Који су аксиоми вероватноће? Потпуно објашњење.

Иницирање » Наука » Матх » Статистика » Који су аксиоми вероватноће? Потпуно објашњење.

Питање „који су аксиоми вероватноће?“ делује једноставно, али одговор води до веома чврсте математичке конструкције., која је почела да се ригорозно организује у 20. веку радом Андреја Колмогорова. Ови аксиоми су основа практично целе модерне теорије вероватноће, од проучавања игара на срећу до сложених статистичких модела који се користе у науци о подацима, финансијама и инжењерству.

пре него што Колмогоровљева формализацијаТада се вероватноћа схватала на интуитивнији начин, повезана са идејом учесталости или случајности.И различити математичари су користили различита тумачења. Данас, када говоримо о аксиомима вероватноће, мислимо на минимални скуп правила којима се свака функција вероватноће мора повиновати како бисмо могли да правимо кохерентне прорачуне, избегавамо контрадикције и конструишемо моћне теореме.

Основна интуиција: случајна искуства и догађаји

Да бисмо разумели аксиоме вероватноће, први корак је да знамо шта је случајни експеримент и шта називамо догађајем.Случајни експеримент је сваки поступак чији се исход не може са сигурношћу предвидети, чак и ако знамо све могуће резултате; класични примери су бацање новчића или коцкице.

Простор узорка, обично означен са Ω, називамо скупом свих могућих исхода овог експеримента.Ако, на пример, бацамо новчић, простор узорка може се записати као Ω = {H, T}, где H представља „главу“, а T представља „реп“. Сваки елемент Ω назива се елементарни исход.

Догађај је било који подскуп од Ω који нас занима да посматрамо.Дакле, ако је експеримент бацање новчића, скуп {H} је догађај „падне глава“, скуп {T} је догађај „падне реп“, а сам Ω је догађај „падне глава или реп“, односно одређени догађај.

Неки догађаји су посебно важни: немогућ догађај, елементарни догађај и извесни догађај.Празан скуп ∅ представља немогућ догађај, јер не садржи исход; скуп са једним елементом {ω}, где је ω у Ω, представља елементарни догађај; а сам Ω је сигуран догађај, онај који се увек дешава када се експеримент изводи.

Језик теорије скупова је веома користан у проучавању вероватноће.Ако су А и Б догађаји, онда А ∩ Б представља истовремено појављивање А и Б, А ∪ Б представља појављивање барем једног од њих, и Комплемент слова А, често записано као ̄A или Ω \ A, представља „непојављивање A“. Ова нотација и својства скупова биће директно коришћени у формулисању аксиома.

Тумачења концепта вероватноће

Иако Колмогоровљеве аксиоме пружају математичку основу за вероватноћу, сама реч „вероватноћа“ може се тумачити на различите начине.Историјски гледано, појавила су се различита тумачења о томе шта значи доделити број P(A) догађају A.

У класичној интерпретацији Лапласа, важећој за коначне просторе са једнако вероватним исходима, вероватноћа А је однос између броја повољних случајева и броја могућих случајева.Ако простор узорка има n једнако вероватних исхода (то јест, #Ω = n) и догађај А садржи n_A ових исхода (#A = n_A), онда је вероватноћа дата са P(A) = n_A / n. Ова формула је прилично интуитивна када сви исходи имају исту шансу да се догоде.

Већ фреквентистичко тумачење Повезује вероватноћу са релативном учесталошћу која се примећује у понављањима експеримента.Са ове тачке гледишта, понављамо случајни експеримент n пута и бројимо колико пута се догађај А дешава, називајући тај број n_A; затим посматрамо границу, како n расте, разломка n_A / n. Вероватноћа А би била P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), под условом да ова граница постоји.

Постоји и субјективна интерпретација, која се широко користи у Бајесовој статистици, у којој је вероватноћа повезана са степеном веровања рационалног субјекта.У овом приступу, P(A) квантификује колико је неко уверен у појаву догађаја A, узимајући у обзир расположиво знање. Није искуство то које „носи“ вероватноћу, већ субјект који кохерентно процењује неизвесност.

Упркос овим различитим тумачењима, сва она могу коегзистирати унутар истог аксиоматског оквира Колмогорова.Другим речима, без обзира да ли преферирате класично, фреквентистичко или субјективно гледиште, вероватноћа ће на крају бити математички моделирана функцијом P која се покорава малом скупу аксиома о простору догађаја.

Формална конструкција: простори вероватноће и σ-алгебре

Колмогоров је описао вероватноћу у смислу тројке (Ω, F, P), назване простор вероватноће.У овој тројци, Ω је простор узорка, F је скуп могућих догађаја (технички, σ-алгебра подскупова од Ω), а P је функција вероватноће.

σ-алгебра F је специјална колекција подскупова од Ω која задовољава нека својства.Генерално говорећи, F треба да садржи празан скуп, да буде затворен за комплемент (ако је A у F, онда је и његов комплемент у F) и да буде затворен за пребројиве уније (ако су A₁, A₂, ... у F, онда је и унија свих њих у F). Ова структура осигурава да можемо да радимо са операцијама над скуповима без напуштања универзума догађаја који имају добро дефинисану вероватноћу.

Формално, F је σ-алгебра над Ω када: Празан скуп ∅ припада F; ако је A у F, онда комплемент A у Ω такође припада F; и ако је A₁, A₂, … (коначан или пребројиво бесконачан) низ елемената F, онда је унија A₁ ​​∪ A₂ ∪ … такође у F. У многим контекстима, F се назива и Борелово поље или σ-поље.

Функција вероватноће P је дефинисана на F и сваком догађају E у F додељује ненегативан реални број.Тада кажемо да је P(E) у ℝ и P(E) ≥ 0 за све E у F. У општој теорији мере, мере могу попримити бесконачне вредности, али у стандардној теорији вероватноће, P(E) је увек коначна, што доноси неке разлике у односу на општије мере.

Ова структура (Ω, F, P) са P(Ω) = 1 је оно што називамо простором вероватноће.Услов P(Ω) = 1 је суштински јер представља идеју да се, приликом извођења експеримента, неки резултат у Ω сигурно јавља; нема „скривених резултата“ ван простора узорка.

Колмогоровљеве три аксиоме

Колмогоровљева аксиоматска теорија заснива се на три фундаментална аксиома које свака функција вероватноће мора да задовољи.Једноставни су за навођење, али изузетно моћни, јер су практично сва уобичајена својства вероватноће изведена из њих.

Прва аксиома — Ненегативност: За било који догађај А који припада σ-алгебри F, имамо P(A) ≥ 0. То јест, вероватноће никада нису негативне. У неким егзотичнијим теоријама, говори се о „негативним вероватноћама“, али ове идеје одступају од Колмогоровљевог класичног оквира.

Друга аксиома — Нормализација: Вероватноћа да ће се одређени догађај догодити једнака је 1, односно P(Ω) = 1. Ова аксиома успоставља конвенцију да 1 одговара 100% сигурности, а 0 одговара немогућности. У елементарнијим верзијама, ова аксиома се такође може схватити као да каже да је збир вероватноћа свих елементарних исхода Ω једнак 1.

Трећа аксиома — σ-адитивност: Ако је A₁, A₂, … низ парно дисјунктних (такође названих међусобно искључивих) догађаја, онда је P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Ово важи и за коначан и за пребројиво бесконачан скуп догађаја. Ово својство пребројиве адитивности је главна разлика у поређењу са пуком коначном адитивношћу.

У једноставнијим контекстима, неки аутори раде само са коначном адитивношћу., захтевајући да је P(A ∪ B) = P(A) + P(B) за дисјунктне догађаје A и B, и да се ово протеже на коначан број скупова. У овом случају, довољно је радити са алгебром скупова, не нужно σ-алгебром, али стандардни приступ у модерној вероватноћи је захтев σ-адитивности.

Управо из ове треће аксиоме произилази неколико важних последица, као што су једнакости, неједнакости и закони вероватноће.Он је такође у сржи везе између вероватноће и теорије мере, која проучава мере у скуповима на прилично општи начин.

Својства изведена из аксиома

На основу три аксиоме Колмогорова, успели смо да докажемо неколико основних и изузетно корисних својстава.Ова својства се не претпостављају унапред: она су логичке последице аксиома.

Једно од првих својстава је монотоност вероватноће.Ако су A и B догађаји у F и A је садржан у B (A ⊆ B), онда је P(A) ≤ P(B). Идеја је интуитивна: ако B обухвата све што се може догодити у A, а можда и више, онда B не може имати мању вероватноћу од A.

Још једно фундаментално својство је да је вероватноћа немогућег догађаја једнака нули.Са формалне тачке гледишта, користећи σ-адитивност, разматрамо низ где је E₁ = A, E₂ = B \ A и Eᵢ = ∅ за i ≥ 3, у сценарију где је A ⊆ B. Пошто су Eᵢ дисјунктни и њихова унија је B, збир вероватноћа мора конвергирати ка P(B). Ако претпоставимо да је P(∅) = a > 0, онда би збир P(∅) бесконачно много пута експлодирао у бесконачност, што је некомпатибилно са коначним P(B). Стога закључујемо да је P(∅) = 0.

Стога, можемо навести неједнакост 0 ≤ P(E) ≤ 1 за било који догађај E у F.Већ смо знали да је P(E) ≥ 0 из прве аксиоме. Знајући да је P(Ω) = 1 и користећи монотоност са E ⊆ Ω, следи да је P(E) ≤ P(Ω) = 1. Дакле, свака вероватноћа је увек између 0 и 1, укључујући и те бројеве.

Уобичајено коришћени идентитет је такозвани адитивни закон за било која два догађаја.За догађаје A и B у F, важи да је P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Ова формула исправља „двоструко бројање“ заједничког догађаја A ∩ B, који се сабира два пута ако саберемо P(A) и P(B) без подешавања.

Још једна важна последица је однос између догађаја и његовог комплемента.Ако означимо комплемент од A са ̄A, онда је P(̄A) = 1 − P(A). Ова једнакост преноси идеју да се „или A дешава или A не дешава“, и да не постоји друга могућност унутар Ω.

Из овога такође постаје јасно да P(A) = 0 не мора нужно имплицирати да је A немогућ догађај.Математички речено, могуће је да догађај има нулту вероватноћу, а да није празан скуп (ово се појављује, на пример, у континуираним просторима), али на најелементарнијем нивоу, P(A) = 0 се обично повезује са практично немогућим догађајима.

Практичан пример: бацање новчића

Класичан и веома дидактички пример за визуелизацију Колмогоровљевих аксиома је бацање новчића.Претпоставимо, за почетак, да новчић може пасти само на „главу“ (Х) или „реп“ (Т), и да су то једини могући исходи.

Затим дефинишемо простор узорка као Ω = {H, T}Могући догађаји формирају σ-алгебру F састављену од {∅, {H}, {T}, {H, T}}. У овом контексту, немогућ догађај је ∅, елементарни догађаји су {H} и {T}, а сигуран догађај је {H, T}.

Из Колмогоровљевих аксиома знамо да је P(∅) = 0 и P(Ω) = 1Ако претпоставимо да је новчић фер, односно да не фаворизује ниједну страну, онда симетрија сугерише да је P({H}) = P({T}). Пошто збир P({H}) + P({T}) мора бити једнак 1, закључујемо да оба вреде 1/2.

Стога је вероватноћа добијања „главе или репа“ P({H, T}) = 1Вероватноћа добијања „главе“ је P({H}) = 1/2, а вероватноћа добијања „репа“ је P({T}) = 1/2. Збир вероватноћа елементарних догађаја исцрпљује укупну вероватноћу простора.

Овај модел, иако једноставан, илуструје како се аксиоми понашају у пракси и како спречавају недоследности у прорачунима вероватноће.Ако пажљиво не дефинишемо простор узорка, можемо направити озбиљне грешке, јер је сваки догађај увек подскуп од Ω; ако се подскуп не уклапа у Ω, његова вероватноћа није ни дефинисана.

Вероватноћа у коначним и пребројивим просторима

Када је простор узорка коначан или пребројив, вероватноћа се може описати на веома конкретан начин.Претпоставимо да је Ω = {ω₁, ω₂, …} коначан или пребројив скуп могућих исхода.

Ако је А догађај који садржи неке од ових резултата, као што је A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Стога, вероватноћа догађаја А може се посматрати као збир вероватноћа одговарајућих елементарних догађаја: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Ово је директна примена адитивности (или σ-адитивности) на дисјунктним скуповима.

У конкретном случају где је простор узорка коначан, са #Ω = n, и сви исходи су једнаковероватниИмамо P({ωᵢ}) = 1/n за свако i. Ако A садржи k различитих исхода у Ω, онда је P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Ово је управо класична Лапласова формула реинтерпретирана унутар модерног аксиоматског оквира.

Када је простор узорка пребројиво бесконачан, збир вероватноћа елементарних догађаја и даље мора да конвергира ка 1.То јест, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Овде σ-адитивност показује своју снагу, омогућавајући нам да се бавимо не само коначним збировима, већ и бесконачним низовима догађаја.

Условна вероватноћа и улога аксиома.

Централни аспект теорије је разумевање како се вероватноћа мења када знамо да се одређени догађај већ догодио.Ту долази до изражаја условна вероватноћа, која се обично пише као P(A | B), што значи „вероватноћа да се А догодило с обзиром на то да се Б догодило“.

Основна формула за условну вероватноћу је P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), под условом да је P(B) > 0Ова дефиниција је у складу са Колмогоровљевим аксиомима и, заправо, за свако B са P(B) > 0, функција A ↦ P(A | B) поново задовољава три аксиома када ограничимо простор догађаја на B.

То значи да је P(· | B) сама по себи функција вероватноће над „новим“ простором узорка B.Као последица тога, сва основна својства важе за условне вероватноће: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, условна монотоност (ако је A₁ ⊆ A₂, онда је P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) и формула P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Дефиниција условне вероватноће такође доводи до важне везе P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), када је P(A) > 0.Симетрично, можемо написати P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), под условом да је P(B) > 0. Ове једначине помажу у разлагању заједничких вероватноћа и основа су за неколико резултата, као што је Бајесова теорема.

Занимљиво је напоменути да се „безусловна“ вероватноћа може посматрати као посебан случај условне вероватноће.Заиста, можемо написати P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), пошто је P(Ω) = 1. Ово појачава идеју да је, концептуално, свака вероватноћа условљена неким позадинским информацијама, чак и ако је то само знање да радимо унутар Ω.

Независност догађаја

Још један кључни концепт који се ослања на аксиоме јесте концепт независности догађаја.Два догађаја А и Б су независна ако појављивање једног не мења вероватноћу другог.

У формалном језику, A и B су независни када је P(A ∩ B) = P(A) P(B)У смислу условне вероватноће, ово имплицира да ако је P(B) > 0, онда је P(A | B) = P(A), а ако је P(A) > 0, онда је P(B | A) = P(B). То јест, сазнање да се догодило B не мења вероватноћу A, и обрнуто.

Сваки догађај је независан од немогућег догађаја ∅ и извесног догађаја Ω.За празан скуп, P(A ∩ ∅) = 0 и P(∅) = 0, тако да релација тривијално важи. За одређени догађај, P(A ∩ Ω) = P(A) и P(Ω) = 1, стога је P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).

Често постављано питање је да ли два дисјунктна догађаја могу бити независна.Генерално, ако су A и B дисјунктни и оба имају позитивну вероватноћу, онда је P(A ∩ B) = 0, али P(A) P(B) > 0, што крши дефиницију независности. Дакле, у многим случајевима, два дисјунктна догађаја са вероватноћом различитом од нуле нису независна, јер појава једног искључује могућност другог.

Када се ради о више од два догађаја, јавља се неколико различитих појмова независности.Можемо имати парну независност, заједничку независност и друге типове. У свим овим случајевима, међутим, полазна тачка остаје релација P(A ∩ B) = P(A) P(B), заснована на Колмогоровљевим аксиомима и дефиницији условне вероватноће.

Практична правила и класични закони вероватноће

Поред својих формалних својстава, аксиоми омогућавају формулисање оперативнијих закона, корисних у свакодневном раду оних који врше прорачуне вероватноће.Један од њих је такозвани закон сабирања, већ поменут у облику P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), који се може проширити на већи број догађаја путем принципа укључивања-искључивања.

Још једно често коришћено правило је однос између догађаја и његовог „спољашњег“ дела другог догађаја.За A и B у F, важи следеће: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Ово је једноставно разлагање A на два дела: део који се јавља заједно са B (A ∩ B) и део који се јавља без B (A ∩ ̄B). Ова два дела су дисјунктна, а њихова унија је A, што доводи до претходне једнакости адитивним путем.

Закон тоталне вероватноће и Бајесова теорема, иако овде нису у потпуности детаљно објашњени, такође се директно ослањају на аксиоме.Закон тоталне вероватноће комбинује условне вероватноће у партицију простора узорка, док Бајесова теорема „инвертује“ условне изразе, омогућавајући ажурирање вероватноћа на основу нових доказа.

У дидактичкијим верзијама, наведене су и неке лако запамтљиве „практичне аксиоме“.На пример: максимална вероватноћа је 1 (100%); збир вероватноћа свих елемената у простору узорка је једнак 1; а вероватноћа догађаја X додата вероватноћи „није X“ је увек 1. Ове изјаве су директан одраз формалних аксиома.

Са овим скупом закона, постаје могуће решавати проблеме који се крећу од једноставних игара на срећу до софистицираних модела са много варијабли.Велика предност је у томе што, иза свих формула и рачунских трикова, логички ослонац остаје исти аксиоматски троножац.

Колмогоровљеве аксиоме вероватноће пружају ригорозну, али флексибилну основу за поступање са неизвесношћу.На основу три једноставна принципа – ненегативности, нормализације и σ-адитивности – конструисана је читава богата теорија, способна да укључи класичне, фреквентистичке и субјективне интерпретације, да обрађује коначне или бесконачне просторе, да описује условне вероватноће и независност и да подржи примене у готово свим научним и технолошким областима.