Shpërndarjet diskrete të probabilitetit janë modele matematikore që përshkruajnë ndodhjen e ngjarjeve me vlera diskrete dhe të fundme. Këto shpërndarje karakterizohen nga vetitë e tyre, të tilla si shuma e probabiliteteve të të gjitha rezultateve të mundshme të barabarta me 1 dhe prania e një parametri që përcakton formën e shpërndarjes. Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë karakteristikat e shpërndarjeve më të zakonshme diskrete të probabilitetit, të tilla si shpërndarja Bernoulli, shpërndarja binomiale, shpërndarja Poisson dhe shpërndarja gjeometrike, si dhe do të paraqesim disa ushtrime praktike për të kuptuar më mirë këto koncepte.
Kuptimi i konceptit të shpërndarjes diskrete të probabilitetit: një shpjegim i thjeshtë dhe i qartë.
Për të kuptuar konceptin e një shpërndarjeje diskrete të probabilitetit, është e rëndësishme të kuptohet se është një funksion matematik që shoqëron një probabilitet me çdo rezultat të mundshëm të një eksperimenti të rastësishëm. Me fjalë të tjera, shpërndarja diskrete e probabilitetit na lejon të përcaktojmë mundësinë që çdo rezultat të ndodhë në një grup të kufizuar ose të numërueshëm mundësish.
Një shpërndarje diskrete e probabilitetit karakterizohet nga funksioni i saj i probabilitetit, i cili i cakton çdo rezultati një vlerë jo-negative, me shumën e të gjitha probabiliteteve të barabarta me 1. Për më tepër, rezultatet e mundshme janë të dallueshme dhe të izoluara, pa mundësi të ndodhin vlera të ndërmjetme.
Një shembull klasik i një shpërndarjeje diskrete probabiliteti është shpërndarja Poisson, e përdorur gjerësisht në proceset e numërimit, siç është numri i ngjarjeve që ndodhin në një periudhë të caktuar kohore. Një shembull tjetër i zakonshëm është shpërndarja binomiale, e cila modelon eksperimente vetëm me dy rezultate të mundshme, të tilla si suksesi ose dështimi.
Për të zbatuar teorinë e shpërndarjeve diskrete të probabilitetit, është e nevojshme të kuptohen vetitë dhe karakteristikat e tyre specifike, si dhe të jenë në gjendje të llogarisin probabilitetet dhe të interpretojnë rezultatet. Ushtrimet praktike janë thelbësore për të thelluar të kuptuarit dhe për të zhvilluar aftësi në këtë fushë të probabilitetit.
Mësoni rreth shpërndarjeve kryesore diskrete të përdorura në statistikë dhe probabilitet.
Mësoni rreth shpërndarjeve kryesore diskrete të përdorura në statistikë dhe probabilitet. Shpërndarjet diskrete të probabilitetit janë mjete të rëndësishme në analizën statistikore, duke mundësuar modelimin dhe parashikimin e ngjarjeve të rastësishme. Ndër shpërndarjet kryesore diskrete janë shpërndarja Bernoulli, shpërndarja binomiale, shpërndarja gjeometrike, shpërndarja Poisson dhe shpërndarja hipergeometrike.
A Shpërndarja e Bernoulli-t Përdoret për të modeluar eksperimente me vetëm dy rezultate të mundshme, siç janë suksesi dhe dështimi. shpërndarje binomiale Zbatohet në situata ku ka një numër të caktuar provash të pavarura, me vetëm dy rezultate të mundshme në secilën provë, siç janë suksesi dhe dështimi.
A shpërndarje gjeometrike Përdoret për të modeluar numrin e provave deri në suksesin e parë në një sekuencë eksperimentesh të pavarura. Shpërndarja e Poissonit Përdoret për të modeluar ndodhjen e ngjarjeve të rralla në një interval të caktuar kohor ose hapësinor.
Më në fund, shpërndarje hipergeometrike Përdoret për të modeluar eksperimente në të cilat ka një përzgjedhje pa zëvendësim të elementëve nga një popullatë e kufizuar, me interes në numrin e sukseseve në një mostër specifike.
Për të kuptuar më mirë këto shpërndarje diskrete dhe si t'i zbatoni ato, është e rëndësishme të praktikoni përmes ushtrimeve. Zgjidhja e problemeve që përfshijnë këto shpërndarje mund të ndihmojë në forcimin e njohurive dhe mprehjen e aftësive statistikore dhe të probabilitetit.
Prandaj, kur studiojmë statistikën dhe probabilitetin, është thelbësore të njihen karakteristikat dhe zbatimet e shpërndarjeve kryesore diskrete, siç janë shpërndarja Bernoulli, shpërndarja binomiale, shpërndarja gjeometrike, shpërndarja Poisson dhe shpërndarja hipergeometrike.
Llojet e shpërndarjeve të probabilitetit: mësoni rreth formave të ndryshme të shpërndarjeve statistikore.
Shpërndarjet e probabilitetit janë modele matematikore që përshkruajnë sjelljen e rastësishme të një fenomeni. Ekzistojnë lloje të ndryshme të shpërndarjeve të probabilitetit, secila me karakteristikat dhe zbatimet e veta. Në këtë artikull, ne do të përqendrohemi në shpërndarjet diskrete të probabilitetit, të cilat shoqërohen me variabla diskrete - ato që mund të supozojnë vlera specifike dhe të numërueshme.
Disa nga shpërndarjet më të zakonshme diskrete të probabilitetit përfshijnë shpërndarjen uniforme, shpërndarjen binomiale, shpërndarjen Poisson dhe shpërndarjen gjeometrike. Secila prej këtyre shpërndarjeve ka vetitë e veta dhe përdoret në kontekste të ndryshme statistikore.
Shpërndarja uniforme, për shembull, karakterizohet duke i caktuar të njëjtin probabilitet të gjitha vlerave të mundshme të një variabli diskret. Shpërndarja binomiale përdoret për të modeluar numrin e sukseseve në një sekuencë provash të pavarura, secila me të njëjtin probabilitet suksesi. Shpërndarja Poisson, nga ana tjetër, përdoret për të modeluar numrin e ngjarjeve të rralla në një interval kohor ose hapësinor. Dhe shpërndarja gjeometrike përdoret për të modeluar numrin e provave të kërkuara deri në suksesin e parë në një sekuencë provash të pavarura.
Për të kuptuar më mirë se si funksionojnë këto shpërndarje, është e rëndësishme të praktikoni me ushtrime. Për shembull, mund të llogarisim probabilitetin e marrjes së saktësisht 3 goditjeve në 5 hedhje të një monedhe të drejtë duke përdorur shpërndarjen binomiale. Ose mund të përcaktojmë probabilitetin e të paktën 2 ngjarjeve që ndodhin në një interval kohor specifik duke përdorur shpërndarjen Poisson.
Duke kuptuar karakteristikat dhe zbatimet e këtyre shpërndarjeve, profesionistët e statistikës dhe shkencave të lidhura mund të marrin vendime më të informuara dhe të sakta bazuar në të dhëna probabilistike.
Cilat variabla konsiderohen diskrete në probabilitet?
Në probabilitet, variablat diskrete janë ato që mund të supozojnë një numër të fundëm ose të numërueshëm vlerash. Kjo do të thotë që variablat diskrete janë ato që mund të numërohen, zakonisht të përfaqësuara nga numra të plotë. Për shembull, numri i makinave në një parking, numri i studentëve në një klasë dhe numri i faqeve në një zar janë të gjitha shembuj të variablave diskrete.
Këto variabla janë të ndryshme nga variablat e vazhdueshme, të cilat mund të marrin një numër të pafund vlerash brenda një diapazoni specifik. Ndërsa variablat diskrete kanë vlera specifike, diskrete, variablat e vazhdueshme mund të marrin çdo vlerë brenda një diapazoni të vazhdueshëm. Për shembull, gjatësia e një personi, koha që duhet për të përfunduar një detyrë dhe temperatura e dhomës janë shembuj të variablave të vazhdueshme.
Prandaj, variablat diskrete në probabilitet janë ato që mund të numërohen dhe të marrin vlera specifike, të ndara, në krahasim me variablat e vazhdueshme që mund të marrin çdo vlerë brenda një diapazoni.
Shpërndarjet diskrete të probabilitetit: Karakteristikat, Ushtrimet
As shpërndarjet diskrete të probabilitetit janë një funksion që i shoqërohet secilit element të X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, ku X është një ndryshore diskrete e rastësishme e dhënë dhe S është hapësira e marrjes së mostrave, probabiliteti që kjo ngjarje të ndodhë. Ky funksion f i X(S) i përcaktuar si f(xi) = P(X = xi) nganjëherë quhet funksioni i probabilitetit masiv.
Kjo masë probabiliteti zakonisht përfaqësohet në formën e një tabele. Meqenëse X është një ndryshore diskrete e rastësishme, X(S) ka ose një numër të kufizuar ose një numër të pafund ngjarjesh. Ndër shpërndarjet më të zakonshme diskrete të probabilitetit janë shpërndarja uniforme, shpërndarja binomiale dhe shpërndarja Poisson.
Features
Funksioni i shpërndarjes së probabilitetit duhet të plotësojë kushtet e mëposhtme:
Për më tepër, nëse X merr vetëm një numër të kufizuar vlerash (p.sh., x1, x2, …, xn), atëherë p(xi) = 0 nëse i > n dhe, për këtë arsye, seria e pafundme e kushteve b bëhet seria e kufizuar
Ky funksion plotëson gjithashtu vetitë e mëposhtme:
Le të jetë B një ngjarje e shoqëruar me ndryshoren e rastësishme X. Kjo do të thotë që B përmbahet në X(S). Konkretisht, supozojmë se B = {xi1, xi2,…}. Prandaj:
Me fjalë të tjera: probabiliteti i një ngjarjeje B është i barabartë me shumën e probabiliteteve të rezultateve individuale të shoqëruara me B.
Nga kjo mund të konkludojmë se nëse
lloj
Shpërndarja uniforme në n pika
Një ndryshore e rastësishme X thuhet se ndjek një shpërndarje që karakterizohet nga të qenit uniforme në n pika nëse çdo vlerë ka të njëjtin probabilitet të caktuar. Funksioni i saj i masës së probabilitetit është:
Supozojmë se kemi një eksperiment me dy rezultate të mundshme: mund të jetë hedhja e një monedhe, rezultatet e mundshme të së cilës janë koka ose bishta, ose zgjedhja e një numri të plotë, rezultati i të cilit mund të jetë një numër tek ose çift; Ky lloj eksperimenti njihet si testi i Bernoulli-t.
Në përgjithësi, dy rezultatet e mundshme quhen sukses dhe dështim, ku p është probabiliteti i suksesit dhe 1-p është probabiliteti i dështimit. Ne mund të përcaktojmë probabilitetin e x sukseseve në n prova të pavarura Bernoulli me shpërndarjen e mëposhtme.
Shpërndarja binomiale
Ky funksion përfaqëson probabilitetin e arritjes së x sukseseve në n prova të pavarura Bernoulli, probabiliteti i suksesit të të cilave është p. Funksioni i tij masiv i probabilitetit është:
Grafiku i mëposhtëm përfaqëson funksionin masiv të probabilitetit për vlera të ndryshme të parametrave të shpërndarjes binomiale.
Shpërndarja e mëposhtme ia detyrohet emrit të saj matematikanit francez Simeon Poisson (1781-1840), i cili e mori atë si kufirin e shpërndarjes binomiale.
Shpërndarja e Poissonit
Një ndryshore e rastësishme X thuhet se ka një shpërndarje Poisson të parametrit λ kur mund të marrë vlerat e numrave të plotë pozitivë 0,1,2,3, XNUMX, XNUMX, XNUMX, ... me probabilitetin e mëposhtëm:
Në këtë shprehje, λ është numri mesatar i ndodhjeve të ngjarjes për çdo njësi të kohës dhe x është numri i herëve që ndodh ngjarja.
Funksioni i probabilitetit të masës së tij është:
Më poshtë është një grafik që përfaqëson funksionin masiv të probabilitetit për vlera të ndryshme të parametrave të shpërndarjes Poisson.
Vini re se për sa kohë që numri i sukseseve është i ulët dhe numri i testeve të kryera në një shpërndarje binomiale është i lartë, ne gjithmonë mund t'i përafrojmë këto shpërndarje, pasi shpërndarja Poisson është kufiri i shpërndarjes binomiale.
Dallimi kryesor midis këtyre dy shpërndarjeve është se, ndërsa binomi varet nga dy parametra – nep –, Poisson varet vetëm nga λ, i cili nganjëherë quhet intensiteti i shpërndarjes.
Deri më tani, kemi folur vetëm për shpërndarjet e probabilitetit për rastet kur eksperimentet e ndryshme janë të pavarura nga njëra-tjetra; domethënë, kur rezultati i njërit nuk ndikohet nga rezultati i një tjetri.
Kur eksperimentet nuk janë të pavarura, shpërndarja hipergeometrike është shumë e dobishme.
Shpërndarja hipergeometrike
Le të jetë N numri i përgjithshëm i objekteve në një bashkësi të fundme, nga të cilat mund të identifikojmë k në një farë mënyre, duke formuar një nëngrup K, komplementi i të cilit formohet nga elementët e mbetur Nk.
Nëse zgjedhim n objekte rastësisht, variabli i rastësishëm X që përfaqëson numrin e objekteve që i përkasin K në atë zgjedhje do të ketë një shpërndarje hipergeometrike të parametrave N, n dhe k. Funksioni i saj i probabilitetit masiv është:
Grafiku i mëposhtëm paraqet funksionin masiv të probabilitetit për vlera të ndryshme të parametrave të shpërndarjes hipergeometrike.
Ushtrime të zgjidhura
Ushtrimi i parë
Supozojmë se probabiliteti që një tub radioje (i vendosur në një lloj të caktuar pajisjeje) të funksionojë për më shumë se 500 orë është 0,2. Nëse testohen 20 tuba, cili është probabiliteti që saktësisht k prej tyre të funksionojnë për më shumë se 500 orë, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Zgjidhja
Nëse X është numri i tubave që funksionojnë për më shumë se 500 orë, do të supozojmë se X ka një shpërndarje binomiale. Atëherë
Dhe kështu:
Për k≥11, probabilitetet janë më pak se 0,001
Kështu, mund të vëzhgojmë se si probabiliteti i k-së që këto të punojnë më shumë se 500 orë rritet, derisa të arrijë vlerën e tij maksimale (me k = 4) dhe pastaj fillon të ulet.
Ushtrimi i 2-të
Një monedhë hidhet 6 herë. Kur rezultati është koka, ne e quajmë sukses. Cila është probabiliteti i saktësisht dy kokave?
Zgjidhja
Për këtë rast, kemi n = 6 dhe probabiliteti i suksesit dhe dështimit është p = q = 1/2
Prandaj, probabiliteti i dy faqeve të dhëna (domethënë, k = 2) është
Ushtrimi i tretë
Cila është probabiliteti për të gjetur të paktën katër faqe?
Zgjidhja
Për këtë rast, kemi k = 4, 5 ose 6
Ushtrimi i tretë
Supozoni se 2% e artikujve të prodhuar në një fabrikë janë me defekt. Gjeni probabilitetin P që të ketë tre artikuj me defekt në një mostër prej 100 artikujsh.
Zgjidhja
Për këtë rast, mund të aplikojmë shpërndarjen binomiale për n = 100 dhe p = 0,02, duke marrë si rezultat:
Megjithatë, meqenëse p është e vogël, ne përdorim përafrimin e Poisson me λ = np = 2. Kështu
Referencat
- Kai Lai Chung: Teoria Elementare e Probabilitetit me Procese Stokastike. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Matematika Diskrete dhe Zbatimet e saj. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Probabiliteti dhe zbatimet statistikore. SA ALHAMBRA MEKSIKANË.
- Seymour Lipschutz, Doktoraturë, 2000, Probleme të Zgjidhura në Matematikën Diskrete. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Doktoraturë. Probleme në Teori dhe Probabilitet. McGraw-HILL