การประมาณค่าเชิงเส้น (Linear interpolation) เป็นวิธีที่ใช้ในการประมาณค่ากลางระหว่างจุดที่ทราบสองจุด วิธีการนี้พิจารณาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างจุดที่ทราบเพื่อหาค่าที่ต้องการ กระบวนการนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในหลากหลายสาขา เช่น คณิตศาสตร์ สถิติศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และอื่นๆ
ในบทความนี้ เราจะครอบคลุมวิธีการประมาณค่าเชิงเส้น พร้อมอธิบายวิธีการคำนวณประเภทนี้อย่างละเอียดทุกขั้นตอน นอกจากนี้ เราจะนำเสนอตัวอย่างแบบฝึกหัดที่แก้โจทย์แล้ว เพื่อช่วยให้เข้าใจและนำวิธีการนี้ไปประยุกต์ใช้จริงได้ง่ายขึ้น เราหวังว่าจะมีส่วนช่วยในการทำความเข้าใจและการใช้การประมาณค่าเชิงเส้นอย่างมีประสิทธิภาพในบริบทต่างๆ
คำแนะนำทีละขั้นตอนในการคำนวณการสอดแทรกอย่างมีประสิทธิภาพ
หากต้องการคำนวณการสอดแทรกอย่างมีประสิทธิภาพ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
ขั้นตอนที่ 1:รวบรวมข้อมูลที่จำเป็นสำหรับปัญหาการประมาณค่าในช่วง ซึ่งรวมถึงค่าที่ทราบของจุดอ้างอิงและค่า x ที่คุณต้องการประมาณค่าในช่วง
ขั้นตอนที่ 2:คำนวณความแตกต่างระหว่างค่า x ที่ทราบแล้วกับค่า x ที่ต้องการใกล้เคียงที่สุด ซึ่งจะช่วยในการกำหนดช่วงการประมาณค่า
ขั้นตอนที่ 3:คำนวณความแตกต่างระหว่างค่า y ที่สอดคล้องกับจุดอ้างอิงที่ใกล้ที่สุด ซึ่งจะกำหนดค่าความแปรผันของ y ในช่วงการประมาณค่า
ขั้นตอนที่ 4:ใช้สูตรการประมาณค่าเชิงเส้นเพื่อคำนวณค่า y สำหรับค่า x ที่ต้องการ สูตรมีดังนี้:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
ขั้นตอนที่ 5:แทนค่าที่ทราบลงในสูตรและแก้สมการเพื่อหาค่า y ที่สอดคล้องกับค่า x ที่ต้องการ
เมื่อปฏิบัติตามขั้นตอนเหล่านี้ คุณจะสามารถคำนวณการสอดแทรกได้อย่างมีประสิทธิภาพและได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้น
เมื่อใดจึงเหมาะสมที่จะใช้การสอดแทรกเชิงเส้นในการวิเคราะห์หรือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์?
การประมาณค่าเชิงเส้น (Linear interpolation)เป็นวิธีการที่ใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือการสร้างแบบจำลอง เมื่อต้องการประมาณค่าระหว่างค่าที่ทราบแล้ว วิธีนี้เหมาะสมเมื่อข้อมูลมีการกระจายตัว แบบ เชิงเส้นและต่อเนื่อง
ตัวอย่างเช่น เมื่อเรามีตารางที่มีค่าของฟังก์ชัน ณ จุดต่างๆ และเราต้องการประมาณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดกึ่งกลาง การประมาณค่าแบบเส้นตรง (linear interpolation)อาจเป็นทางเลือกที่ดี วิธีนี้ประกอบด้วยการลากเส้นตรงระหว่างสองจุดที่ทราบค่า และใช้เส้นตรงนั้นในการประมาณค่าที่ต้องการ
สิ่งสำคัญคือต้องเน้นย้ำว่าการประมาณค่าแบบเชิงเส้นอาจไม่เหมาะสมในกรณีที่ข้อมูลแสดงพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้น เช่น เส้นโค้งหรือการแกว่ง ในกรณีเหล่านี้ วิธีการประมาณค่าแบบอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่าอาจเหมาะสมกว่า
วิธีการเติมช่องว่างในตารางด้วยค่ากลางอย่างมีประสิทธิภาพ
การสอดแทรกเชิงเส้น (Linear interpolation) เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้ในการเติมช่องว่างในตารางด้วยค่ากลางอย่างมีประสิทธิภาพ วิธีนี้ประกอบด้วยการคำนวณค่าที่หายไปโดยอ้างอิงจากค่าที่ทราบในตาราง โดยใช้สูตรง่ายๆ
ในการใช้การสอดแทรกเชิงเส้น คุณต้องมีจุดอย่างน้อยสองจุดที่ทราบในตาราง จากจุดเหล่านี้ คุณสามารถคำนวณค่ากลางโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
โดยที่ Y คือค่ากลางที่เราต้องการหา Y1 และ Y2 คือค่าที่ทราบจากตาราง X1 และ X2 คือค่าที่สอดคล้องกันของ X และ X คือค่าของ X ที่เราต้องการหาค่ากลาง Y
เพื่อเป็นการอธิบาย ลองแก้แบบฝึกหัดปฏิบัติโดยใช้การประมาณค่าเชิงเส้น สมมติว่าเรามีตารางต่อไปนี้:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
ตอนนี้เรามาใช้สูตรการสอดแทรกเชิงเส้นเพื่อหาค่า Y เมื่อ X เท่ากับ 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4 / 2
Y = 3 + 2
Y = 5
ดังนั้นค่า Y เมื่อ X เท่ากับ 2 เท่ากับ 5
อย่างที่เราเห็น การสอดแทรกเชิงเส้นเป็นวิธีการที่ง่ายและมีประสิทธิภาพในการเติมช่องว่างในตารางด้วยค่ากลาง การใช้เทคนิคนี้ทำให้เราได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย
คำแนะนำปฏิบัติในการทำการสอดแทรกกำลังสองอย่างมีประสิทธิภาพ
ในการทำการสอดแทรกกำลังสองอย่างมีประสิทธิภาพ สิ่งสำคัญคือต้องทำตามขั้นตอนง่ายๆ สองสามขั้นตอน ขั้นแรก คุณต้องทราบจุดที่ทราบแล้วที่จะใช้ในการสอดแทรก จากนั้น คุณต้องคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ผ่านจุดเหล่านี้
ในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เราสามารถใช้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุด วิธีนี้ประกอบด้วยการหาฟังก์ชันกำลังสองที่ทำให้ผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างค่าที่คำนวณได้กับค่าจริงของจุดที่ทราบมีค่าน้อยที่สุด
เมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันกำลังสองแล้ว เราสามารถใช้ฟังก์ชันนี้เพื่อสอดแทรกค่าระหว่างจุดที่ทราบได้ โดยใส่ค่าที่ต้องการลงในฟังก์ชันกำลังสอง แล้วหาค่าที่สอดแทรกที่สอดคล้องกัน
สิ่งสำคัญที่ต้องทราบคือ การสอดแทรกแบบกำลังสองมีความแม่นยำมากกว่าการสอดแทรกแบบเชิงเส้น เนื่องจากคำนึงถึงความโค้งของข้อมูล อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญที่ต้องทราบคือ การสอดแทรกแบบกำลังสองอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำน้อยลงในบริเวณที่อยู่ห่างไกลจากจุดที่ทราบ
ดังนั้น เมื่อทำการสอดแทรกกำลังสอง สิ่งสำคัญคือต้องแน่ใจว่าจุดที่ทราบมีการกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอ และฟังก์ชันกำลังสองถูกคำนวณอย่างถูกต้อง ซึ่งจะทำให้ได้ผลลัพธ์การสอดแทรกที่แม่นยำและเชื่อถือได้มากขึ้น
การสอดแทรกเชิงเส้น: วิธีการ, แบบฝึกหัดที่แก้แล้ว
การประมาณ ค่าเชิงเส้น (Linear interpolation)เป็นวิธีการที่พัฒนามาจากวิธีการประมาณค่าแบบนิวตัน (Newton interpolation) ทั่วไป เพื่อกำหนดค่าที่ไม่ทราบค่าซึ่งอยู่ระหว่างตัวเลขสองจำนวน กล่าวคือ หาค่ากลาง วิธีการนี้ยังใช้ในการประมาณค่าฟังก์ชัน โดยที่ทราบค่า f (a)และ f (b)และต้องการทราบค่ากลางของ f (x)ด้วย
การสอดแทรกมีหลายประเภท ได้แก่ การสอดแทรกเชิงเส้น การสอดแทรกกำลังสอง การสอดแทรกกำลังสาม และการสอดแทรกลำดับสูง โดยที่ง่ายที่สุดคือการประมาณค่าเชิงเส้น ข้อเสียของการสอดแทรกเชิงเส้นคือผลลัพธ์จะไม่แม่นยำเท่ากับการประมาณค่าโดยใช้ฟังก์ชันลำดับสูง
คำนิยาม
การสอดแทรกเชิงเส้นเป็นกระบวนการที่ช่วยให้คุณสามารถอนุมานค่าระหว่างค่าที่กำหนดไว้ชัดเจนสองค่า ซึ่งอาจอยู่ในตารางหรือกราฟเชิงเส้นก็ได้
ตัวอย่างเช่น หากคุณรู้ว่านม 3 ลิตรมีมูลค่า 4 ดอลลาร์และนม 5 ลิตรมีมูลค่า 7 ดอลลาร์ แต่คุณต้องการทราบว่านม 4 ลิตรมีมูลค่าเท่าใด คุณก็ทำการประมาณค่าเพื่อหาค่ากลางนั้น
วิธี
ในการประมาณค่ากลางของฟังก์ชัน ฟังก์ชัน f (x)จะถูกประมาณโดยใช้เส้นตรง r (x)ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันแปรผันเชิงเส้นกับ "x" สำหรับช่วง "x = a" และ "x = b" กล่าวคือ สำหรับค่า "x" ในช่วง (x0 , x1 ) y( y0 , y1 )ค่าของ "y" จะกำหนดโดยเส้นตรงระหว่างจุดทั้งสองและแสดงโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:
(ใช่ – y 0 ) ۞ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ۞ (x 1 – x 0 )
เพื่อให้การประมาณค่าเป็นแบบเชิงเส้น พหุนามการประมาณค่าจะต้องมีดีกรีหนึ่ง (n = 1) เพื่อให้สอดคล้องกับค่าของx0 และ x1
การสอดแทรกเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น เมื่ออนุมานนิพจน์ก่อนหน้าทางเรขาคณิต ก็สามารถหาค่าของ "y" ซึ่งแสดงถึงค่าที่ไม่ทราบของ "x" ได้
ดังนั้นคุณต้อง:
a = tan Ɵ = (ด้านตรงข้าม1 ÷ ด้านประชิด1 ) = (ด้านตรงข้าม2 ÷ ด้านประชิด2 )
พูดอีกอย่างหนึ่งก็คือ:
(ใช่ – y 0 ) ۞ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ۞ (x 1 – x 0 )
เมื่อเอาคำว่า “และ” ออกจากนิพจน์ คุณจะได้:
(ป – ย0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (ป1 – ย0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ۞ (x 1 – x 0 )]
ดังนั้นจะได้สมการทั่วไปสำหรับการสอดแทรกเชิงเส้น:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ۞ (x 1 – x 0 )]
โดยทั่วไปการสอดแทรกเชิงเส้นจะให้ข้อผิดพลาดเล็กน้อยในค่าจริงของฟังก์ชันที่แท้จริง แม้ว่าข้อผิดพลาดจะน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับตัวเลขตามสัญชาตญาณของตัวเลขที่ใกล้เคียงกับตัวเลขที่พบก็ตาม
ข้อผิดพลาดนี้เกิดขึ้นเมื่อพยายามประมาณค่าของเส้นโค้งด้วยเส้นตรง ในกรณีเช่นนี้ จะต้องลดขนาดช่วงเพื่อให้การประมาณค่าแม่นยำยิ่งขึ้น
เพื่อผลลัพธ์การประมาณค่าที่ดีที่สุด ขอแนะนำให้ใช้ฟังก์ชันดีกรี 2, 3 หรือสูงกว่าในการอินเทอร์โพเลชัน สำหรับกรณีเหล่านี้ ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มาก
แบบฝึกหัดที่แก้แล้ว
แบบฝึกหัดที่ 1
จำนวนแบคทีเรียต่อหน่วยปริมาตรในการฟักหลังจาก x ชั่วโมงแสดงอยู่ในตารางต่อไปนี้ คุณต้องการทราบปริมาตรของแบคทีเรียในช่วงเวลา 3,5 ชั่วโมง
วิธีการแก้
ตารางอ้างอิงไม่ได้ระบุค่าที่บ่งชี้จำนวนแบคทีเรียในช่วงเวลา 3,5 ชั่วโมง แต่มีค่าที่สูงกว่าและต่ำกว่าที่สอดคล้องกับช่วงเวลา 3 และ 4 ชั่วโมงตามลำดับ ดังนี้
x 0 = 3 และ0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 และ1 = 135
บัดนี้ใช้สมการทางคณิตศาสตร์ในการหาค่าที่สอดแทรกเข้าไป ดังนี้
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
จากนั้นแทนค่าที่สอดคล้องกันดังนี้:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
ดังนั้นจะได้ว่า ในช่วงเวลา 3,5 ชั่วโมง ปริมาณแบคทีเรียคือ 113 ซึ่งถือเป็นระดับกลางระหว่างปริมาณแบคทีเรียที่มีอยู่ ณ เวลา 3 และ 4 ชั่วโมง
แบบฝึกหัดที่ 2
หลุยส์เป็นเจ้าของโรงงานไอศกรีมและต้องการศึกษาเพื่อหารายได้ประจำเดือนสิงหาคมของเขาโดยอ้างอิงจากรายจ่าย ผู้บริหารบริษัทจึงสร้างกราฟที่สะท้อนถึงความสัมพันธ์นี้ แต่หลุยส์ต้องการทราบว่า:
รายรับเดือนสิงหาคมจะเป็นเท่าไรหากมีรายจ่าย 55.000 เหรียญ?
วิธีการแก้
มีกราฟแสดงตัวเลขรายได้และค่าใช้จ่าย หลุยส์ต้องการทราบว่ารายได้ในเดือนสิงหาคมจะเป็นเท่าใด หากโรงงานมีค่าใช้จ่าย 55.000 ดอลลาร์ ตัวเลขนี้ไม่ได้แสดงโดยตรงในกราฟ แต่ตัวเลขสูงกว่าและต่ำกว่า
ขั้นแรก ให้สร้างตารางเพื่อเชื่อมโยงค่าต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย:
ตอนนี้ใช้สูตรการสอดแทรกเพื่อกำหนดค่าของ y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ۞ (x 1 – x 0 )]
จากนั้นแทนค่าที่สอดคล้องกันดังนี้:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $68.936.
หากมีค่าใช้จ่าย 55.000 ดอลลาร์ในเดือนสิงหาคม รายรับก็จะเป็น 68.936 ดอลลาร์
อ้างอิง
- Arthur Goodman, L.H. (1996). พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตวิเคราะห์. Pearson Education.
- ฮาร์ป, พี. ดี. (2000) หัวข้อในทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก
- Hazewinkel, M. (2001). การสอดแทรกเชิงเส้น », สารานุกรมคณิตศาสตร์
- JM (1998). องค์ประกอบของวิธีเชิงตัวเลขสำหรับวิศวกรรม. UASLP.
- E. (2002). ลำดับเวลาของการสอดแทรก: จากดาราศาสตร์โบราณสู่การประมวลผลสัญญาณและภาพสมัยใหม่ รายงานการประชุมของ IEEE
- ตัวเลข I.a. (2006) ซาเวียร์ โทมาส, จอร์ดี้ กัวดรอส, ลูซินิโอ กอนซาเลซ