Дискретне расподеле вероватноће су математички модели који описују појаву догађаја са дискретним, коначним вредностима. Ове расподеле карактеришу њихова својства, као што су збир вероватноћа свих могућих исхода једнак 1 и присуство параметра који одређује облик расподеле. У овом чланку ћемо истражити карактеристике најчешћих дискретних расподела вероватноће, као што су Бернулијева расподела, биномна расподела, Поасонова расподела и геометријска расподела, као и представити неке практичне вежбе за боље разумевање ових концепата.
Разумевање концепта дискретне расподеле вероватноће: једноставно и јасно објашњење.
Да бисмо разумели концепт дискретне расподеле вероватноће, важно је схватити да је то математичка функција која повезује вероватноћу са сваким могућим исходом случајног експеримента. Другим речима, дискретна расподела вероватноће нам омогућава да одредимо шансу да се сваки исход догоди у коначном или набројивом скупу могућности.
Дискретна расподела вероватноће карактерише се својом функцијом вероватноће, која сваком исходу додељује ненегативну вредност, при чему је збир свих вероватноћа једнак 1. Штавише, могући исходи су различити и изоловани, без могућности појаве међувредности.
Класичан пример дискретне расподеле вероватноће је Поасонова расподела, која се широко користи у процесима бројања, као што је број догађаја који се дешавају у датом временском периоду. Још један уобичајени пример је биномна расподела, која моделира експерименте са само два могућа исхода, као што су успех или неуспех.
Да би се применила теорија дискретних расподела вероватноће, неопходно је разумети њихова специфична својства и карактеристике, као и бити у стању да се израчунају вероватноће и интерпретирају резултати. Практичне вежбе су неопходне за продубљивање разумевања и развој вештина у овој области вероватноће.
Сазнајте више о главним дискретним расподелама које се користе у статистици и вероватноћи.
Сазнајте више о главним дискретним расподелама које се користе у статистици и вероватноћи. Дискретне расподеле вероватноће су важни алати у статистичкој анализи, омогућавајући моделирање и предвиђање случајних догађаја. Међу главним дискретним расподелама су Бернулијева расподела, биномна расподела, геометријска расподела, Поасонова расподела и хипергеометријска расподела.
A Бернулијева расподела се користи за моделирање експеримената са само два могућа исхода, као што су успех и неуспех. биномна дистрибуција Примењује се у ситуацијама где постоји фиксни број независних покушаја, са само два могућа исхода у сваком покушају, као што су успех и неуспех.
A геометријска расподела се користи за моделирање броја покушаја до првог успеха у низу независних експеримената. Поасонова расподела се користи за моделирање појаве ретких догађаја у одређеном временском или просторном интервалу.
Коначно, хипергеометријска расподела Користи се за моделирање експеримената у којима постоји селекција без замене елемената из коначне популације, са интересовањем за број успеха у одређеном узорку.
Да бисте боље разумели ове дискретне расподеле и како их применити, важно је вежбати кроз вежбе. Решавање проблема који укључују ове расподеле може помоћи у учвршћивању знања и усавршавању статистичких и вероватноћних вештина.
Стога је, приликом проучавања статистике и вероватноће, неопходно познавати карактеристике и примене главних дискретних расподела, као што су Бернулијева расподела, биномна расподела, геометријска расподела, Поасонова расподела и хипергеометријска расподела.
Врсте расподела вероватноће: сазнајте више о различитим облицима статистичких расподела.
Расподеле вероватноће су математички модели који описују случајно понашање феномена. Постоје различите врсте расподела вероватноће, свака са својим карактеристикама и применама. У овом чланку ћемо се фокусирати на дискретне расподеле вероватноће, које су повезане са дискретним променљивим – онима које могу да претпоставе специфичне, пребројиве вредности.
Неке од најчешћих дискретних расподела вероватноће укључују униформну расподелу, биномну расподелу, Поасонову расподелу и геометријску расподелу. Свака од ових расподела има своја својства и користи се у различитим статистичким контекстима.
На пример, равномерна расподела карактерише се додељивањем исте вероватноће свим могућим вредностима дискретне променљиве. Биномна расподела се користи за моделирање броја успеха у низу независних покушаја, сваки са истом вероватноћом успеха. Поасонова расподела се, заузврат, користи за моделирање броја ретких догађаја у временском или просторном интервалу. А геометријска расподела се користи за моделирање броја покушаја потребних до првог успеха у низу независних покушаја.
Да бисмо боље разумели како ове расподеле функционишу, важно је вежбати. На пример, можемо израчунати вероватноћу да добијемо тачно 3 главе у 5 бацања једног поштеног новчића користећи биномну расподелу. Или можемо одредити вероватноћу да се најмање 2 догађаја догоде у одређеном временском интервалу користећи Поасонову расподелу.
Разумевањем карактеристика и примена ових дистрибуција, стручњаци за статистику и сродне науке могу доносити информисаније и тачније одлуке на основу вероватносних података.
Које променљиве се сматрају дискретним у вероватноћи?
У вероватноћи, дискретне променљиве су оне које могу да преузму коначан или пребројив број вредности. То значи да су дискретне променљиве оне које се могу пребројати, обично представљене целим бројевима. На пример, број аутомобила на паркингу, број ученика у учионици и број страна на коцкици су све примери дискретних променљивих.
Ове променљиве се разликују од континуираних променљивих, које могу претпоставити бесконачан број вредности унутар одређеног опсега. Док дискретне променљиве имају специфичне, дискретне вредности, континуиране променљиве могу претпоставити било коју вредност унутар континуираног опсега. На пример, висина особе, време потребно за завршетак задатка и температура собе су примери континуираних променљивих.
Стога, дискретне променљиве у вероватноћи су оне које се могу пребројати и које попримају специфичне, одвојене вредности, за разлику од континуираних променљивих које могу попримити било коју вредност унутар опсега.
Дискретне расподеле вероватноће: карактеристике, вежбе
As дискретне расподеле вероватноће су функција која сваком елементу X(S) = {x1, x2, …, xi, …}, где је X дата дискретна случајна променљива, а S је простор узорковања, придружује вероватноћу да се тај догађај деси. Ова функција f од X(S), дефинисана као f(xi) = P(X = xi), понекад се назива масовна функција вероватноће.
Ова маса вероватноће се обично представља у облику табеле. Пошто је X дискретна случајна променљива, X(S) има или коначан или бесконачан број догађаја. Међу најчешћим дискретним расподелама вероватноће су равномерна расподела, биномна расподела и Поасонова расподела.
царацтеристицас
Функција расподеле вероватноће мора да испуњава следеће услове:
Штавише, ако X узима само коначан број вредности (нпр., x1, x2, …, xn), онда је p(xi) = 0 ако је i > n и, стога, бесконачни низ услова b постаје коначан низ
Ова функција такође задовољава следећа својства:
Нека је B догађај повезан са случајном променљивом X. То значи да је B садржано у X(S). Конкретно, претпоставимо да је B = {xi1, xi2,…}. Стога:
Другим речима: вероватноћа догађаја Б једнака је збиру вероватноћа појединачних исхода повезаних са Б.
Из овога можемо закључити да ако
Типови
Равномерна расподела у n тачкама
За случајну променљиву X се каже да прати расподелу која је окарактерисана тиме што је униформна у n тачака ако свакој вредности је додељена иста вероватноћа. Њена функција масе вероватноће је:
Претпоставимо да имамо експеримент са два могућа исхода: то може бити бацање новчића чији су могући исходи глава или реп, или избор целог броја чији исход може бити паран или непаран број; Ова врста експеримента је позната као Бернулијев тест.
Генерално, два могућа исхода се називају успех и неуспех, где је p вероватноћа успеха, а 1-p вероватноћа неуспеха. Можемо одредити вероватноћу x успеха у n независних Бернулијевих покушаја помоћу следеће расподеле.
Биномна дистрибуција
Ова функција представља вероватноћу постизања x успеха у n независних Бернулијевих покушаја, чија је вероватноћа успеха p. Њена функција масе вероватноће је:
Следећи графикон представља функцију масе вероватноће за различите вредности параметара биномне расподеле.
Следећа расподела дугује своје име француском математичару Симеону Поасону (1781-1840), који ју је добио као границу биномне расподеле.
Поасонова расподела
За случајну променљиву X се каже да има Поасонову расподелу параметра λ када може да добије позитивне целобројне вредности 0,1,2,3, ... са следећом вероватноћом:
У овом изразу, λ је просечан број појављивања догађаја за сваку јединицу времена, а x је број пута колико се догађај појављује.
Његова функција вероватноће масе је:
Испод је графикон који представља функцију вероватноће масе за различите вредности параметара Поасонове расподеле.
Треба напоменути да све док је број успеха мали, а број тестова извршених на биномној расподели велики, увек можемо апроксимирати ове расподеле, јер је Поасонова расподела граница биномне расподеле.
Главна разлика између ове две дистрибуције је у томе што, док бином зависи од два параметра – nep –, Поасонова дистрибуција зависи само од λ, што се понекад назива интензитет дистрибуције.
До сада смо говорили само о расподелама вероватноће за случајеве где су различити експерименти независни један од другог; то јест, када исход једног није под утицајем исхода другог.
Када експерименти нису независни, хипергеометријска расподела је веома корисна.
Хипергеометријска расподела
Нека је N укупан број објеката у коначном скупу, од којих можемо на неки начин идентификовати k, формирајући подскуп K, чији комплемент формирају преостали Nk елементи.
Ако насумично изаберемо n објеката, случајна променљива X која представља број објеката који припадају K у том избору имаће хипергеометријску расподелу параметара N, n и k. Њена функција вероватноће масе је:
Следећи графикон представља функцију вероватноће масе за различите вредности параметара хипергеометријске расподеле.
Решене вежбе
Прва вежба
Претпоставимо да је вероватноћа да ће радио-цев (смештена у одређеној врсти опреме) радити дуже од 500 сати једнака 0,2. Ако се тестира 20 цеви, колика је вероватноћа да ће тачно k од њих радити дуже од 500 сати, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Решење
Ако је X број цеви које раде дуже од 500 сати, претпоставићемо да X има биномну расподелу. Тада
И тако:
За k ≥ 11, шансе су мање од 0,001
Дакле, можемо посматрати како се вероватноћа да k од њих ради више од 500 сати повећава, док не достигне своју максималну вредност (са k = 4), а затим почиње да опада.
2. вежба
Новчић се баца 6 пута. Када резултат падне глава, то називамо успехом. Колика је вероватноћа да падну тачно две главе?
Решење
За овај случај, имамо n = 6 и вероватноћа успеха и неуспеха је p = q = 1/2
Стога је вероватноћа да су дата два лица (тј. k = 2)
Трећа вежба
Колика је вероватноћа да се пронађу најмање четири лица?
Решење
За овај случај, имамо k = 4, 5 или 6
Трећа вежба
Претпоставимо да је 2% артикала произведених у фабрици неисправно. Израчунајте вероватноћу P да постоје три неисправна артикла у узорку од 100 артикала.
Решење
За овај случај, можемо применити биномну расподелу за n = 100 и p = 0,02, добијајући као резултат:
Међутим, пошто је p мало, користимо Поасонову апроксимацију са λ = np = 2. Дакле
Референце
- Кај Лај Чунг: Елементарна теорија вероватноће са стохастичким процесима. Springer-Verlag New York Inc.
- Кенет. Х. Розен – Дискретна математика и њене примене. Семкгроу-Хил / Интерамерикано де Шпанија.
- Пол Л. Мејер Вероватноћа и статистичке примене. СА АЛХАМБРА МЕКСИКАНА.
- Сејмур Липшуц, доктор наука, 2000. Решени проблеми из дискретне математике, McGraw-HILL
- Сејмур Липшуц, доктор наука, Проблеми у теорији и вероватноћи, McGraw-HILL