Уписани угао круга је угао чије се теме налази на кругу, а чије су странице тетиве круга. Ови углови имају занимљива својства која се могу истражити кроз разне теореме.
Неке од најважнијих теорема везаних за уписане углове укључују теорему о уписаном углу, која каже да је уписани угао у кругу једнак половини одговарајућег централног угла, и теорему о тангенти, која каже да је уписани угао који сече исти лук као и тетива једнак углу који формирају тетива и тангента на круг у тачки пресека.
Ради бољег разумевања, анализирајмо неке практичне примере примене ових теорема у геометријским проблемима који укључују углове уписане у кругове.
Који су различити углови формирани у кругу?
У кругу се може формирати неколико углова. Један од најважнијих углова је уписани угаоУписани угао је онај чије се теме налази на кругу, а чије странице секу круг у две различите тачке. Овај угао је половина лука који пресеца.
Постоји неколико теорема везаних за уписане углове у кругу. Једна од најважнијих је Теорема о уписаном углу, која каже да је уписани угао у кругу једнак половини дужине лука који сече. Ова теорема је веома корисна за решавање проблема који укључују уписане углове у кругу.
Да бисмо ово даље илустровали, погледајмо пример: ако лук у кругу мери 120 степени, онда ће одговарајући уписани угао бити 60 степени. То је зато што је уписани угао увек половина лука који пресеца.
Разумевањем теореме о уписаном углу и вежбањем са примерима, можете лако решавати проблеме који укључују углове уписане у круг.
Откријте формулу за израчунавање угла уписаног у круг.
Уписани угао у кругу је дефинисан као угао који формирају два зрака која полазе из центра круга и секу га у две различите тачке. Да бисмо израчунали уписани угао у кругу, користимо формулу:
Уписани угао = 2 * Централни угао
Где је централни угао угао који формирају два зрака који полазе из центра круга и секу га у две различите тачке. Ова теорема је фундаментална за решавање проблема везаних за кругове, као што је проналажење углова у геометријским фигурама или у тригонометријским проблемима.
На пример, ако централни угао круга мери 60 степени, онда ће уписани угао бити:
Уписани угао = 2 * 60 = 120 степени
Дакле, лако можемо израчунати уписани угао у кругу из централног угла. Ова формула је корисна у разним математичким и геометријским применама, олакшавајући израчунавање углова у круговима.
Познавање 5 основних елемената за потпуни опис обима.
Да бисте потпуно описали круг, потребно је да знате пет основних елемената који га карактеришу. Ови елементи су полупречник, пречник, центар, тетива и уписани угао.
O зрак је растојање од центра круга до било које тачке на његовом обиму. пречник је два пута већи од полупречника и пролази кроз центар круга. центар је централна тачка обима, одакле почињу сва мерења. конопац је дуж праве линије која спаја две тачке на кружници. И уписани угао је угао који формирају два лука круга који имају теме на кругу.
Уписани угао круга је мера угла који формирају два лука која имају теме на кругу. Ова врста угла се широко користи у геометрији и тригонометрији, јер је повезана са неколико својстава кругова.
Постоји неколико теорема које се односе на уписани угао у кругу. Једна од најпознатијих је теорема о уписаном углу, која каже да је мера угла уписаног у круг једнака половини мере одговарајућег лука.
На пример, ако лук круга мери 120 степени, онда ће одговарајући уписани угао бити 60 степени. Ова теорема је веома корисна за решавање проблема који укључују углове уписане у кругове.
Стога је познавање пет основних елемената за потпуни опис круга, укључујући и уписани угао, фундаментално за разумевање и решавање геометријских задатака који укључују кругове.
Однос између уписаног угла и централног угла у кругу: каква је веза?
Уписани углови круга су директно повезани са централним угловима који деле исти одговарајући лук. Овај однос је фундаменталан за разумевање геометрије круга и регулисан је неколико важних теорема.
Um уписани угао је она чији је теме на кружници, а чије су странице тетиве исте. централни угао је онај који има теме у центру круга и чије су странице исти полупречници. Веза између ове две врсте углова је због чињенице да је централни угао два пута већи од уписаног угла који има исти одговарајући лук.
Ова веза се може формализовати помоћу неколико теорема, као што су Теорема о уписаном углу и Теорема о централном углуПрва теорема каже да је уписани угао у кругу једнак половини централног угла који има исти одговарајући лук. Друга теорема каже да је збир уписаног угла и централног угла који имају исти одговарајући лук увек једнак 180 степени.
Да бисмо илустровали ову везу, можемо размотрити једноставан пример: ако имамо уписани угао од 60 степени у кругу, одговарајући централни угао ће бити 120 степени. То је зато што је централни угао два пута већи од уписаног угла.
Ова веза нам омогућава да утврдимо важна својства и теореме које олакшавају решавање проблема који укључују кругове и углове.
Уписани угао круга: дефиниција, теореме, примери
O уписани угао круга је онај чије је теме у кругу, а полупречници су му секанти или тангентни. Као последица тога, уписани угао ће увек бити конвексан или раван.
Слика 1 приказује неколико углова уписаних у њихове одговарајуће кругове. Угао ∠EDF је уписан са теменом D у круг, а његова два зрака [DE) и [DF) су секаста са кругом.
Слично томе, угао GHGI је уписан, јер му је теме у кругу, а странице секанс.
Углови JKJR и ∠UST су такође уписани у круг. Први од њих има једну секанту, а другу тангенту, док други има обе странице тангентне на круг, формирајући угао уписан у равни (180º).
Неки аутори називају полууписани угао једном од страница тангентних на круг, али у овом чланку се сматра уписаним.
Сваки уписани угао дефинише или подупире лук који је са њим повезан. На пример, на слици 2, уписани угао ∠ABC подупире лук A⌒C дужине d.
Иста слика приказује угао EDOE, који није уписан у круг јер нема теме на кругу, већ у центру O.
Централни угао
Поред уписаног угла, централни угао може се дефинисати у кругу, што је угао чије је теме у центру круга и чије странице секу круг.
Радијанска мера централног угла је количник између лука који га спаја, односно лука круга између страница угла и полупречника круга.
Ако је обим јединица (полупречник 1), дужина лука у истим јединицама полупречника је мера угла у радијанима.
А када је потребно мерење угла у степенима, онда се мерење радијана множи фактором 180º / π.
Инструменти за мерење углова увек користе централни угао, а дужина лука који он обухвата калибрише се директно у степенима. То значи да кад год се мери угао, оно што се мери на дну је дужина лука који обухвата централни угао.
Теореме
– Теорема 1 (уписани угао и централни угао)
Мера уписаног угла је половина мере централног угла ако оба угла оптерећују исти лук. .
На слици 4 су приказана два угла ∠ABC и ∠AOC, који секу исти лук круга A⌒C.
Ако је мера уписаног угла α, онда је мера β централног угла два пута већа од мере уписаног угла (β = 2α) јер оба обухватају исти лук мере d.
Демонстрација 1а
Да бисмо доказали Теорему 1, почећемо са приказивањем неколико посебних случајева, док не дођемо до општег случаја.
Претпоставимо уписани угао, код кога једна од његових страница пролази кроз центар круга, као што је приказано на слици 5.
У овом случају, формира се једнакокраки троугао COB, пошто је [OC] = [OB].
У једнакокраком троуглу, углови поред основе су једнаки; стога имамо да је ∠BCO = ∠ABC = α. С друге стране, BCOB = 180º – β.
Узимајући у обзир збир унутрашњих углова троугла COB, имамо:
α + α + (180º – β) = 180º
Из чега следи да је 2α = β, или што је еквивалентно: α = β / 2. Ово се поклапа са оним што Теорема 1 каже: мера уписаног угла је половина централног угла, ако оба угла подупиру исту тетиву [AC].
Демонстрација 1б
У овом случају имамо уписани угао ∠ABC, у коме је центар O круга унутар угла.
Да бисмо доказали Теорему 1 у овом случају, нацртаћемо помоћни зрак [BO], тако да имамо два уписана угла ∠ABO и ∠OBC поред поменутог зрака.
Слично томе, постоје централни углови p 1 е β 2 поред тог зрака. Дакле, имамо исту ситуацију као што је приказано у 1а, па се може рећи да је α 2 = β 2 /2 и кт 1 = β 1 /2. Пошто је α = α 1 + α 2 и β = β 1 + β 2 стога, α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2
Закључно, α = β / 2, што је у складу са Теоремом 1.
– Теорема 2
Ако два или више уписаних углова представљају исти лук, они имају исту меру.
– Теорема 3
Уписани углови који подупиру нити исте мере су једнаки .
Примери
– Пример 1
Покажите да је уписани угао који подупире пречник прав угао.
Решење
Централни угао ∠AOB повезан са пречником је равански угао, чија је мера 180º.
Према теореми 1, сваки угао уписан у обим који затвара исти кабл (у овом случају, пречник), има за меру половину централног угла који затвара исти кабл, што је у нашем примеру 180º / 2 = 90º.
– пример 2
Права (BC) тангента у тачки A на круг C одређује уписани угао ∠BAC (видети слику 10).
Проверити да ли је испуњена теорема 1 о уписаним угловима.
Решење
Угао ∠BAC је уписан јер му је теме на кругу, а странице [AB) и [AC) су тангентне на круг, стога је дефиниција уписаног угла испуњена.
С друге стране, уписани угао ∠BAC оптерећује лук A⌒A, који је потпуни круг. Централни угао који оптерећује лук A⌒A је конвексан угао чија је мера потпуни угао (360º).
Уписани угао који обухвата цео лук мери половину придруженог централног угла, то јест, ACBAC = 360º / 2 = 180º.
Уз све наведено, испоставља се да је овај конкретан случај у складу са Теоремом 1.
Референце
- Балдор. (1973). Геометрија и тригонометрија. Централноамеричка културна издавачка кућа.
- ЕА (2003). Елементи геометрије: са вежбама и геометријом шестара. Универзитет у Медељину.
- Геометрија 1. ESO. Углови у кругу. Преузето са: edu.xunta.es/
- Сва наука. Предложене вежбе о угловима у кругу. Преузето са: francesphysics.blogspot.com
- Википедија. Уписани угао. Преузето са: es.wikipedia.com