- Pormal na tinukoy ng mga axiom ni Kolmogorov ang probabilidad bilang isang di-negatibo, normalized, at σ-additive na panukala.
- Mula sa mga axiom na ito, ang mga katangian tulad ng P(∅)=0, 0≤P(A)≤1, mga batas sa pagdaragdag, at mga relasyon sa mga pandagdag ay hinango.
- Ang mga istruktura tulad ng probability space (Ω, F, P), conditional probability, at independence ay direktang bumangon mula sa axiomatic framework na ito.
Ang tanong na "ano ang mga axioms ng probabilidad?" tila simple, ngunit ang sagot ay humahantong sa isang napaka-solid na konstruksyon ng matematika., na nagsimulang mahigpit na inorganisa noong ika-20 siglo sa gawain ni Andrey Kolmogorov. Ang mga axiom na ito ay ang batayan ng halos lahat ng modernong teorya ng posibilidad, mula sa pag-aaral ng mga laro ng pagkakataon hanggang sa mga kumplikadong istatistikal na modelo na ginagamit sa data science, finance, at engineering.
dati Pormalisasyon ng KolmogorovNoong panahong iyon, ang posibilidad ay naunawaan sa isang mas madaling maunawaan na paraan, na nauugnay sa ideya ng dalas o pagkakataon.At iba't ibang mga mathematician ang gumamit ng magkakaibang interpretasyon. Ngayon, kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga axiom ng probabilidad, tinutukoy natin ang isang minimum na hanay ng mga panuntunan na dapat sundin ng anumang function ng probability upang makagawa tayo ng magkakaugnay na mga kalkulasyon, maiwasan ang mga kontradiksyon, at makabuo ng mga makapangyarihang teorema.
Pangunahing intuwisyon: mga random na karanasan at kaganapan
Upang maunawaan ang mga axiom ng probabilidad, ang unang hakbang ay upang malaman kung ano ang isang random na eksperimento at kung ano ang tinatawag nating isang kaganapan.Ang random na eksperimento ay anumang pamamaraan na ang resulta ay hindi mahuhulaan nang may katiyakan, kahit na alam natin ang lahat ng posibleng resulta; ang mga klasikong halimbawa ay ang pag-flip ng barya o pag-roll ng die.
Tinatawag namin ang sample space, na karaniwang tinutukoy ng Ω, ang set ng lahat ng posibleng resulta ng eksperimentong ito.Kung maghahagis tayo ng barya, halimbawa, ang sample space ay maaaring isulat bilang Ω = {H, T}, kung saan ang H ay kumakatawan sa "mga ulo" at ang T ay kumakatawan sa "mga buntot". Ang bawat elemento ng Ω ay tinatawag na elementarya na kinalabasan.
Ang isang kaganapan ay anumang subset ng Ω na interesado kaming obserbahan.Kaya, kung ang eksperimento ay ang paghagis ng isang barya, ang set na {H} ay ang kaganapang "lumalabas ang mga ulo", ang set {T} ay ang kaganapang "bumulong ang mga buntot", at ang Ω mismo ay ang kaganapang "lumalabas ang mga ulo o buntot", iyon ay, isang tiyak na kaganapan.
Ang ilang mga kaganapan ay lalong mahalaga: ang imposibleng kaganapan, ang elementarya na kaganapan, at ang tiyak na kaganapan.Ang walang laman na set ∅ ay kumakatawan sa imposibleng kaganapan, dahil wala itong kinalabasan; isang set na may iisang elemento {ω}, na may ω sa Ω, ay kumakatawan sa isang elementarya na kaganapan; at ang Ω mismo ay ang tiyak na kaganapan, ang isa na palaging nangyayari kapag isinagawa ang eksperimento.
Ang wika ng set theory ay lubhang nakakatulong sa pag-aaral ng probabilidad.Kung ang A at B ay mga kaganapan, kung gayon ang A ∩ B ay kumakatawan sa sabay-sabay na paglitaw ng A at B, A ∪ B ay kumakatawan sa paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga ito, at ang pandagdag ng A, kadalasang isinusulat bilang ̄A o Ω \ A, ay kumakatawan sa "hindi pangyayari ng A". Ang notasyong ito at ang mga katangian ng mga set ay direktang gagamitin sa pagbabalangkas ng mga axiom.
Mga interpretasyon ng konsepto ng probabilidad
Kahit na ang mga axiom ni Kolmogorov ay nagbibigay ng mathematical na batayan para sa probabilidad, ang salitang "probability" mismo ay maaaring bigyang-kahulugan sa iba't ibang paraan.Sa kasaysayan, lumitaw ang iba't ibang interpretasyon tungkol sa kung ano ang ibig sabihin ng pagtalaga ng isang numerong P(A) sa isang kaganapan A.
Sa klasikal na interpretasyon ng Laplace, na wasto para sa mga may hangganang espasyo na may katumbas na mga resulta, ang posibilidad ng A ay ang ratio sa pagitan ng bilang ng mga paborableng kaso at bilang ng mga posibleng kaso.Kung ang sample space ay may n pantay na posibilidad na mga resulta (iyon ay, #Ω = n) at ang kaganapan A ay naglalaman ng n_A ng mga kinalabasan na ito (#A = n_A), ang posibilidad ay ibinibigay ng P(A) = n_A / n. Ang formula na ito ay medyo madaling maunawaan kapag ang lahat ng mga resulta ay may parehong pagkakataon na mangyari.
Na ang madalas na interpretasyon Iniuugnay nito ang posibilidad sa relatibong dalas na naobserbahan sa mga pag-uulit ng isang eksperimento.Mula sa puntong ito ng view, inuulit namin ang random na eksperimento nang n beses at binibilang kung gaano karaming beses nangyari ang event A, na tinatawag ang numerong ito n_A; pagkatapos ay titingnan natin ang limitasyon, habang lumalaki ang n, ng fraction n_A / n. Ang posibilidad ng A ay magiging P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n), sa kondisyon na umiiral ang limitasyong ito.
Mayroon ding subjective na interpretasyon, na malawakang ginagamit sa mga istatistika ng Bayesian, kung saan ang posibilidad ay nauugnay sa antas ng paniniwala ng isang nakapangangatwiran na paksa.Sa diskarteng ito, sinusukat ng P(A) kung gaano tiwala ang isang tao sa paglitaw ng A, na isinasaalang-alang ang magagamit na kaalaman. Hindi karanasan ang "nagdadala" ng posibilidad, ngunit ang paksa na nagtatasa ng kawalan ng katiyakan nang magkakaugnay.
Sa kabila ng iba't ibang interpretasyong ito, lahat sila ay maaaring magkakasamang mabuhay sa loob ng parehong axiomatic framework ng Kolmogorov.Sa madaling salita, hindi alintana kung mas gusto mo ang isang klasikal, madalas, o pansariling pananaw, sa huli ang probabilidad ay ma-modelo sa matematika ng isang function na P na sumusunod sa isang maliit na hanay ng mga axiom tungkol sa isang espasyo ng kaganapan.
Pormal na konstruksyon: probability space at σ-algebras
Inilarawan ni Kolmogorov ang posibilidad sa mga tuntunin ng isang triple (Ω, F, P), na tinatawag na probability space.Sa triple na ito, ang Ω ay ang sample space, ang F ay ang set ng mga posibleng kaganapan (teknikal, isang σ-algebra ng mga subset ng Ω), at ang P ay ang probability function.
Ang σ-algebra F ay isang espesyal na koleksyon ng mga subset ng Ω na nakakatugon sa ilang katangian.Sa mga pangkalahatang termino, kailangang maglaman ng F ang walang laman na set, sarado sa ilalim ng complement (kung ang A ay nasa F, kung gayon ang complement nito ay nasa F din), at sarado sa ilalim ng mabibilang na mga unyon (kung ang A₁, A₂, … ay nasa F, kung gayon ang unyon ng lahat ng mga ito ay nasa F din). Tinitiyak ng istrukturang ito na magagawa natin ang mga nakatakdang operasyon nang hindi umaalis sa uniberso ng mga kaganapan na may mahusay na tinukoy na posibilidad.
Sa pormal na paraan, ang F ay isang σ-algebra sa Ω kapag: Ang walang laman na set ∅ ay kabilang sa F; kung ang A ay nasa F, kung gayon ang pandagdag ng A sa Ω ay kabilang din sa F; at kung ang A₁, A₂, … ay isang (finite o countably infinite) sequence ng mga elemento ng F, kung gayon ang unyon A₁ ∪ A₂ ∪ … ay nasa F. Sa maraming konteksto, F ay tinatawag ding Borel field o σ-field.
Ang probability function na P ay tinukoy sa F at nagtatalaga sa bawat kaganapan E sa F ng isang hindi negatibong tunay na numero.Pagkatapos ay sasabihin namin na ang P(E) ay nasa ℝ at P(E) ≥ 0 para sa lahat ng E sa F. Sa pangkalahatang teorya ng pagsukat, ang mga panukala ay maaaring tumagal sa mga walang katapusang halaga, ngunit sa karaniwang teorya ng posibilidad, ang P(E) ay palaging may hangganan, na nagdudulot ng ilang pagkakaiba kaugnay sa mas pangkalahatang mga panukala.
Ang istrukturang ito (Ω, F, P) na may P(Ω) = 1 ang tinatawag nating probability space.Ang kundisyong P(Ω) = 1 ay mahalaga dahil kinakatawan nito ang ideya na, kapag isinasagawa ang eksperimento, ang ilang resulta sa Ω ay tiyak na magaganap; walang "mga nakatagong resulta" sa labas ng sample space.
Ang tatlong axiom ni Kolmogorov
Ang axiomatic theory ni Kolmogorov ay batay sa tatlong pangunahing axiom na dapat matugunan ng anumang probability function.Ang mga ito ay simpleng sabihin, ngunit napakalakas, dahil halos lahat ng karaniwang katangian ng posibilidad ay nagmula sa kanila.
Unang axiom — Non-negatibiti: Para sa anumang kaganapan A na kabilang sa σ-algebra F, mayroon tayong P(A) ≥ 0. Ibig sabihin, ang mga probabilidad ay hindi kailanman negatibo. Sa ilang higit pang mga kakaibang teorya, pinag-uusapan ang "mga negatibong probabilidad," ngunit ang mga ideyang ito ay lumihis mula sa klasikong balangkas ni Kolmogorov.
Pangalawang axiom - Normalization: Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan na nagaganap ay katumbas ng 1, iyon ay, P(Ω) = 1. Ang axiom na ito ay nagtatatag ng kumbensyon na ang 1 ay tumutugma sa 100% na katiyakan, at ang 0 ay tumutugma sa imposibilidad. Sa higit pang mga elementarya na bersyon, ang axiom na ito ay maaari ding maunawaan bilang nagsasabi na ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng elementarya na kinalabasan ng Ω ay katumbas ng 1.
Pangatlong axiom — σ-additivity: Kung ang A₁, A₂, … ay isang sequence ng pairwise disjoint (tinatawag ding mutually exclusive) na mga kaganapan, kung gayon ang P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ). Ito ay totoo para sa parehong limitado at hindi mabilang na koleksyon ng mga kaganapan. Ang countable additivity property na ito ay ang pangunahing pagkakaiba kumpara sa limitadong additivity.
Sa mas simpleng mga konteksto, ang ilang mga may-akda ay gumagana lamang sa may hangganan na additivity., na nangangailangan na P(A ∪ B) = P(A) + P(B) para sa magkahiwalay na mga kaganapan A at B, at ito ay umaabot sa isang may hangganang bilang ng mga set. Sa kasong ito, sapat na na magtrabaho kasama ang isang set algebra, hindi kinakailangang isang σ-algebra, ngunit ang karaniwang diskarte sa modernong probabilidad ay nangangailangan ng σ-additivity.
Mula sa ikatlong axiom na ito na lumitaw ang ilang mahahalagang kahihinatnan, tulad ng mga pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, at mga batas ng posibilidad.Siya rin ang nasa puso ng ugnayan sa pagitan ng probabilidad at teorya ng pagsukat, na nag-aaral ng mga sukat sa mga set sa medyo pangkalahatang paraan.
Mga katangiang nagmula sa mga axiom
Batay sa tatlong axioms ni Kolmogorov, napatunayan namin ang ilang pangunahing at lubhang kapaki-pakinabang na mga katangian.Ang mga katangiang ito ay hindi ipinapalagay muna: ang mga ito ay lohikal na mga kahihinatnan ng mga axiom.
Ang isa sa mga unang katangian ay ang monotonicity ng probabilidad.Kung ang A at B ay mga kaganapan sa F at ang A ay nasa B (A ⊆ B), kung gayon ang P(A) ≤ P(B). Ang ideya ay intuitive: kung ang B ay sumasaklaw sa lahat ng maaaring mangyari sa A, at marahil higit pa, kung gayon ang B ay hindi maaaring magkaroon ng mas mababang posibilidad kaysa sa A.
Ang isa pang pangunahing katangian ay ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero.Mula sa isang pormal na pananaw, gamit ang σ-additivity, isinasaalang-alang namin ang isang sequence kung saan ang E₁ = A, E₂ = B \ A at Eᵢ = ∅ para sa i ≥ 3, sa isang senaryo kung saan ang A ⊆ B. Dahil ang Eᵢ ay magkahiwalay at ang kanilang unyon ay B, ang kabuuan ng mga probabilities ay dapat na P(B). Kung ipagpalagay natin na ang P(∅) = a > 0, kung gayon ang kabuuan ng P(∅) na walang hanggan maraming beses ay sasabog hanggang sa infinity, na hindi tugma sa may hangganan na P(B). Kaya't napagpasyahan namin na ang P(∅) = 0.
Samakatuwid, maaari nating sabihin ang hindi pagkakapantay-pantay 0 ≤ P(E) ≤ 1 para sa anumang kaganapan E sa F.Alam na natin na ang P(E) ≥ 0 mula sa unang axiom. Alam na ang P(Ω) = 1 at ang paggamit ng monotonicity na may E ⊆ Ω, sumusunod na ang P(E) ≤ P(Ω) = 1. Kaya, ang bawat probabilidad ay palaging nasa pagitan ng 0 at 1, kasama.
Ang karaniwang ginagamit na pagkakakilanlan ay ang tinatawag na additive law para sa alinmang dalawang kaganapan.Para sa mga kaganapan A at B sa F, pinaniniwalaan nito na P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Itinutuwid ng formula na ito ang "double counting" ng karaniwang kaganapan A ∩ B, na idinaragdag nang dalawang beses kung susumahin natin ang P(A) at P(B) nang walang pagsasaayos.
Ang isa pang mahalagang kahihinatnan ay ang ugnayan sa pagitan ng isang kaganapan at pandagdag nito.Kung tinutukoy natin ang pandagdag ng A sa pamamagitan ng ̄A, kung gayon ang P(̄A) = 1 − P(A). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay naghahatid ng ideya na "alinman sa A mangyari o A ay hindi mangyayari," at walang ibang posibilidad sa loob ng Ω.
Mula dito, nagiging malinaw din na ang P(A) = 0 ay hindi kinakailangang magpahiwatig na ang A ay ang imposibleng kaganapan.Sa mathematical terms, posibleng magkaroon ng zero probability ang isang event nang hindi ito ang empty set (lumalabas ito, halimbawa, sa mga tuluy-tuloy na espasyo), ngunit sa pinaka-elementarya na antas, ang P(A) = 0 ay karaniwang nauugnay sa halos imposibleng mga kaganapan.
Praktikal na halimbawa: pag-flip ng barya
Ang isang klasiko at napaka-didactic na halimbawa para sa paggunita sa mga axiom ni Kolmogorov ay ang paghagis ng isang barya.Ipagpalagay natin, sa simula, na ang barya ay maaari lamang mapunta sa "mga ulo" (H) o "mga buntot" (T), at ito lamang ang mga posibleng resulta.
Pagkatapos ay tinukoy namin ang sample space bilang Ω = {H, T}Ang mga posibleng kaganapan ay bumubuo ng σ-algebra F na binubuo ng {∅, {H}, {T}, {H, T}}. Sa kontekstong ito, ang imposibleng kaganapan ay ∅, ang elementarya na mga kaganapan ay {H} at {T}, at ang tiyak na kaganapan ay {H, T}.
Mula sa mga axiom ni Kolmogorov, alam natin na ang P(∅) = 0 at P(Ω) = 1Kung ipagpalagay natin na ang barya ay patas, iyon ay, hindi ito pumapabor sa magkabilang panig, kung gayon ang simetrya ay nagmumungkahi na P({H}) = P({T}). Dahil ang kabuuan ng P({H}) + P({T}) ay dapat na katumbas ng 1, napagpasyahan namin na pareho ay nagkakahalaga ng 1/2.
Samakatuwid, ang posibilidad na makakuha ng "mga ulo o buntot" ay P({H, T}) = 1Ang posibilidad na makakuha ng "mga ulo" ay P({H}) = 1/2 at ang posibilidad na makakuha ng "mga buntot" ay P({T}) = 1/2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng elementarya na mga kaganapan ay umuubos sa kabuuang posibilidad ng espasyo.
Ang modelong ito, bagama't simple, ay naglalarawan kung paano kumikilos ang mga axiom sa pagsasanay at kung paano nila pinipigilan ang mga hindi pagkakapare-pareho sa mga pagkalkula ng posibilidad.Kung hindi natin maingat na tutukuyin ang sample space, maaari tayong gumawa ng mga seryosong pagkakamali, dahil ang anumang kaganapan ay palaging isang subset ng Ω; kung ang subset ay hindi magkasya sa Ω, ang probabilidad nito ay hindi kahit na tinukoy.
Probability sa may hangganan at mabibilang na mga puwang
Kapag may hangganan o mabibilang ang sample space, maaaring ilarawan ang probabilidad sa napakakonkretong paraan.Ipagpalagay na ang Ω = {ω₁, ω₂, …} ay isang may hangganan o mabibilang na hanay ng mga posibleng resulta.
Kung ang A ay isang kaganapan na naglalaman ng ilan sa mga resultang ito, gaya ng A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Samakatuwid, ang probabilidad ng A ay makikita bilang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaukulang elementarya na kaganapan: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Ito ay isang direktang aplikasyon ng additivity (o σ-additivity) sa disjoint set.
Sa partikular na kaso kung saan ang sample space ay may hangganan, na may #Ω = n, at lahat ng resulta ay equiprobableMayroon kaming P({ωᵢ}) = 1/n para sa bawat i. Kung ang A ay naglalaman ng k natatanging resulta sa Ω, kung gayon ang P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Ito ang eksaktong klasikong formula ng Laplace na muling binibigyang kahulugan sa loob ng modernong axiomatic framework.
Kapag ang sample space ay countably infinite, ang kabuuan ng probabilities ng elementary event ay kailangan pa ring mag-converge sa 1.Ibig sabihin, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1. Dito ipinapakita ng σ-additivity ang lakas nito, na nagpapahintulot sa atin na makitungo hindi lamang sa mga may hangganang kabuuan, kundi pati na rin sa walang katapusang serye ng mga kaganapan.
Conditional probability at ang papel ng mga axiom.
Ang isang sentral na aspeto ng teorya ay ang pag-unawa kung paano nagbabago ang posibilidad kapag alam natin na ang isang tiyak na kaganapan ay naganap na.Dito pumapasok ang conditional probability, kadalasang isinusulat bilang P(A | B), na nangangahulugang "ang probabilidad ng A na ibinigay na naganap ang B".
Ang pangunahing formula para sa conditional probability ay P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), sa kondisyon na P(B) > 0Ang kahulugan na ito ay naaayon sa mga axiom ni Kolmogorov, at sa katunayan, para sa bawat B na may P(B) > 0, ang function na A ↦ P(A | B) ay muling natutugunan ang tatlong axiom kapag nililimitahan natin ang espasyo ng kaganapan sa B.
Nangangahulugan ito na ang P(· | B) mismo ay isang probability function sa "bagong" sample space B.Bilang kinahinatnan, ang lahat ng mga pangunahing katangian ay humahawak para sa mga probabilidad na may kondisyon: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, conditional monotonicity (kung A₁ ⊆ A₂, pagkatapos ay P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | P₂ | B()₁ | at ang formula P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).
Ang kahulugan ng conditional probability ay nagbibigay din ng mahalagang relasyon P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), kapag P(A) > 0.Sa simetriko, maaari nating isulat ang P(A ∩ B) = P(B) P(A | B), sa kondisyon na ang P(B) > 0. Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nakakatulong upang mabulok ang magkasanib na mga probabilidad at ang batayan para sa ilang mga resulta, tulad ng Bayes' Theorem.
Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang "walang kondisyon" na posibilidad ay makikita bilang isang partikular na kaso ng kondisyon na posibilidad.Sa katunayan, maaari nating isulat ang P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω), dahil ang P(Ω) = 1. Pinapatibay nito ang ideya na, sa konsepto, ang lahat ng posibilidad ay may kondisyon sa ilang background na impormasyon, kahit na ito ay ang kaalaman lamang na tayo ay nagtatrabaho sa loob ng Ω.
Kalayaan ng mga pangyayari
Ang isa pang pangunahing konsepto na umaasa sa mga axiom ay ang pagsasarili sa pagitan ng mga kaganapan.Ang dalawang kaganapan A at B ay independyente kung ang paglitaw ng isa ay hindi nagbabago sa posibilidad ng isa pa.
Sa pormal na wika, ang A at B ay independyente kapag P(A ∩ B) = P(A) P(B)Sa mga tuntunin ng conditional probability, ito ay nagpapahiwatig na kung P(B) > 0, pagkatapos ay P(A | B) = P(A), at kung P(A) > 0, pagkatapos ay P(B | A) = P(B). Iyon ay, ang pag-alam na nangyari ang B ay hindi nagbabago sa posibilidad ng A, at kabaliktaran.
Ang bawat kaganapan ay independiyente sa imposibleng kaganapan ∅ at ang tiyak na kaganapan Ω.Para sa walang laman na hanay, P(A ∩ ∅) = 0 at P(∅) = 0, kaya ang kaugnayan ay walang kabuluhan. Para sa tiyak na kaganapan, P(A ∩ Ω) = P(A) at P(Ω) = 1, samakatuwid P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).
Ang isang karaniwang tanong ay kung ang dalawang magkahiwalay na kaganapan ay maaaring maging independyente.Sa pangkalahatan, kung ang A at B ay magkahiwalay at parehong may positibong posibilidad, kung gayon ang P(A ∩ B) = 0, ngunit ang P(A) P(B) > 0, na lumalabag sa kahulugan ng kasarinlan. Kaya, sa maraming mga kaso, ang dalawang magkahiwalay na kaganapan na may di-zero na posibilidad ay hindi independyente, dahil ang paglitaw ng isa ay hindi kasama ang posibilidad ng isa.
Kapag nakikitungo sa higit sa dalawang kaganapan, maraming iba't ibang mga ideya ng kalayaan ang lumitaw.Maaari tayong magkaroon ng pairwise independence, joint independence, at iba pang uri. Sa lahat ng mga kasong ito, gayunpaman, ang panimulang punto ay nananatiling ugnayan P(A ∩ B) = P(A) P(B), batay sa mga axiom ni Kolmogorov at ang kahulugan ng conditional probability.
Mga praktikal na tuntunin at klasikal na batas ng posibilidad
Higit pa sa kanilang mga pormal na katangian, pinapayagan ng mga axiom ang pagbuo ng higit pang mga batas sa pagpapatakbo, na kapaki-pakinabang sa pang-araw-araw na gawain ng mga nagsasagawa ng mga pagkalkula ng posibilidad.Ang isa sa mga ito ay ang tinatawag na batas ng karagdagan, na nabanggit na sa anyong P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), na maaaring palawigin sa mas malaking bilang ng mga kaganapan sa pamamagitan ng prinsipyo ng pagsasama-pagbubukod.
Ang isa pang karaniwang ginagamit na panuntunan ay ang kaugnayan sa pagitan ng isang kaganapan at sa "labas" nitong bahagi ng isa pang kaganapan.Para sa A at B sa F, ang mga sumusunod ay mayroong: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Ito ay simpleng nabubulok ang A sa dalawang bahagi: ang bahagi na nangyayari kasama ng B (A ∩ B) at ang bahagi na nangyayari nang walang B (A ∩ ̄B). Ang dalawang bahaging ito ay magkahiwalay, at ang kanilang unyon ay A, na humahantong sa nakaraang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng additivity.
Ang batas ng kabuuang posibilidad at Bayes' Theorem, bagama't hindi ganap na detalyado dito, ay direktang umaasa din sa mga axiom.Pinagsasama ng batas ng kabuuang probabilidad ang mga probabilidad na may kondisyon sa isang partition ng sample space, habang ang Bayes' Theorem ay "inverts" conditional, na nagpapahintulot sa mga probabilities na ma-update batay sa bagong ebidensya.
Sa mas maraming didactic na bersyon, nakalista din ang ilang madaling kabisaduhin na "mga praktikal na axiom".Halimbawa: ang pinakamataas na posibilidad ay 1 (100%); ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng elemento sa sample space ay katumbas ng 1; at ang posibilidad ng isang pangyayaring X na idinagdag sa probabilidad ng "hindi X" ay palaging 1. Ang mga pahayag na ito ay direktang sumasalamin ng mga pormal na axiom.
Sa hanay ng mga batas na ito, nagiging posible na malutas ang mga problema mula sa mga simpleng laro ng pagkakataon hanggang sa mga sopistikadong modelo na may maraming variable.Ang malaking kalamangan ay na, sa likod ng lahat ng mga formula at mga trick sa pagkalkula, ang lohikal na suporta ay nananatiling parehong axiomatic tripod.
Ang mga axioms ng probabilidad ni Kolmogorov ay nagbibigay ng isang mahigpit ngunit nababaluktot na batayan para sa pagharap sa kawalan ng katiyakan.Batay sa tatlong simpleng prinsipyo—non-negatibiti, normalisasyon, at σ-additivity—isang buong mayamang teorya ang nabuo, na may kakayahang magsama ng mga klasikal, madalas, at pansariling interpretasyon, paghawak ng may hangganan o walang hanggan na mga espasyo, naglalarawan ng mga kondisyon na probabilidad at pagsasarili, at sumusuporta sa mga aplikasyon sa halos lahat ng siyentipiko at teknolohikal na larangan.