สัจพจน์ของความน่าจะเป็นมีอะไรบ้าง? คำอธิบายเต็ม

หน้าหลัก » วิทยาศาสตร์ » คณิตศาสตร์ » สถิติ » สัจพจน์ของความน่าจะเป็นคืออะไร? คำอธิบายฉบับเต็ม

คำถามที่ว่า “สัจพจน์ของความน่าจะเป็นคืออะไร?” ดูเหมือนจะง่าย แต่คำตอบนำไปสู่โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งมากซึ่งเริ่มมีการจัดระเบียบอย่างเข้มงวดในศตวรรษที่ 20 ด้วยผลงานของอันเดรย์ โคลโมโกโรฟ สัจพจน์เหล่านี้เป็นพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นสมัยใหม่เกือบทั้งหมด ตั้งแต่การศึกษาเกมเสี่ยงโชคไปจนถึงแบบจำลองทางสถิติที่ซับซ้อนซึ่งใช้ในวิทยาศาสตร์ข้อมูล การเงิน และวิศวกรรม

ก่อนที่โคลโมโกโรฟจะวางรากฐานทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ ความน่าจะเป็นเป็นที่เข้าใจกันในเชิงสัญชาตญาณมากกว่า โดยเชื่อมโยงกับแนวคิดเรื่องความถี่หรือโอกาสและนักคณิตศาสตร์แต่ละคนก็ใช้การตีความที่หลากหลาย ปัจจุบัน เมื่อเราพูดถึงสัจพจน์ของความน่าจะเป็น เราหมายถึงชุดของกฎขั้นต่ำที่ฟังก์ชันความน่าจะเป็นใด ๆ ต้องปฏิบัติตาม เพื่อให้เราสามารถคำนวณได้อย่างสอดคล้อง หลีกเลี่ยงความขัดแย้ง และสร้างทฤษฎีบทที่มีประสิทธิภาพได้

สัญชาตญาณพื้นฐาน: ประสบการณ์และเหตุการณ์สุ่ม

เพื่อให้เข้าใจหลักการพื้นฐานของความน่าจะเป็น ขั้นตอนแรกคือการรู้ว่าการทดลองแบบสุ่มคืออะไร และเราเรียกเหตุการณ์ว่าอย่างไรการทดลองแบบสุ่มคือกระบวนการใดๆ ที่ผลลัพธ์ไม่สามารถคาดเดาได้อย่างแน่นอน แม้ว่าเราจะรู้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดก็ตาม ตัวอย่างคลาสสิกคือการโยนเหรียญหรือการทอยลูกเต๋า

เราเรียกปริภูมิของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองนี้ว่า ปริภูมิของผลลัพธ์ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ Ω แทนตัวอย่างเช่น ถ้าเราโยนเหรียญ ปริภูมิของผลลัพธ์สามารถเขียนได้เป็น Ω = {H, T} โดยที่ H แทน "หัว" และ T แทน "ก้อย" แต่ละองค์ประกอบของ Ω เรียกว่า ผลลัพธ์พื้นฐาน

เหตุการณ์ คือ เซตย่อยใดๆ ของ Ω ที่เราสนใจที่จะสังเกตดังนั้น ถ้าการทดลองคือการโยนเหรียญ เซต {H} คือเหตุการณ์ "หัว" เซต {T} คือเหตุการณ์ "ก้อย" และ Ω เองก็คือเหตุการณ์ "หัวหรือก้อย" ซึ่งก็คือเหตุการณ์ที่แน่นอนเหตุการณ์หนึ่ง

เหตุการณ์บางอย่างมีความสำคัญเป็นพิเศษ ได้แก่ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เหตุการณ์พื้นฐาน และเหตุการณ์ที่แน่นอนเซตว่าง ∅ แทนเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากไม่มีผลลัพธ์ใดๆ อยู่ภายใน เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว {ω} โดยที่ ω อยู่ใน Ω แทนเหตุการณ์พื้นฐาน และ Ω เองก็คือเหตุการณ์ที่แน่นอน ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเสมอเมื่อทำการทดลอง

ภาษาของทฤษฎีเซตมีประโยชน์อย่างมากในการศึกษาความน่าจะเป็นถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์แล้ว A ∩ B หมายถึงการเกิดขึ้นพร้อมกันของ A และ B, A ∪ B หมายถึงการเกิดขึ้นของอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ และส่วนเติมเต็มของ Aซึ่งมักเขียนเป็น ̄A หรือ Ω \ A หมายถึง “การไม่เกิดขึ้นของ A” สัญลักษณ์เหล่านี้และคุณสมบัติของเซตจะถูกนำมาใช้โดยตรงในการกำหนดสัจพจน์

การตีความแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็น

แม้ว่าสัจพจน์ของโคลโมโกโรฟจะเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับความน่าจะเป็น แต่คำว่า "ความน่าจะเป็น" เองก็สามารถตีความได้หลายวิธีในอดีต มีการตีความที่แตกต่างกันออกไปเกี่ยวกับความหมายของการกำหนดค่า P(A) ให้กับเหตุการณ์ A

ในการตีความแบบคลาสสิกของลาปลาซ ซึ่งใช้ได้กับปริภูมิจำกัดที่มีผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออัตราส่วนระหว่างจำนวนกรณีที่เอื้ออำนวยและจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดถ้าปริภูมิของตัวอย่างมีผลลัพธ์ที่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน n กรณี (นั่นคือ #Ω = n) และเหตุการณ์ A ประกอบด้วยผลลัพธ์เหล่านี้ n_A กรณี (#A = n_A) แล้วความน่าจะเป็นจะกำหนดโดย P(A) = n_A / n สูตรนี้ค่อนข้างเข้าใจง่ายเมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากัน

การตีความแบบความถี่นิยมเชื่อมโยงความน่าจะเป็นกับความถี่สัมพัทธ์ที่สังเกตได้จากการทดลองซ้ำๆจากมุมมองนี้ เราทำการทดลองแบบสุ่มซ้ำ n ครั้ง และนับจำนวนครั้งที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้น โดยเรียกจำนวนนี้ว่า n_A จากนั้นเราพิจารณาลิมิตของเศษส่วน n_A / n เมื่อ n เพิ่มขึ้น ความน่าจะเป็นของ A จะเป็น P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n) โดยมีเงื่อนไขว่าลิมิตนี้มีอยู่จริง

นอกจากนี้ยังมีการตีความแบบอัตวิสัย ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในสถิติแบบเบย์เซียน โดยที่ความน่าจะเป็นจะเกี่ยวข้องกับระดับความเชื่อของบุคคลที่มีเหตุผลในแนวทางนี้ P(A) จะวัดระดับความมั่นใจของบุคคลนั้นต่อการเกิดขึ้นของ A โดยคำนึงถึงความรู้ที่มีอยู่ ไม่ใช่ประสบการณ์ที่ "กำหนด" ความน่าจะเป็น แต่เป็นบุคคลที่ประเมินความไม่แน่นอนอย่างสอดคล้องกัน

แม้ว่าจะมีการตีความที่แตกต่างกันเหล่านี้ แต่ทั้งหมดก็สามารถอยู่ร่วมกันได้ภายในกรอบแนวคิดเชิงสัจพจน์เดียวกันของโคลโมโกโรฟกล่าวคือ ไม่ว่าคุณจะชอบมุมมองแบบคลาสสิก แบบความถี่ หรือแบบอัตวิสัย ในท้ายที่สุดแล้ว ความน่าจะเป็นจะถูกจำลองทางคณิตศาสตร์ด้วยฟังก์ชัน P ที่เป็นไปตามสัจพจน์ชุดเล็กๆ เกี่ยวกับปริภูมิเหตุการณ์

โครงสร้างเชิงรูปนัย: ปริภูมิความน่าจะเป็นและพีชคณิต σ

โคลโมโกโรฟได้อธิบายความน่าจะเป็นในแง่ของสามสิ่ง (Ω, F, P) ซึ่งเรียกว่าปริภูมิความน่าจะเป็นในสามสิ่งนี้ Ω คือปริภูมิของตัวอย่าง F คือเซตของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ (ในทางเทคนิคคือพีชคณิต σ ของเซตย่อยของ Ω) และ P คือฟังก์ชันความน่าจะเป็น

พีชคณิต σ F คือกลุ่มพิเศษของเซตย่อยของ Ω ที่มีคุณสมบัติบางประการโดยทั่วไปแล้ว F ต้องมีเซตว่าง ต้องปิดภายใต้ส่วนเติมเต็ม (ถ้า A อยู่ใน F ส่วนเติมเต็มของ A ก็อยู่ใน F ด้วย) และต้องปิดภายใต้การรวมกันแบบนับได้ (ถ้า A₁, A₂, … อยู่ใน F การรวมกันของ A₁ และ A₂ ทั้งหมดก็อยู่ใน F ด้วย) โครงสร้างนี้ทำให้เราสามารถทำงานกับการดำเนินการของเซตได้โดยไม่ต้องออกจากเอกภพของเหตุการณ์ที่มีความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน

ตามหลักการแล้ว F เป็นพีชคณิต σ บน Ω เมื่อ:เซตว่าง ∅ เป็นสมาชิกของ F; ถ้า A อยู่ใน F แล้วส่วนเติมเต็มของ A ใน Ω ก็อยู่ใน F ด้วย; และถ้า A₁, A₂, … เป็นลำดับของสมาชิก (จำกัดหรืออนันต์นับได้) ของ F แล้วการรวมกัน A₁ ∪ A₂ ∪ … ก็อยู่ใน F ด้วย ในหลายบริบท F ยังถูกเรียกว่าฟิลด์บอเรลหรือฟิลด์ σ ด้วย

ฟังก์ชันความน่าจะเป็น P ถูกกำหนดบน F และกำหนดค่าจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบให้กับแต่ละเหตุการณ์ E ใน Fเราจึงกล่าวว่า P(E) อยู่ใน ℝ และ P(E) ≥ 0 สำหรับทุก E ใน F ในทฤษฎีการวัดทั่วไป ค่าของการวัดสามารถมีค่าเป็นอนันต์ได้ แต่ในทฤษฎีความน่าจะเป็นมาตรฐาน P(E) จะมีค่าจำกัดเสมอ ซึ่งทำให้เกิดความแตกต่างบางประการเมื่อเทียบกับการวัดทั่วไป

โครงสร้างนี้ (Ω, F, P) โดยที่ P(Ω) = 1 คือสิ่งที่เราเรียกว่าปริภูมิความน่าจะเป็นเงื่อนไข P(Ω) = 1 มีความสำคัญอย่างยิ่ง เพราะมันแสดงถึงแนวคิดที่ว่า เมื่อทำการทดลอง ผลลัพธ์บางอย่างใน Ω จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน ไม่มี "ผลลัพธ์ที่ซ่อนอยู่" นอกปริภูมิของตัวอย่าง

สัจพจน์สามประการของโคลโมโกรอฟ

ทฤษฎีสัจพจน์ของโคลโมโกโรฟนั้นตั้งอยู่บนสัจพจน์พื้นฐานสามข้อที่ฟังก์ชันความน่าจะเป็นใดๆ ต้องเป็นไปตามนั้น สัจพจน์เหล่านี้กล่าวได้ง่าย แต่ทรงพลังอย่างยิ่ง เพราะคุณสมบัติทั่วไปเกือบทั้งหมดของความน่าจะเป็นนั้นได้มาจากสัจพจน์เหล่านี้

สัจพจน์ข้อแรก — ความไม่เป็นลบ:สำหรับเหตุการณ์ใดๆ A ที่อยู่ในพีชคณิต σ F เราจะได้ว่า P(A) ≥ 0 นั่นคือ ความน่าจะเป็นจะไม่เป็นลบ ในบางทฤษฎีที่แปลกใหม่กว่านั้น มีการพูดถึง "ความน่าจะเป็นติดลบ" แต่แนวคิดเหล่านี้เบี่ยงเบนไปจากกรอบแนวคิดคลาสสิกของ Kolmogorov

สัจพจน์ข้อที่สอง — การทำให้เป็นมาตรฐาน:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเท่ากับ 1 นั่นคือ P(Ω) = 1 สัจพจน์นี้กำหนดข้อตกลงว่า 1 สอดคล้องกับความแน่นอน 100% และ 0 สอดคล้องกับความเป็นไปไม่ได้ ในรูปแบบที่ง่ายกว่านั้น สัจพจน์นี้สามารถเข้าใจได้ว่า ผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์พื้นฐานทั้งหมดของ Ω เท่ากับ 1

สัจพจน์ข้อที่สาม — คุณสมบัติการบวกแบบ σ:ถ้า A₁, A₂, … เป็นลำดับของเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันเป็นคู่ๆ (หรือเรียกว่าเหตุการณ์ที่ไม่เกิดขึ้นพร้อมกัน) แล้ว P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ) คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับทั้งชุดเหตุการณ์ที่มีจำนวนจำกัดและจำนวนอนันต์ที่นับได้ คุณสมบัติการบวกแบบนับได้นี้เป็นความแตกต่างที่สำคัญเมื่อเทียบกับการบวกแบบจำกัดเพียงอย่างเดียว

ในบริบทที่ง่ายกว่านั้น ผู้เขียนบางคนใช้เพียงคุณสมบัติการบวกแบบจำกัดโดยกำหนดให้ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) สำหรับเหตุการณ์ A และ B ที่ไม่เกี่ยวข้องกัน และคุณสมบัตินี้ขยายไปถึงเซตจำนวนจำกัด ในกรณีนี้ การใช้พีชคณิตเซตก็เพียงพอแล้ว ไม่จำเป็นต้องเป็นพีชคณิต σ แต่แนวทางมาตรฐานในความน่าจะเป็นสมัยใหม่คือการกำหนดให้มีคุณสมบัติการบวกแบบ σ

จากสัจพจน์ข้อที่สามนี้เองที่ก่อให้เกิดผลลัพธ์ที่สำคัญหลายประการ เช่น ความเท่าเทียมกัน ความไม่เท่าเทียมกัน และกฎของความน่าจะเป็นนอกจากนี้ยังเป็นหัวใจสำคัญของความเชื่อมโยงระหว่างความน่าจะเป็นและทฤษฎีการวัด ซึ่งศึกษาการวัดในเซตในลักษณะทั่วไปมาก

สมบัติที่ได้จากสัจพจน์

จากสัจพจน์สามข้อของโคลโมโกโรฟ เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติพื้นฐานและมีประโยชน์อย่างยิ่งหลายประการได้ คุณสมบัติเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า แต่เป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะจากสัจพจน์เหล่านั้น

หนึ่งในคุณสมบัติแรกคือความเป็นเอกภาคของความน่าจะเป็นถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ใน F และ A เป็นส่วนหนึ่งของ B (A ⊆ B) แล้ว P(A) ≤ P(B) แนวคิดนี้เข้าใจง่าย: ถ้า B ครอบคลุมทุกสิ่งที่อาจเกิดขึ้นใน A และอาจมากกว่านั้น ความน่าจะเป็นของ B จะต้องไม่ต่ำกว่า A

คุณสมบัติพื้นฐานอีกประการหนึ่งคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีค่าเป็นศูนย์จากมุมมองเชิงรูปแบบ โดยใช้คุณสมบัติการบวกแบบ σ เราพิจารณาลำดับที่ E₁ = A, E₂ = B \ A และ Eᵢ = ∅ สำหรับ i ≥ 3 ในสถานการณ์ที่ A ⊆ B เนื่องจาก Eᵢ แต่ละตัวไม่ทับซ้อนกัน และผลรวมของพวกมันคือ B ผลรวมของความน่าจะเป็นจึงต้องลู่เข้าสู่ P(B) หากเราสมมติว่า P(∅) = a > 0 ผลรวมของ P(∅) จำนวนอนันต์ครั้งจะพุ่งไปสู่ค่าอนันต์ ซึ่งไม่สอดคล้องกับค่า P(B) ที่มีค่าจำกัด ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า P(∅) = 0

ดังนั้น เราสามารถระบุอสมการ 0 ≤ P(E) ≤ 1 สำหรับเหตุการณ์ E ใดๆ ใน F ได้เราทราบอยู่แล้วว่า P(E) ≥ 0 จากสัจพจน์แรก เมื่อทราบว่า P(Ω) = 1 และใช้คุณสมบัติความเป็นเอกภาคกับ E ⊆ Ω จึงสรุปได้ว่า P(E) ≤ P(Ω) = 1 ดังนั้น ความน่าจะเป็นทุกค่าจึงอยู่ระหว่าง 0 และ 1 เสมอ รวมทั้ง 0 และ 1 ด้วย

เอกลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปอย่างหนึ่งคือ กฎการบวกสำหรับเหตุการณ์สองเหตุการณ์ใดๆสำหรับเหตุการณ์ A และ B ใน F กฎนี้จะเป็นจริงว่า P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) สูตรนี้ช่วยแก้ไข "การนับซ้ำ" ของเหตุการณ์ร่วม A ∩ B ซึ่งจะถูกบวกสองครั้งหากเราบวก P(A) และ P(B) โดยไม่ปรับแก้

ผลที่ตามมาที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์กับส่วนเติมเต็มของเหตุการณ์นั้นถ้าเรากำหนดให้ส่วนเติมเต็มของ A คือ ̄A แล้ว P(̄A) = 1 − P(A) ความเท่าเทียมกันนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดที่ว่า "A เกิดขึ้นหรือ A ไม่เกิดขึ้น" และไม่มีความเป็นไปได้อื่นใดภายใน Ω

จากตรงนี้ จะเห็นได้ชัดเจนว่า P(A) = 0 ไม่ได้หมายความว่า A เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้เสมอไปในทางคณิตศาสตร์ เหตุการณ์หนึ่งอาจมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ได้โดยที่ไม่ใช่เซตว่าง (เช่น ปรากฏในปริภูมิต่อเนื่อง) แต่ในระดับพื้นฐานที่สุด P(A) = 0 มักเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างการปฏิบัติ: การโยนเหรียญ

ตัวอย่างคลาสสิกและให้ความรู้ได้ดีมากในการแสดงภาพสัจพจน์ของโคลโมโกโรฟคือการโยนเหรียญสมมติไว้ก่อนว่าเหรียญจะออกได้แค่ "หัว" (H) หรือ "ก้อย" (T) เท่านั้น และนี่คือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียว

จากนั้นเรากำหนดปริภูมิของตัวอย่างเป็น Ω = {H, T}เหตุการณ์ที่เป็นไปได้จะก่อตัวเป็นพีชคณิต σ F ซึ่งประกอบด้วย {∅, {H}, {T}, {H, T}} ในบริบทนี้ เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือ ∅ เหตุการณ์พื้นฐานคือ {H} และ {T} และเหตุการณ์ที่แน่นอนคือ {H, T}

จากสัจพจน์ของ Kolmogorov เราทราบว่า P(∅) = 0 และ P(Ω) = 1ถ้าเราสมมติว่าเหรียญเป็นเหรียญยุติธรรม กล่าวคือ ไม่ได้เอื้อประโยชน์ให้ฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง ความสมมาตรจะบ่งชี้ว่า P({H}) = P({T}) เนื่องจากผลรวม P({H}) + P({T}) ต้องเท่ากับ 1 เราจึงสรุปได้ว่าทั้งสองค่าเท่ากับ 1/2

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ "หัวหรือก้อย" คือ P({H, T}) = 1ความน่าจะเป็นที่จะได้ "หัว" คือ P({H}) = 1/2 และความน่าจะเป็นที่จะได้ "ก้อย" คือ P({T}) = 1/2 ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์พื้นฐานจะครอบคลุมความน่าจะเป็นทั้งหมดของปริภูมิ

แบบจำลองนี้ แม้จะเรียบง่าย แต่ก็แสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ และป้องกันความไม่สอดคล้องกันในการคำนวณความน่าจะเป็นได้อย่างไรหากเราไม่กำหนดปริภูมิของตัวอย่างอย่างระมัดระวัง เราอาจทำผิดพลาดอย่างร้ายแรงได้ เพราะเหตุการณ์ใดๆ ก็ตามจะเป็นเซตย่อยของ Ω เสมอ หากเซตย่อยนั้นไม่พอดีกับ Ω ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นก็จะไม่สามารถกำหนดได้

ความน่าจะเป็นในพื้นที่จำกัดและนับได้

เมื่อปริภูมิของตัวอย่างมีจำนวนจำกัดหรือนับได้ ความน่าจะเป็นสามารถอธิบายได้ในรูปแบบที่ชัดเจนมากสมมติว่า Ω = {ω₁, ω₂, …} เป็นเซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ซึ่งมีจำนวนจำกัดหรือนับได้

ถ้า A เป็นเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์บางอย่างเหล่านี้ เช่น A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}แล้ว ความน่าจะเป็นของ A สามารถมองได้ว่าเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์พื้นฐานที่สอดคล้องกัน: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}) นี่เป็นการประยุกต์ใช้คุณสมบัติการบวก (หรือการบวกแบบ σ) โดยตรงบนเซตที่ไม่ซ้ำกัน

ในกรณีเฉพาะที่ปริภูมิของตัวอย่างมีจำกัด โดยที่ #Ω = n และผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากันเราจะได้ P({ωᵢ}) = 1/n สำหรับแต่ละ i ถ้า A ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน k อย่างใน Ω แล้ว P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω) นี่คือสูตรลาปลาสแบบคลาสสิกที่ถูกตีความใหม่ภายในกรอบแนวคิดเชิงสัจพจน์สมัยใหม่

เมื่อปริภูมิของตัวอย่างเป็นอนันต์ที่นับได้ ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์พื้นฐานยังคงต้องลู่เข้าสู่ 1นั่นคือ Σᵢ P({ωᵢ}) = 1 นี่คือจุดที่สมบัติการบวกแบบ σ แสดงความแข็งแกร่ง ทำให้เราสามารถจัดการได้ไม่เพียงแต่กับผลรวมจำกัดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงอนุกรมอนันต์ของเหตุการณ์ด้วย

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและบทบาทของสัจพจน์

ส่วนสำคัญของทฤษฎีนี้คือการทำความเข้าใจว่าความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเรารู้ว่าเหตุการณ์บางอย่างได้เกิดขึ้นแล้วนี่คือจุดที่ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเข้ามามีบทบาท ซึ่งมักเขียนว่า P(A | B) ซึ่งหมายถึง "ความน่าจะเป็นของ A เมื่อทราบว่า B ได้เกิดขึ้นแล้ว"

สูตรพื้นฐานสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) โดยมีเงื่อนไขว่า P(B) > 0นิยามนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Kolmogorov และในความเป็นจริง สำหรับแต่ละ B ที่มี P(B) > 0 ฟังก์ชัน A ↦ P(A | B) ก็ยังคงสอดคล้องกับสัจพจน์ทั้งสามข้อเมื่อเราจำกัดพื้นที่เหตุการณ์ไว้ที่ B

นี่หมายความว่า P(· | B) เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นบนปริภูมิของตัวอย่าง “ใหม่” Bดังนั้น คุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจึงเป็นจริง ได้แก่ P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, ความเป็นเอกรูปภายใต้เงื่อนไข (ถ้า A₁ ⊆ A₂ แล้ว P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) และสูตร P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B)

นิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขยังได้มาจากความสัมพันธ์ที่สำคัญคือ P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) เมื่อ P(A) > 0ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเขียนได้ว่า P(A ∩ B) = P(B) P(A | B) โดยมีเงื่อนไขว่า P(B) > 0 ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ช่วยในการแยกย่อยความน่าจะเป็นร่วม และเป็นพื้นฐานสำหรับผลลัพธ์หลายประการ เช่น ทฤษฎีบทของเบย์ส

เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่า ความน่าจะเป็นแบบ "ไม่มีเงื่อนไข" สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขอันที่จริง เราสามารถเขียน P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω) ได้ เนื่องจาก P(Ω) = 1 สิ่งนี้ตอกย้ำแนวคิดที่ว่า ในเชิงแนวคิดแล้ว ความน่าจะเป็นทั้งหมดขึ้นอยู่กับข้อมูลพื้นฐานบางอย่าง แม้ว่าจะเป็นเพียงความรู้ว่าเรากำลังทำงานอยู่ภายใน Ω ก็ตาม

ความเป็นอิสระของเหตุการณ์

อีกหนึ่งแนวคิดสำคัญที่อาศัยสัจพจน์คือแนวคิดเรื่องความเป็นอิสระระหว่างเหตุการณ์เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกันหากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่เปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของการเกิดอีกเหตุการณ์หนึ่ง

ในทางทฤษฎีแล้ว เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกันเมื่อ P(A ∩ B) = P(A) P(B)ในแง่ของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นหมายความว่า ถ้า P(B) > 0 แล้ว P(A | B) = P(A) และถ้า P(A) > 0 แล้ว P(B | A) = P(B) กล่าวคือ การรู้ว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้วไม่ได้เปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A และในทางกลับกัน

ทุกเหตุการณ์เป็นอิสระจากเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ∅ และเหตุการณ์ที่แน่นอน Ωสำหรับเซตว่าง P(A ∩ ∅) = 0 และ P(∅) = 0 ดังนั้นความสัมพันธ์จึงเป็นจริงโดยปริยาย สำหรับเหตุการณ์ที่แน่นอน P(A ∩ Ω) = P(A) และ P(Ω) = 1 ดังนั้น P(A ∩ Ω) = P(A) และ P(Ω) = P(A)

คำถามที่พบบ่อยคือ เหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันสามารถเป็นอิสระต่อกันได้หรือไม่โดยทั่วไปแล้ว ถ้า A และ B ไม่เกี่ยวข้องกันและทั้งสองมีโอกาสเกิดขึ้นเป็นบวกแล้ว P(A ∩ B) = 0 แต่ P(A) ≠ P(B) > 0 ซึ่งขัดกับนิยามของความเป็นอิสระ ดังนั้น ในหลายกรณี เหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวข้องกันและมีโอกาสเกิดขึ้นไม่เป็นศูนย์จึงไม่เป็นอิสระต่อกัน เนื่องจากหากเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นจะตัดความเป็นไปได้ของอีกเหตุการณ์หนึ่งออกไป

เมื่อพิจารณาเหตุการณ์มากกว่าสองเหตุการณ์ แนวคิดเรื่องความเป็นอิสระหลายแบบก็เกิดขึ้นเราสามารถมีความเป็นอิสระแบบเป็นคู่ ความเป็นอิสระแบบร่วม และแบบอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในทุกกรณี จุดเริ่มต้นยังคงเป็นความสัมพันธ์ P(A ∩ B) = P(A) P(B) โดยอิงจากสัจพจน์ของ Kolmogorov และนิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

กฎปฏิบัติและกฎความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก

นอกเหนือจากคุณสมบัติเชิงรูปแบบแล้ว สัจพจน์ยังช่วยให้เราสามารถกำหนดกฎการปฏิบัติได้มากขึ้น ซึ่งมีประโยชน์ในงานประจำวันของผู้ที่ทำการคำนวณความน่าจะเป็นหนึ่งในนั้นคือกฎการบวก ซึ่งได้กล่าวถึงไปแล้วในรูปแบบ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ซึ่งสามารถขยายไปสู่จำนวนเหตุการณ์ที่มากขึ้นได้ผ่านหลักการรวมและการแยกออก

กฎอีกข้อหนึ่งที่ใช้กันทั่วไปคือความสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์หนึ่งกับส่วนที่อยู่ "นอกเหนือ" เหตุการณ์อื่นสำหรับ A และ B ใน F จะได้ว่า P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B) นี่คือการแยก A ออกเป็นสองส่วน คือส่วนที่เกิดขึ้นพร้อมกับ B (A ∩ B) และส่วนที่เกิดขึ้นโดยไม่มี B (A ∩ ̄B) สองส่วนนี้แยกจากกัน และการรวมกันของทั้งสองส่วนคือ A ซึ่งนำไปสู่ความเท่าเทียมกันโดยคุณสมบัติการบวก

ถึงแม้ว่ากฎความน่าจะเป็นรวมและทฤษฎีบทของเบย์สจะไม่ได้อธิบายรายละเอียดทั้งหมดในที่นี้ แต่ก็อาศัยสัจพจน์โดยตรงเช่นกัน กฎความน่าจะเป็นรวมเป็นการรวมความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเข้าด้วยกันเพื่อแบ่งพื้นที่ตัวอย่างออกเป็นส่วนๆ ในขณะที่ทฤษฎีบทของเบย์สจะ "กลับด้าน" เงื่อนไข ทำให้สามารถปรับปรุงความน่าจะเป็นตามหลักฐานใหม่ได้

ในฉบับที่เน้นการสอนมากกว่านั้น จะมีการระบุ "สัจพจน์เชิงปฏิบัติ" ที่จำง่ายบางข้อไว้ด้วยเช่น ความน่าจะเป็นสูงสุดคือ 1 (100%); ผลรวมของความน่าจะเป็นขององค์ประกอบทั้งหมดในปริภูมิเหตุการณ์เท่ากับ 1; และความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ X บวกกับความน่าจะเป็นของ "ไม่ใช่ X" จะเท่ากับ 1 เสมอ ข้อความเหล่านี้เป็นการสะท้อนโดยตรงของสัจพจน์เชิงรูปแบบ

ด้วยชุดกฎเหล่านี้ ทำให้สามารถแก้ปัญหาได้หลากหลาย ตั้งแต่เกมเสี่ยงโชคแบบง่ายๆ ไปจนถึงแบบจำลองที่ซับซ้อนซึ่งมีตัวแปรจำนวนมากข้อดีอย่างยิ่งคือ เบื้องหลังสูตรและเทคนิคการคำนวณทั้งหมดนั้น รากฐานทางตรรกะยังคงเป็นหลักการพื้นฐานสามประการเดียวกัน

สัจพจน์ความน่าจะเป็นของโคลโมโกโรฟเป็นพื้นฐานที่เข้มงวดแต่ยืดหยุ่นสำหรับการจัดการกับความไม่แน่นอนจากหลักการง่ายๆ สามข้อ ได้แก่ การไม่เป็นลบ การทำให้เป็นมาตรฐาน และการบวกแบบ σ ได้มีการสร้างทฤษฎีที่สมบูรณ์ขึ้นมา ซึ่งสามารถรวมการตีความแบบคลาสสิก แบบความถี่ และแบบอัตวิสัย จัดการกับปริภูมิจำกัดหรืออนันต์ อธิบายความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและความเป็นอิสระ และสนับสนุนการประยุกต์ใช้ในเกือบทุกสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี