregohet në figurën 5.
Në këtë rast, formohet trekëndëshi izosceles COB, meqenëse [OC] = [OB].
Në një trekëndësh barabrinjës, këndet ngjitur me bazën janë të barabarta; prandaj, kemi që ∠BCO = ∠ABC = α. Nga ana tjetër, BCOB = 180º – β.
Duke marrë parasysh shumën e këndeve të brendshme të trekëndëshit COB, kemi:
α + α + (180º – β) = 180º
Nga e cila rrjedh se 2α = β, ose çfarë është ekuivalente: α = β / 2. Kjo përkon me atë që thotë Teorema 1: masa e këndit të brendashkruar është gjysma e këndit qendror, nëse të dy këndet nënvizojnë të njëjtën kordë [AC].
Demonstrimi 1b
Në këtë rast, kemi një kënd të brendashkruar ∠ABC, në të cilin qendra O e rrethit është brenda këndit.
Për të vërtetuar Teoremën 1 në këtë rast, vizatojmë rrezen ndihmëse [BO], në mënyrë që të kemi dy kënde të brendashkruara ∠ABO dhe ∠OBC ngjitur me rrezen e lartpërmendur.
Në mënyrë të ngjashme, ka kënde qendrore p 1 dhe β 2 ngjitur me atë rreze. Kështu, kemi të njëjtën situatë siç tregohet në 1a, kështu që mund të thuhet se α 2 = β 2 /2 dhe ct 1 = β 1 /2. Meqë α = α 1 +α 2 dhe β = β 1 + β 2 prandaj, α = α 1 +α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2
Si përfundim α = β / 2, që është në përputhje me Teoremën 1.
– Teorema 2
Nëse dy ose më shumë kënde të brendashkruara përfaqësojnë të njëjtin hark, ato kanë të njëjtën masë.
– Teorema 3
Këndet e brendashkruara që nënvendosen te vargjet me të njëjtën masë janë të barabarta .
Shembuj
– Shembulli 1
Tregoni se këndi i brendashkruar që nënvizon diametrin është kënd i drejtë.
Zgjidhja
Këndi qendror ∠AOB i lidhur me diametrin është një kënd planor, masa e të cilit është 180º.
Sipas teoremës 1, çdo kënd i brendashkruar në perimetrin që e njëjta kabllo e nënshtron (në këtë rast, diametrin), ka si masë gjysmën e këndit qendror që e njëjta kabllo e nënshtron, i cili në shembullin tonë është 180º / 2 = 90º.
– shembulli 2
Vija (BC) tangjente në A me rrethin C përcakton këndin e brendashkruar ∠BAC (shih figurën 10).
Kontrolloni nëse plotësohet teorema 1 e këndeve të brendashkruara.
Zgjidhja
Këndi ∠BAC është i brendashkruar sepse kulmi i tij është në rreth, dhe brinjët e tij [AB) dhe [AC) janë tangjente me rrethin, prandaj, përkufizimi i këndit të brendashkruar është përmbushur.
Nga ana tjetër, këndi i brendashkruar ∠BAC është nën harkun A⌒A, i cili është rrethi i plotë. Këndi qendror që është nën harkun A⌒A është një kënd konveks, masa e të cilit është këndi i plotë (360º).
Këndi i brendashkruar që përshkon të gjithë harkun mat gjysmën e këndit qendror të shoqëruar, domethënë, ACBAC = 360º / 2 = 180º.
Me të gjitha sa më sipër, rezulton se ky rast i veçantë përputhet me Teoremën 1.
Referencat
- Baldor. (1973). Gjeometria dhe trigonometria. Shtëpia Botuese e Kulturës së Amerikës Qendrore.
- EA (2003). Elementet e gjeometrisë: me ushtrime dhe gjeometri të busullës. Universiteti i Medellínit.
- Gjeometria ESO e 1-rë. Këndet në rreth. Marrë nga: edu.xunta.es/
- E gjithë shkenca. Ushtrime të propozuara mbi këndet në një rreth. Marrë nga: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Kënd i brendashkruar. Marrë nga: es.wikipedia.com