Interpolimi linear është një metodë e përdorur për të vlerësuar vlerat e ndërmjetme midis dy pikave të njohura. Kjo metodë merr në konsideratë një marrëdhënie lineare midis pikave të njohura për të përcaktuar vlerën me interes. Ky proces përdoret gjerësisht në fusha të ndryshme, të tilla si matematika, statistika, inxhinieria dhe të tjera.
Në këtë artikull, do të trajtojmë metodën e interpolimit linear, duke shpjeguar hap pas hapi se si të kryhet ky lloj llogaritjeje. Gjithashtu, do të paraqesim shembuj të ushtrimeve të zgjidhura për të lehtësuar kuptimin dhe zbatimin praktik të kësaj metode. Me këtë, shpresojmë të kontribuojmë në kuptimin dhe përdorimin efikas të interpolimit linear në kontekste të ndryshme.
Udhëzues hap pas hapi për të kryer një llogaritje interpolimi në mënyrë efikase.
Për të kryer një llogaritje interpolimi në mënyrë efikase, ndiqni këto hapa:
Hapi 1: Mblidhni të dhënat e nevojshme për problemin e interpolimit. Kjo përfshin vlerat e njohura të pikave të referencës dhe vlerën x për të cilën dëshironi të interpoloni.
Hapi 2: Llogaritni ndryshimin midis vlerave të njohura të x më afër vlerës së dëshiruar të x. Kjo do të ndihmojë në përcaktimin e intervalit të interpolimit.
Hapi 3: Llogaritni ndryshimin midis vlerave y që korrespondojnë me pikat më të afërta të referencës. Kjo do të përcaktojë ndryshimin e y në intervalin e interpolimit.
Hapi 4: Duke përdorur formulën e interpolimit linear, llogaritni vlerën e y për vlerën e dëshiruar të x. Formula jepet nga:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Hapi 5: Zëvendësoni vlerat e njohura në formulë dhe zgjidheni për të marrë vlerën e y që korrespondon me vlerën e dëshiruar të x.
Duke ndjekur këto hapa, do të jeni në gjendje të kryeni një llogaritje interpolimi në mënyrë efikase dhe të merrni rezultate të sakta për problemin në fjalë.
Kur është e përshtatshme të përdoret interpolimi linear në analizën ose modelimin matematik?
Interpolimi linear është një metodë e përdorur në analizën ose modelimin matematik kur dëshirohet të vlerësohen vlerat e ndërmjetme nga vlerat e njohura. Kjo metodë është e përshtatshme kur të dhënat shpërndahen në mënyrë lineare dhe të vazhdueshme.
Për shembull, kur kemi një tabelë me vlerat e një funksioni në pika diskrete dhe duam të vlerësojmë vlerën e funksionit për një pikë të ndërmjetme, interpolimi linear mund të jetë një zgjedhje e mirë. Ai konsiston në vizatimin e një vije të drejtë midis dy pikave të njohura dhe përdorimin e asaj vije për të vlerësuar vlerën e dëshiruar.
Është e rëndësishme të theksohet se interpolimi linear mund të mos jetë i përshtatshëm në rastet kur të dhënat shfaqin sjellje jolineare, siç janë kurbat ose lëkundjet. Në këto raste, metoda të tjera më komplekse të interpolimit mund të jenë më të përshtatshme.
Si të plotësohen në mënyrë efikase boshllëqet në një tabelë me vlera të ndërmjetme.
Interpolimi linear është një metodë e përdorur për të mbushur në mënyrë efikase boshllëqet në një tabelë me vlera të ndërmjetme. Kjo metodë konsiston në llogaritjen e vlerave që mungojnë bazuar në vlerat e njohura në tabelë, duke përdorur një formulë të thjeshtë.
Për të aplikuar interpolimin linear, ju nevojiten të paktën dy pika të njohura në tabelë. Nga këto pika, mund të llogaritni vlerat e ndërmjetme duke përdorur formulën e mëposhtme:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Ku Y është vlera e ndërmjetme që duam të gjejmë, Y1 dhe Y2 janë vlerat e njohura nga tabela, X1 dhe X2 janë vlerat përkatëse të X dhe X është vlera e X për të cilën duam të gjejmë vlerën e ndërmjetme Y.
Për ta ilustruar, le të zgjidhim një ushtrim praktik duke përdorur interpolimin linear. Supozojmë se kemi tabelën e mëposhtme:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Tani, le të përdorim formulën e interpolimit linear për të gjetur vlerën e Y kur X është e barabartë me 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
Prandaj, vlera e Y kur X është e barabartë me 2 është 5.
Siç mund ta shohim, interpolimi linear është një metodë e thjeshtë dhe efikase për të mbushur boshllëqet në një tabelë me vlera të ndërmjetme. Duke përdorur këtë teknikë, mund të marrim rezultate të sakta shpejt dhe lehtë.
Udhëzues praktik për kryerjen efikase të interpolimit kuadratik.
Për të kryer interpolimin kuadratik në mënyrë efikase, është e rëndësishme të ndiqni disa hapa të thjeshtë. Së pari, duhet të keni pikat e njohura që do të përdoren për interpolim. Pastaj, duhet të llogaritni koeficientët e funksionit kuadratik që kalon nëpër këto pika.
Për të llogaritur koeficientët e një funksioni kuadratik, mund të përdorim metodën e katrorëve më të vegjël. Kjo metodë konsiston në gjetjen e funksionit kuadratik që minimizon shumën e katrorëve të ndryshimeve midis vlerave të llogaritura dhe vlerave aktuale të pikave të njohura.
Pasi të jenë llogaritur koeficientët e funksionit kuadratik, mund ta përdorim atë për të interpoluar vlerat midis pikave të njohura. Për ta bërë këtë, thjesht futni vlerën e dëshiruar në funksionin kuadratik dhe merrni vlerën përkatëse të interpoluar.
Është e rëndësishme të theksohet se interpolimi kuadratik është më i saktë se interpolimi linear sepse merr parasysh lakimin e të dhënave. Megjithatë, është e rëndësishme të theksohet se interpolimi kuadratik mund të çojë në rezultate më pak të sakta në rajone larg pikave të njohura.
Prandaj, kur kryhet interpolimi kuadratik, është thelbësore të siguroheni që pikat e njohura të jenë të shpërndara në mënyrë të barabartë dhe që funksioni kuadratik të llogaritet saktë. Kjo lejon rezultate më të sakta dhe të besueshme të interpolimit.
Interpolimi linear: Metoda, Ushtrime të zgjidhura
Interpolimi linear është një metodë e nxjerrë nga interpolimi dhe përafrimi i përgjithshëm i Njutonit për të përcaktuar një vlerë të panjohur që ndodhet midis dy numrave; domethënë, gjendet një vlerë e ndërmjetme. Zbatohet gjithashtu në funksionet e përafërta ku dihen vlerat f (a) dhe f (b) dhe duhet të dihet vlera e ndërmjetme e f (x).
Ekzistojnë lloje të ndryshme të interpolimit, duke përfshirë interpolimin linear, kuadratik, kubik dhe të rendit të lartë, ku më i thjeshti është përafrimi linear. Kompromisi me interpolimin linear është se rezultati nuk do të jetë aq i saktë sa me përafrimet që përdorin funksione të rendit të lartë.
Definicioni i
Interpolimi linear është një proces që ju lejon të nxirrni një vlerë midis dy vlerave të përcaktuara mirë, të cilat mund të jenë në një tabelë ose në një grafik linear.
Për shembull, nëse e dini që 3 litra qumësht vlejnë 4 dollarë dhe 5 litra vlejnë 7 dollarë, por doni të dini se cila është vlera e 4 litrave qumësht, duhet të interpoloni për të gjetur atë vlerë të ndërmjetme.
Método
Për të vlerësuar një vlerë të ndërmjetme të një funksioni, funksioni f (x) përafrohet me anë të vijës r (x) , që do të thotë se funksioni ndryshon linearisht me "x" për një seksion "x = a" dhe "x = b"; domethënë, për një vlerë "x" në intervalin (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , vlera e "y" jepet nga vija midis pikave dhe shprehet me relacionin e mëposhtëm:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Që një interpolim të jetë linear, polinomi i interpolimit duhet të jetë i gradës një (n = 1) në mënyrë që të përshtatet me vlerat e x0 dhe x1.
Interpolimi linear bazohet në ngjashmërinë e trekëndëshave, në mënyrë që duke nxjerrë gjeometrikisht shprehjen e mëparshme, është e mundur të merret vlera e «y», e cila përfaqëson vlerën e panjohur për «x».
Prandaj, ju duhet të:
a = tan Ɵ = (këmba e kundërt 1 ÷ këmba ngjitur 1 ) = (këmba e kundërt 2 ÷ këmba ngjitur 2 )
E shprehur ndryshe, është:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Duke hequr "dhe" nga shprehjet, keni:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Kështu, merret ekuacioni i përgjithshëm për interpolimin linear:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Në përgjithësi, interpolimi linear jep një gabim të vogël në vlerën aktuale të funksionit të vërtetë, megjithëse gabimi është minimal krahasuar me numrin intuitiv të një numri afër atij të gjetur.
Ky gabim ndodh kur përpiqemi të përafrojmë vlerën e një kurbe me një vijë të drejtë; në raste të tilla, madhësia e intervalit duhet të zvogëlohet për ta bërë përafrimin më të saktë.
Për rezultatet më të mira të përafrimit, këshillohet të përdoren funksione të shkallës 2, 3 ose edhe më të larta për të kryer interpolimin. Për këto raste, teorema e Taylorit është një mjet shumë i dobishëm.
Ushtrime të zgjidhura
Ushtrimi 1
Numri i baktereve për njësi vëllimi në një inkubacion pas x orësh tregohet në tabelën e mëposhtme. Ju doni të dini vëllimin e baktereve gjatë periudhës 3,5-orëshe.
Zgjidhja
Tabela e referencës nuk përcakton një vlerë që tregon numrin e baktereve gjatë një periudhe prej 3,5 orësh, por ka vlera më të larta dhe më të ulëta që korrespondojnë me një periudhë prej 3 dhe 4 orësh, përkatësisht. Kështu:
x 0 = 3 dhe 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 dhe 1 = 135
Tani ekuacioni matematik zbatohet për të gjetur vlerën e interpoluar, e cila është si më poshtë:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Pastaj vlerat përkatëse zëvendësohen:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Kështu, merret se, për një periudhë prej 3,5 orësh, sasia e baktereve është 113, që përfaqëson një nivel të ndërmjetëm midis vëllimit të baktereve ekzistuese në kohë prej 3 dhe 4 orësh.
Ushtrimi 2
Luisi zotëron një fabrikë akulloresh dhe dëshiron të kryejë një studim për të përcaktuar të ardhurat e tij të gushtit bazuar në shpenzimet e tij. Administratori i kompanisë krijon një grafik që pasqyron këtë marrëdhënie, por Luisi dëshiron të dijë:
Cilat janë të ardhurat për gusht nëse është bërë një shpenzim prej 55.000 dollarësh?
Zgjidhja
Jepet një grafik që tregon shifrat e të ardhurave dhe shpenzimeve. Luisi dëshiron të dijë se cilat do të jenë të ardhurat e gushtit nëse fabrika ka një shpenzim prej 55.000 dollarësh. Kjo shifër nuk pasqyrohet drejtpërdrejt në grafik, por shifrat janë më të larta dhe më të ulëta se kaq.
Së pari, krijohet një tabelë për të lidhur lehtësisht vlerat:
Tani formula e interpolimit përdoret për të përcaktuar vlerën e y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Pastaj vlerat përkatëse zëvendësohen:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 dollarë.
Nëse në gusht është bërë një shpenzim prej 55.000 dollarësh, të ardhurat janë 68.936 dollarë.
Referencat
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algjebra dhe Trigonometria me Gjeometri Analitike. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Tema në Teorinë e Grupeve Gjeometrike. Shtëpia Botuese e Universitetit të Çikagos.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolim linear», Enciklopedia e Matematikës.
- JM (1998). Elemente të metodave numerike për inxhinieri. UASLP.
- E. (2002). Një kronologji e interpolimit: nga astronomia e lashtë te përpunimi modern i sinjaleve dhe imazheve. Procedurat e IEEE-së.
- numerike, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.