Линеарна интерполација је метода која се користи за процену међувредности између две познате тачке. Ова метода разматра линеарни однос између познатих тачака како би се одредила вредност од интереса. Овај процес се широко користи у различитим областима, као што су математика, статистика, инжењерство и друге.
У овом чланку ћемо обрадити метод линеарне интерполације, објашњавајући корак по корак како се изводи ова врста прорачуна. Такође ћемо представити примере решених задатака како бисмо олакшали разумевање и практичну примену ове методе. Надамо се да ћемо овим допринети разумевању и ефикасној употреби линеарне интерполације у различитим контекстима.
Корак по корак водич за ефикасно извршавање интерполационог прорачуна.
Да бисте ефикасно извршили интерполациони прорачун, пратите ове кораке:
Корак 1: Прикупите податке потребне за проблем интерполације. То укључује познате вредности референтних тачака и x-вредност за коју желите да интерполирате.
Корак 2: Израчунајте разлику између познатих вредности x које су најближе жељеној вредности x. Ово ће помоћи у одређивању интервала интерполације.
Корак 3: Израчунајте разлику између y-вредности које одговарају најближим референтним тачкама. Ово ће одредити варијацију y у интерполационом интервалу.
Корак 4: Користећи формулу линеарне интерполације, израчунајте вредност y за жељену вредност x. Формула је дата са:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Корак 5: Замените познате вредности у формулу и решите да бисте добили вредност y која одговара жељеној вредности x.
Пратећи ове кораке, моћи ћете ефикасно да извршите интерполациони прорачун и добијете тачне резултате за дати проблем.
Када је прикладно користити линеарну интерполацију у математичкој анализи или моделирању?
Линеарна интерполација је метода која се користи у математичкој анализи или моделирању када је потребно проценити међувредности из познатих вредности. Ова метода је погодна када су подаци распоређени линеарно и континуирано.
На пример, када имамо табелу са вредностима функције у дискретним тачкама и желимо да проценимо вредност функције за међутачку, линеарна интерполација може бити добар избор. Она се састоји од цртања праве линије између две познате тачке и коришћења те линије за процену жељене вредности.
Важно је нагласити да линеарна интерполација можда није погодна у случајевима када подаци показују нелинеарно понашање, као што су криве или осцилације. У тим случајевима, друге сложеније методе интерполације могу бити прикладније.
Како ефикасно попунити празнине у табели међувредностима.
Линеарна интерполација је метода која се користи за ефикасно попуњавање празнина у табели међувредностима. Ова метода се састоји од израчунавања недостајућих вредности на основу познатих вредности у табели, коришћењем једноставне формуле.
Да бисте применили линеарну интерполацију, потребне су вам најмање две познате тачке у табели. Из ових тачака можете израчунати међувредности користећи следећу формулу:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Где је Y међувредност коју желимо да пронађемо, Y1 и Y2 су познате вредности из табеле, X1 и X2 су одговарајуће вредности X, а X је вредност X за коју желимо да пронађемо међувредност Y.
Ради илустрације, решићемо практичну вежбу користећи линеарну интерполацију. Претпоставимо да имамо следећу табелу:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Сада, хајде да користимо формулу линеарне интерполације да бисмо пронашли вредност Y када је X једнако 2:
И = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
И = КСНУМКС
Дакле, вредност Y када је X једнако 2 је 5.
Као што видимо, линеарна интерполација је једноставан и ефикасан метод за попуњавање празнина у табели међувредностима. Користећи ову технику, можемо брзо и лако добити тачне резултате.
Практични водич за ефикасно извођење квадратне интерполације.
Да бисте ефикасно извршили квадратну интерполацију, важно је пратити неколико једноставних корака. Прво, потребно је да имате познате тачке које ће се користити за интерполацију. Затим, потребно је да израчунате коефицијенте квадратне функције која пролази кроз те тачке.
Да бисмо израчунали коефицијенте квадратне функције, можемо користити методу најмањих квадрата. Ова метода се састоји у проналажењу квадратне функције која минимизира збир квадрата разлика између израчунатих вредности и стварних вредности познатих тачака.
Када се израчунају коефицијенти квадратне функције, можемо је користити за интерполацију вредности између познатих тачака. Да бисмо то урадили, једноставно уносимо жељену вредност у квадратну функцију и добијамо одговарајућу интерполирану вредност.
Важно је напоменути да је квадратна интерполација тачнија од линеарне интерполације јер узима у обзир закривљеност података. Међутим, важно је напоменути да квадратна интерполација може довести до мање тачних резултата у регионима далеко од познатих тачака.
Стога је, приликом извођења квадратне интерполације, кључно осигурати да су познате тачке равномерно распоређене и да је квадратна функција правилно израчуната. Ово омогућава прецизније и поузданије резултате интерполације.
Линеарна интерполација: метод, решени задаци
Линеарна интерполација је метода изведена из опште Њутнове интерполације и апроксимације за одређивање непознате вредности која се налази између два броја; то јест, проналази се међувредност. Такође се примењује на апроксимиране функције где су вредности f (a) и f (b) познате и желите да знате међувредност f (x).
Постоје различите врсте интерполације, укључујући линеарну, квадратну, кубну и интерполацију вишег реда, при чему је најједноставнија линеарна апроксимација. Компромис са линеарном интерполацијом је тај што резултат неће бити толико тачан као код апроксимација које користе функције вишег реда.
Дефиниција
Линеарна интерполација је процес који вам омогућава да изведете вредност између две добро дефинисане вредности, које могу бити у табели или линеарном графикону.
На пример, ако знате да 3 литра млека вреде 4 долара, а 5 литара 7 долара, али желите да знате колика је вредност 4 литра млека, интерполирате да бисте пронашли ту средњу вредност.
Метод
Да би се проценила међувредност функције, функција f (x) се апроксимира помоћу праве r (x) , што значи да се функција линеарно мења са „x“ за пресек „x = a“ и „x = b“; то јест, за вредност „x“ у интервалу (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , вредност „y“ је дата линијом између тачака и изражена следећом релацијом:
(и – и 0 ) ÷ (к – к 0 ) = (и 1 – и 0 ) ÷ (к 1 – к 0 )
Да би интерполација била линеарна, интерполациони полином мора бити степена један (n = 1) тако да одговара вредностима x0 и x1.
Линеарна интерполација се заснива на сличности троуглова, тако да геометријским извођењем претходног израза могуће је добити вредност «y», која представља непознату вредност за «x».
Стога, морате:
a = tan Ɵ = (супротна нога 1 ÷ суседна нога 1 ) = (супротна нога 2 ÷ суседна нога 2 )
Изражено на други начин, то је:
(и – и 0 ) ÷ (к – к 0 ) = (и 1 – и 0 ) ÷ (к 1 – к 0 )
Уклањањем „и“ из израза, имате:
(и – и 0 ) * (к 1 – к 0 ) = (к – к 0 ) * (и 1 – и 0 )
(и – и 0 ) = (и 1 – и 0 ) * [(к – к 0 ) ÷ (к 1 – к 0 )]
Тако се добија општа једначина за линеарну интерполацију:
и = и 0 + (и 1 – и 0 ) * [(к – к 0 ) ÷ (к 1 – к 0 )]
Генерално, линеарна интерполација даје малу грешку у стварној вредности праве функције, иако је грешка минимална у поређењу са интуитивним бројем броја блиског пронађеном.
Ова грешка се јавља када се покушава апроксимирати вредност криве помоћу праве линије; у таквим случајевима, величина интервала мора бити смањена да би апроксимација била прецизнија.
За најбоље резултате апроксимације, препоручљиво је користити функције степена 2, 3 или чак и вишег степена за извођење интерполације. За ове случајеве, Тејлорова теорема је веома користан алат.
Решене вежбе
Вежба 1
Број бактерија по јединици запремине у инкубацији након x сати приказан је у следећој табели. Желите да знате запремину бактерија током периода од 3,5 сата.
Решење
Референтна табела не утврђује вредност која показује број бактерија током периода од 3,5 сата, али постоје више и ниже вредности које одговарају периоду од 3 и 4 сата, респективно. Дакле:
x 0 = 3 и 0 = 91
x = 3,5 y = ?
x 1 = 4 и 1 = 135
Сада се математичка једначина примењује да би се пронашла интерполирана вредност, која је следећа:
и = и 0 + (и 1 – и 0 ) * [(к – к 0 ) ÷ (к 1 – к 0 )].
Затим се одговарајуће вредности замењују:
и = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
и = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
у = 113.
Дакле, добија се да је, током периода од 3,5 сата, количина бактерија 113, што представља средњи ниво између запремине бактерија које постоје у временима од 3 и 4 сата.
Вежба 2
Луис поседује фабрику сладоледа и жели да спроведе студију како би утврдио свој августовски приход на основу својих трошкова. Администратор компаније креира графикон који одражава овај однос, али Луис жели да зна:
Колики је приход за август ако је направљен трошак од 55.000 долара?
Решење
Дат је графикон који приказује приходе и расходе. Луис жели да зна колики ће бити приход у августу ако фабрика има расход од 55.000 долара. Ова цифра није директно приказана на графикону, али бројке су веће и ниже од тога.
Прво, направљена је табела како би се вредности лако повезале:
Сада се формула интерполације користи за одређивање вредности y
и = и 0 + (и 1 – и 0 ) * [(к – к 0 ) ÷ (к 1 – к 0 )]
Затим се одговарајуће вредности замењују:
и = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
и = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
и = 56.000 + (22.000) * (0,588)
и = 56.000 + 12.936
у = 68.936 долара.
Ако је у августу остварен трошак од 55.000 долара, приход је био 68.936 долара.
Референце
- Артур Гудман, Л.Х. (1996). Алгебра и тригонометрија са аналитичком геометријом. Пирсон Едукатион.
- Харп, П. д. (2000) Теме из геометријске теорије група. Универзитет у Чикагу Прес.
- Хазевинкел, М. (2001). Линеарна интерполација », Енциклопедија математике.
- ЈМ (1998). Елементи нумеричких метода за инжењерство. UASLP.
- Е. (2002). Хронологија интерполације: од древне астрономије до модерне обраде сигнала и слика. Зборник радова IEEE-а.
- нумерички, И. а. (2006). Гзавије Томас, Хорди Куадрос, Лусинио Гонзалез.