Vilka är sannolikhetsaxiomen? Fullständig förklaring.

Hem » Vetenskap » Matematik » Statistik » Vilka är sannolikhetsaxiomen? Fullständig förklaring

Frågan ”vilka är sannolikhetsteorin?” verkar enkel, men svaret leder till en mycket solid matematisk konstruktion , som började organiseras noggrant under 1900-talet med Andrey Kolmogorovs arbete. Dessa axiom är grunden för praktiskt taget all modern sannolikhetsteori, från studiet av hasardspel till komplexa statistiska modeller som används inom datavetenskap, finans och teknik.

Före Kolmogorovs formalisering förstods sannolikhet mer intuitivt, kopplat till idén om frekvens eller slump , och olika matematiker använde olika tolkningar. Idag, när vi talar om sannolikhetsaxiom, hänvisar vi till en minimiuppsättning regler som varje sannolikhetsfunktion måste följa så att vi kan utföra sammanhängande beräkningar, undvika motsägelser och konstruera kraftfulla satser.

Grundläggande intuition: slumpmässiga upplevelser och händelser

För att förstå sannolikhetsaxiomen är det första steget att veta vad ett slumpmässigt experiment är och vad vi kallar en händelse. Ett slumpmässigt experiment är varje procedur vars resultat inte kan förutsägas med säkerhet, trots att vi känner till alla möjliga utfall; klassiska exempel är att vända ett slant eller slå en tärning.

Vi kallar stickprovsrummet, vanligtvis betecknat med Ω, mängden av alla möjliga utfall av detta experiment . Om vi ​​till exempel kastar ett mynt kan stickprovsrummet skrivas som Ω = {H, T}, där H representerar "krona" och T representerar "svans". Varje element i Ω kallas ett elementärt utfall.

En händelse är vilken delmängd av Ω som helst som vi är intresserade av att observera . Således, om experimentet är ett myntkast, är mängden {H} händelsen "krona", mängden {T} är händelsen "svans", och Ω själv är händelsen "krona eller klave", det vill säga en viss händelse.

Vissa händelser är särskilt viktiga: den omöjliga händelsen, den elementära händelsen och den säkra händelsen . Den tomma mängden ∅ representerar den omöjliga händelsen, eftersom den inte innehåller något utfall; en mängd med ett enda element {ω}, med ω i Ω, representerar en elementär händelse; och Ω i sig är den säkra händelsen, den som alltid inträffar när experimentet utförs.

Mängdteorins språk är mycket användbart vid studiet av sannolikhet . Om A och B är händelser, representerar A ∩ B den samtidiga förekomsten av A och B, A ∪ B representerar förekomsten av minst en av dem, och komplementet till A , ofta skrivet som ̄A eller Ω \ A, representerar "icke-förekomsten av A". Denna notation och mängdernas egenskaper kommer att användas direkt vid formuleringen av axiomen.

Tolkningar av begreppet sannolikhet

Även om Kolmogorovs axiom utgör den matematiska grunden för sannolikhet, kan själva ordet "sannolikhet" tolkas på olika sätt . Historiskt sett har olika tolkningar framkommit av vad det innebär att tilldela ett tal P(A) till en händelse A.

I den klassiska tolkningen av Laplace, giltig för ändliga rum med lika sannolika utfall, är sannolikheten för A förhållandet mellan antalet gynnsamma fall och antalet möjliga fall . Om stickprovsrummet har n lika sannolika utfall (det vill säga #Ω = n) och händelsen A innehåller n_A av dessa utfall (#A = n_A), ges sannolikheten av P(A) = n_A / n. Denna formel är ganska intuitiv när alla utfall har samma chans att inträffa.

Frekventistisk tolkning kopplar sannolikhet till den relativa frekvensen som observeras vid upprepningar av ett experiment . Ur denna synvinkel upprepar vi det slumpmässiga experimentet n gånger och räknar hur många gånger händelse A inträffar, vilket vi kallar detta tal n_A; sedan tittar vi på gränsen, när n ökar, för bråket n_A / n. Sannolikheten för A skulle vara P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), förutsatt att denna gräns existerar.

Det finns också den subjektiva tolkningen, som används flitigt inom Bayesiansk statistik, där sannolikhet är förknippad med graden av tro hos ett rationellt subjekt . I detta tillvägagångssätt kvantifierar P(A) hur säker någon är på förekomsten av A, med hänsyn till tillgänglig kunskap. Det är inte erfarenheten som "bär" sannolikheten, utan subjektet som bedömer osäkerheten sammanhängande.

Trots dessa olika tolkningar kan de alla samexistera inom samma axiomatiska ramverk som Kolmogorov . Det vill säga, oavsett om man föredrar en klassisk, frekventistisk eller subjektiv synvinkel, kommer sannolikheten i slutändan att modelleras matematiskt av en funktion P som lyder en liten uppsättning axiom om ett händelserum.

Formell konstruktion: sannolikhetsrum och σ-algebror

Kolmogorov beskrev sannolikheten i termer av en trippel (Ω, F, P), kallad sannolikhetsrummet . I denna trippel är Ω sampelrummet, F är mängden av möjliga händelser (tekniskt sett en σ-algebra av delmängder av Ω), och P är sannolikhetsfunktionen.

En σ-algebra F är en speciell samling av delmängder av Ω som uppfyller vissa egenskaper . Generellt sett måste F innehålla den tomma mängden, vara sluten under komplement (om A är i F, då är dess komplement också i F), och vara sluten under räknebara unioner (om A₁, A₂, … är i F, då är unionen av dem alla också i F). Denna struktur säkerställer att vi kan arbeta med mängdoperationer utan att lämna universumet av händelser som har väldefinierade sannolikheter.

Formellt sett är F en σ-algebra över Ω när: den tomma mängden ∅ tillhör F; om A är i F, så tillhör komplementet till A i Ω också F; och om A₁, A₂, … är en (ändlig eller räknebart oändlig) följd av element i F, så är unionen A₁ ∪ A₂ ∪ … också i F. I många sammanhang kallas F också för ett Borelfält eller σ-fält.

Sannolikhetsfunktionen P är definierad på F och tilldelar ett icke-negativt reellt tal till varje händelse E i F. Vi säger då att P(E) är i ℝ och P(E) ≥ 0 för alla E i F. I allmän måttteori kan mått anta oändliga värden, men i standard sannolikhetsteori är P(E) alltid ändlig, vilket medför vissa skillnader jämfört med mer generella mått.

Denna struktur (Ω, F, P) med P(Ω) = 1 är vad vi kallar ett sannolikhetsrum . Villkoret P(Ω) = 1 är väsentligt eftersom det representerar idén att, när experimentet utförs, så uppstår ett resultat i Ω säkert; det finns inga "dolda resultat" utanför stickprovsrummet.

Kolmogorovs tre axiom

Kolmogorovs axiomatiska teori bygger på tre grundläggande axiom som varje sannolikhetsfunktion måste uppfylla . De är enkla att formulera, men extremt kraftfulla, eftersom praktiskt taget alla vanliga sannolikhetsegenskaper härleds från dem.

Första axiomet — Icke-negativitet: för varje händelse A som tillhör σ-algebran F har vi P(A) ≥ 0. Det vill säga, sannolikheter är aldrig negativa. I vissa mer exotiska teorier talas det om "negativa sannolikheter", men dessa idéer avviker från Kolmogorovs klassiska ramverk.

Andra axiomet — Normalisering: sannolikheten för en viss händelse är lika med 1, det vill säga P(Ω) = 1. Detta axiom etablerar konventionen att 1 motsvarar 100 % säkerhet och 0 motsvarar omöjlighet. I mer elementära versioner kan detta axiom också förstås som att summan av sannolikheterna för alla elementära utfall av Ω är lika med 1.

Tredje axiomet — σ-additivitet: om A₁, A₂, … är en sekvens av parvisa disjunkta (även kallade ömsesidigt uteslutande) händelser, då är P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Detta gäller för både en ändlig och en räknebart oändlig samling av händelser. Denna räknebara additivitetsegenskap är den största skillnaden jämfört med ren ändlig additivitet.

I enklare sammanhang arbetar vissa författare endast med ändlig additivitet , vilket kräver att P(A ∪ B) = P(A) + P(B) för disjunkta händelser A och B, och att detta sträcker sig till ett ändligt antal mängder. I detta fall räcker det att arbeta med en mängdalgebra, inte nödvändigtvis en σ-algebra, men standardmetoden inom modern sannolikhet är att kräva σ-additivitet.

Det är från detta tredje axiom som flera viktiga konsekvenser uppstår, såsom likheter, olikheter och sannolikhetslagar . Det är också kärnan i sambandet mellan sannolikhetsteori och måtteori, som studerar måtten i mängder på ett mycket generellt sätt.

Egenskaper härledda från axiomer

Från Kolmogorovs tre axiom kan vi bevisa flera grundläggande och extremt användbara egenskaper . Dessa egenskaper antas inte i förväg: de är logiska konsekvenser av axiomen.

En av de första egenskaperna är sannolikhetens monotonicitet . Om A och B är händelser i F och A finns i B (A ⊆ B), då är P(A) ≤ P(B). Idén är intuitiv: om B omfattar allt som kan hända i A, och kanske mer, då kan B inte ha en lägre sannolikhet än A.

En annan grundläggande egenskap är att sannolikheten för en omöjlig händelse är noll . Ur ett formellt perspektiv, med hjälp av σ-additivitet, betraktar vi en sekvens där E₁ = A, E₂ = B \ A och Eᵢ = ∅ för i ≥ 3, i ett scenario där A ⊆ B. Eftersom Eᵢ är disjunkta och deras union är B, måste summan av sannolikheterna konvergera mot P(B). Om vi ​​antar att P(∅) = a > 0, då skulle summan av P(∅) explodera oändligt många gånger till oändligheten, vilket är oförenligt med ändligt P(B). Därför drar vi slutsatsen att P(∅) = 0.

Därför kan vi ange olikheten 0 ≤ P(E) ≤ 1 för varje händelse E i F. Vi visste redan att P(E) ≥ 0 från det första axiomet. Med vetskapen om att P(Ω) = 1 och användning av monotonicitet med E ⊆ Ω, följer att P(E) ≤ P(Ω) = 1. Således är varje sannolikhet alltid mellan 0 och 1, inklusive.

En vanligt förekommande identitet är den så kallade additiva lagen för två händelser . För händelserna A och B i F gäller att P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Denna formel korrigerar "dubbelräkningen" av den gemensamma händelsen A ∩ B, vilken läggs till två gånger om vi summerar P(A) och P(B) utan justering.

En annan viktig konsekvens är förhållandet mellan en händelse och dess komplement . Om vi ​​betecknar komplementet till A med ̄A, då är P(̄A) = 1 − P(A). Denna likhet översätter idén att "antingen händer A eller så händer A inte", och det finns ingen annan möjlighet inom Ω.

Av detta blir det också tydligt att P(A) = 0 inte nödvändigtvis innebär att A är den omöjliga händelsen. I matematiska termer är det möjligt för en händelse att ha noll sannolikhet utan att vara den tomma mängden (detta förekommer till exempel i kontinuerliga rum), men på den mest elementära nivån är P(A) = 0 vanligtvis associerat med praktiskt taget omöjliga händelser.

Praktiskt exempel: att kasta ett mynt

Ett klassiskt och mycket didaktiskt exempel för att visualisera Kolmogorovs axiom är slantsingling. Låt oss till att börja med anta att myntet bara kan landa på "krona" (K) eller "slant" (K), och att dessa är de enda möjliga utfallen.

Vi definierar sedan samplingsrummet som Ω = {H, T} . De möjliga händelserna bildar en σ-algebra F bestående av {∅, {H}, {T}, {H, T}}. I detta sammanhang är den omöjliga händelsen ∅, de elementära händelserna är {H} och {T}, och den säkra händelsen är {H, T}.

Med Kolmogorovs axiom vet vi att P(∅) = 0 och P(Ω) = 1. Om vi ​​antar att myntet är rättvist, det vill säga att det inte gynnar någon av sidorna, då antyder symmetri att P({H}) = P({T}). Eftersom summan P({H}) + P({T}) måste vara lika med 1, drar vi slutsatsen att båda är lika med 1/2.

Således är sannolikheten att få "krona eller klave" P({H, T}) = 1 , sannolikheten att få "krona" är P({H}) = 1/2, och sannolikheten att få "klave" är P({T}) = 1/2. Summan av sannolikheterna för de elementära händelserna uttömmer den totala sannolikheten för rummet.

Denna modell, även om den är enkel, illustrerar hur axiomen beter sig i praktiken och hur de förhindrar inkonsekvenser i sannolikhetsberäkningar . Om vi ​​inte noggrant definierar stickprovsrummet kan vi göra allvarliga misstag, eftersom varje händelse alltid är en delmängd av Ω; om delmängden inte passar in i Ω är dess sannolikhet inte ens definierad.

Sannolikhet i ändliga och räkneliga rum

När stickprovsrummet är ändligt eller uppräkneligt kan sannolikheten beskrivas på ett mycket konkret sätt . Antag att Ω = {ω₁, ω₂, …} är en ändlig eller uppräknelig mängd möjliga utfall.

Om A är en händelse som innehåller några av dessa utfall, såsom A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …} , så kan sannolikheten för A ses som summan av sannolikheterna för motsvarande elementära händelser: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Detta är en direkt tillämpning av additivitet (eller σ-additivitet) på disjunkta mängder.

I det specifika fallet där samplingsrummet är ändligt, med #Ω = n, och alla utfall är lika sannolika , har vi P({ωᵢ}) = 1/n för varje i. Om A innehåller k distinkta utfall i Ω, då är P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Detta är exakt den klassiska Laplaceformeln omtolkad inom det moderna axiomatiska ramverket.

När samplingsrummet är räknebart oändligt, behöver summan av sannolikheterna för de elementära händelserna fortfarande konvergera mot 1. Det vill säga, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Det är här σ-additiviteten visar sin styrka, vilket gör att vi kan hantera inte bara ändliga summor, utan också oändliga serier av händelser.

Villkorlig sannolikhet och axiomernas roll.

En central aspekt av teorin är att förstå hur sannolikheten förändras när vi vet att en viss händelse redan har inträffat. Det är här villkorad sannolikhet kommer in i bilden, vanligtvis skriven som P(A | B), vilket betyder "sannolikhet för A givet att B har inträffat".

Grundformeln för villkorlig sannolikhet är P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), förutsatt att P(B) > 0. Denna definition är kompatibel med Kolmogorovs axiom, och faktum är att för varje B med P(B) > 0 uppfyller funktionen A ↦ P(A | B) återigen de tre axiomen när vi begränsar händelserummet till B.

Detta innebär att P(· | B) i sig är en sannolikhetsfunktion över det "nya" sampelrummet B. Som en konsekvens gäller alla grundläggande egenskaper för villkorade sannolikheter: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, villkorad monotonicitet (om A₁ ⊆ A₂, då P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) och formeln P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Definitionen av villkorad sannolikhet härrör också från det viktiga sambandet P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), när P(A) > 0. Symmetriskt kan vi skriva P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), förutsatt att P(B) > 0. Dessa likheter hjälper till att bryta ner gemensamma sannolikheter och är grunden för flera resultat, såsom Bayes sats.

Det är intressant att notera att "ovillkorlig" sannolikhet kan ses som ett specialfall av villkorlig sannolikhet . Faktum är att vi kan skriva P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), eftersom P(Ω) = 1. Detta förstärker idén att all sannolikhet konceptuellt är villkorad av viss bakgrundsinformation, även om det bara är kunskapen om att vi arbetar inom Ω.

Händelsernas oberoende

Ett annat centralt begrepp som bygger på axiom är konceptet om oberoende mellan händelser . Två händelser A och B är oberoende om förekomsten av den ena inte förändrar sannolikheten för den andra.

I formellt språk är A och B oberoende när P(A ∩ B) = P(A)₂P(B) . När det gäller villkorlig sannolikhet innebär detta att om P(B) > 0, då är P(A | B) = P(A), och om P(A) > 0, då är P(B | A) = P(B). Det vill säga, att veta att B har inträffat förändrar inte sannolikheten för A, och vice versa.

Varje händelse är oberoende av den omöjliga händelsen ∅ och den säkra händelsen Ω . För den tomma mängden är P(A ∩ ∅) = 0 och P(∅) = 0, så relationen gäller trivialt. För den säkra händelsen är P(A ∩ Ω) = P(A) och P(Ω) = 1, därför är P(A ∩ Ω) = P(A) · P(Ω) = P(A).

En vanlig fråga är huruvida två disjunkta händelser kan vara oberoende . I allmänhet, om A och B är disjunkta och båda har positiv sannolikhet, då är P(A ∩ B) = 0, men P(A) ≠ P(B) > 0, vilket bryter mot definitionen av oberoende. Således är två disjunkta händelser med sannolikhet som inte är noll i många fall inte oberoende, eftersom förekomsten av den ena utesluter möjligheten av den andra.

När man har att göra med fler än två händelser uppstår flera olika begrepp om oberoende . Vi kan ha parvis oberoende, gemensamt oberoende och andra typer. I alla dessa fall förblir dock utgångspunkten relationen P(A ∩ B) = P(A) P(B), baserat på Kolmogorovs axiom och definitionen av villkorlig sannolikhet.

Praktiska regler och klassiska sannolikhetslagar

Utöver formella egenskaper tillåter axiom oss att formulera mer operationella lagar, användbara i det dagliga arbetet för dem som utför sannolikhetsberäkningar . En av dessa är den så kallade additionslagen, som redan nämnts i formen P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), vilken kan utvidgas till ett större antal händelser genom inkluderings-exkluderingsprincipen.

En annan vanligt förekommande regel är förhållandet mellan en händelse och dess del "utanför" en annan händelse . För A och B i F gäller följande: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Detta innebär helt enkelt att A delas upp i två delar: den del som förekommer tillsammans med B (A ∩ B) och den del som förekommer utan B (A ∩ ̄B). Dessa två delar är disjunkta, och deras förening är A, vilket leder till den tidigare likheten genom additivitet.

Lagen om total sannolikhet och Bayes sats, även om de inte beskrivs helt i detalj här, förlitar sig också direkt på axiomen . Lagen om total sannolikhet kombinerar villkorade sannolikheter till en uppdelning av stickprovsrummet, medan Bayes sats "inverterar" villkoren, vilket gör att sannolikheter kan uppdateras baserat på nya bevis.

I mer didaktiska versioner listas även några lättmemorerade "praktiska axiom" , såsom: den maximala sannolikheten är 1 (100%); summan av sannolikheterna för alla element i stickprovsrummet är lika med 1; och sannolikheten för en händelse X adderad till sannolikheten för "inte X" är alltid 1. Dessa påståenden är direkta reflektioner av de formella axiomen.

Med denna uppsättning lagar blir det möjligt att lösa problem som sträcker sig från enkla hasardspel till sofistikerade modeller med många variabler. Den stora fördelen är att bakom alla formler och beräkningsknep förblir det logiska stödet samma axiomatiska stativ.

Kolmogorovs sannolikhetsaxiom ger en rigorös men flexibel grund för att hantera osäkerhet . Från tre enkla principer – icke-negativitet, normalisering och σ-additivitet – har en rik teori byggts upp, som kan införliva klassiska, frekventistiska och subjektiva tolkningar, hantera ändliga eller oändliga rum, beskriva villkorliga sannolikheter och oberoende, och stödja tillämpningar inom praktiskt taget alla vetenskapliga och tekniska områden.