Ang linear interpolation ay isang paraan na ginagamit upang tantyahin ang mga intermediate na halaga sa pagitan ng dalawang kilalang puntos. Isinasaalang-alang ng pamamaraang ito ang isang linear na relasyon sa pagitan ng mga kilalang punto upang matukoy ang halaga ng interes. Ang prosesong ito ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan, tulad ng matematika, istatistika, engineering, at iba pa.
Sa artikulong ito, tatalakayin namin ang linear interpolation na paraan, na nagpapaliwanag ng sunud-sunod na paraan kung paano gagawin ang ganitong uri ng pagkalkula. Magpapakita din kami ng mga halimbawa ng mga nalutas na pagsasanay upang mapadali ang pag-unawa at praktikal na aplikasyon ng paraang ito. Sa pamamagitan nito, umaasa kaming makapag-ambag sa pag-unawa at mahusay na paggamit ng linear interpolation sa iba't ibang konteksto.
Hakbang sa hakbang na gabay upang maisagawa ang pagkalkula ng interpolation nang mahusay.
Upang mahusay na magsagawa ng pagkalkula ng interpolation, sundin ang mga hakbang na ito:
Hakbang 1: Tipunin ang datos na kailangan para sa problema sa interpolasyon. Kabilang dito ang mga kilalang halaga ng mga reference point at ang x-value na gusto mong i-interpolate.
Hakbang 2: Kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kilalang halaga ng x na pinakamalapit sa nais na halaga ng x. Makakatulong ito upang matukoy ang agwat ng interpolasyon.
Hakbang 3: Kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga y-value na katumbas ng pinakamalapit na mga reference point. Matutukoy nito ang pagkakaiba-iba ng y sa interpolation interval.
Hakbang 4: Gamit ang linear interpolation formula, kalkulahin ang halaga ng y para sa ninanais na halaga ng x. Ang pormula ay ibinibigay ng:
y = y1 + [(x – x1)/(x2 – x1)] * (y2 – y1)
Hakbang 5: Palitan ang mga kilalang halaga sa pormula at lutasin upang makuha ang halaga ng y na tumutugma sa nais na halaga ng x.
Sa pamamagitan ng pagsunod sa mga hakbang na ito, magagawa mong mahusay na magsagawa ng pagkalkula ng interpolation at makakuha ng mga tumpak na resulta para sa problemang nasa kamay.
Kailan angkop na gumamit ng linear interpolation sa mathematical analysis o modeling?
Ang linear interpolation ay isang pamamaraan na ginagamit sa mathematical analysis o modeling kapag ninanais na tantyahin ang mga intermediate value mula sa mga kilalang value. Ang pamamaraang ito ay angkop kapag ang data ay ipinamamahagi sa isang linear at tuluy-tuloy na paraan.
Halimbawa, kapag mayroon tayong talahanayan na may mga halaga ng isang function sa mga hiwalay na punto at gusto nating tantyahin ang halaga ng function para sa isang intermediate point, ang linear interpolation ay maaaring maging isang magandang pagpipilian. Binubuo ito ng pagguhit ng isang tuwid na linya sa pagitan ng dalawang kilalang punto at paggamit ng linyang iyon upang tantyahin ang nais na halaga.
Mahalagang bigyang-diin na ang linear interpolation ay maaaring hindi angkop sa mga pagkakataon kung saan ang datos ay nagpapakita ng di-linear na pag-uugali, tulad ng mga kurba o osilasyon. Sa mga kasong ito, maaaring mas angkop ang iba pang mas kumplikadong mga pamamaraan ng interpolation.
Paano mahusay na punan ang mga puwang sa isang talahanayan na may mga intermediate na halaga.
Ang linear interpolation ay isang paraan na ginagamit upang mahusay na punan ang mga puwang sa isang talahanayan na may mga intermediate na halaga. Ang pamamaraang ito ay binubuo ng pagkalkula ng mga nawawalang halaga batay sa mga kilalang halaga sa talahanayan, gamit ang isang simpleng formula.
Upang maglapat ng linear interpolation, kailangan mo ng hindi bababa sa dalawang kilalang puntos sa talahanayan. Mula sa mga puntong ito, maaari mong kalkulahin ang mga intermediate na halaga gamit ang sumusunod na formula:
Y = Y1 + (X – X1) * (Y2 – Y1) / (X2 – X1)
Kung saan ang Y ay ang intermediate na halaga na gusto nating hanapin, ang Y1 at Y2 ay ang mga kilalang halaga mula sa talahanayan, ang X1 at X2 ay ang mga katumbas na halaga ng X at X ay ang halaga ng X kung saan nais nating hanapin ang intermediate na halaga Y.
Upang ilarawan, lutasin natin ang isang praktikal na ehersisyo gamit ang linear interpolation. Ipagpalagay na mayroon kaming sumusunod na talahanayan:
| X | Y |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 3 | 7 |
Ngayon, gamitin natin ang linear interpolation formula upang mahanap ang halaga ng Y kapag ang X ay katumbas ng 2:
Y = 3 + (2 – 1) * (7 – 3) / (3 – 1)
Y = 3 + 1 * 4/2
Y = 3 + 2
Y = 5
Samakatuwid, ang halaga ng Y kapag ang X ay katumbas ng 2 ay 5.
Tulad ng nakikita natin, ang linear interpolation ay isang simple at mahusay na paraan para sa pagpuno ng mga puwang sa isang talahanayan na may mga intermediate na halaga. Gamit ang diskarteng ito, makakakuha tayo ng mga tumpak na resulta nang mabilis at madali.
Praktikal na gabay sa mahusay na pagsasagawa ng quadratic interpolation.
Upang maisagawa nang mahusay ang quadratic interpolation, mahalagang sundin ang ilang simpleng hakbang. Una, kailangan mong magkaroon ng mga kilalang puntos na gagamitin para sa interpolation. Pagkatapos, kailangan mong kalkulahin ang mga coefficient ng quadratic function na dumadaan sa mga puntong ito.
Upang kalkulahin ang mga coefficient ng isang quadratic function, maaari naming gamitin ang paraan ng hindi bababa sa mga parisukat. Ang pamamaraang ito ay binubuo ng paghahanap ng quadratic function na nagpapaliit sa kabuuan ng mga parisukat ng mga pagkakaiba sa pagitan ng mga kinakalkula na halaga at ang aktwal na mga halaga ng mga kilalang puntos.
Kapag nakalkula na ang mga coefficient ng quadratic function, magagamit natin ito upang i-interpolate ang mga halaga sa pagitan ng mga kilalang puntos. Upang gawin ito, isaksak lamang ang nais na halaga sa quadratic function at makuha ang katumbas na interpolated na halaga.
Mahalagang tandaan na ang quadratic interpolation ay mas tumpak kaysa sa linear na interpolation dahil isinasaalang-alang nito ang curvature ng data. Gayunpaman, mahalagang tandaan na ang quadratic interpolation ay maaaring humantong sa hindi gaanong tumpak na mga resulta sa mga rehiyong malayo sa mga kilalang punto.
Samakatuwid, kapag nagsasagawa ng quadratic interpolation, mahalagang tiyakin na ang mga kilalang puntos ay pantay na ipinamamahagi at na ang quadratic function ay kinakalkula nang tama. Nagbibigay-daan ito para sa mas tumpak at maaasahang mga resulta ng interpolation.
Linear Interpolation: Method, Solved Exercises
Ang linear interpolation ay isang pamamaraan na hango sa pangkalahatang Newton interpolation at approximation upang matukoy ang isang hindi kilalang halaga na nasa pagitan ng dalawang numero; ibig sabihin, isang intermediate value ang matatagpuan. Ginagamit din ito sa mga approximate function kung saan ang mga halagang f (a) at f (b) ay alam at gusto mong malaman ang intermediate ng f (x).
Mayroong iba't ibang uri ng interpolation, kabilang ang linear, quadratic, cubic, at higher-order na interpolation, na ang pinakasimpleng ay linear approximation. Ang tradeoff na may linear interpolation ay ang resulta ay hindi magiging kasing-tumpak ng mga approximation gamit ang mga function na mas mataas ang pagkakasunud-sunod.
Kahulugan ng
Ang linear interpolation ay isang proseso na nagbibigay-daan sa iyong mag-deduce ng value sa pagitan ng dalawang well-defined value, na maaaring nasa table o linear graph.
Halimbawa, kung alam mo na ang 3 litro ng gatas ay nagkakahalaga ng $4 at ang 5 litro ay nagkakahalaga ng $7, ngunit gusto mong malaman kung ano ang halaga ng 4 na litro ng gatas, i-interpolate mo upang mahanap ang intermediate na halaga.
Paraan
Upang matantya ang isang intermediate na halaga ng isang punsiyon, ang punsiyon na f (x) ay tinatantya sa pamamagitan ng linyang r (x) , na nangangahulugang ang punsiyon ay nag-iiba nang linear sa "x" para sa isang seksyong "x = a" at "x = b"; ibig sabihin, para sa isang halagang "x" sa pagitan (x0 , x1 ) y( y0 , y1 ) , ang halaga ng "y" ay ibinibigay ng linya sa pagitan ng mga punto at ipinapahayag ng sumusunod na kaugnayan:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Para maging linear ang isang interpolasyon, ang interpolasyon polynomial ay dapat nasa degree one (n = 1) upang magkasya ito sa mga halaga ng x0 at x1.
Ang linear interpolation ay batay sa pagkakapareho ng mga tatsulok, upang sa pamamagitan ng geometrically deriving sa nakaraang expression, posible na makuha ang halaga ng «y», na kumakatawan sa hindi kilalang halaga para sa «x».
Samakatuwid, dapat mong:
a = tan Ɵ = (kabaligtaran ng binti 1 ÷ katabing binti 1 ) = (kabaligtaran ng binti 2 ÷ katabing binti 2 )
Ipinahayag sa ibang paraan, ito ay:
(y – y 0 ) ÷ (x – x 0 ) = (y 1 – y 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )
Ang pag-alis ng "at" mula sa mga expression, mayroon kang:
(y – y 0 ) * (x 1 – x 0 ) = (x – x 0 ) * (y 1 – y 0 )
(y – y 0 ) = (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Kaya, ang pangkalahatang equation para sa linear interpolation ay nakuha:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Sa pangkalahatan, ang linear interpolation ay nagbibigay ng maliit na error sa aktwal na halaga ng tunay na function, bagama't ang error ay minimal kumpara sa intuitive na numero ng isang numerong malapit sa nahanap.
Ang error na ito ay nangyayari kapag sinusubukang tantiyahin ang halaga ng isang curve na may tuwid na linya; sa ganitong mga kaso, dapat bawasan ang laki ng agwat upang gawing mas tumpak ang pagtatantya.
Para sa pinakamahusay na mga resulta ng pagtatantya, ipinapayong gumamit ng mga function ng degree 2, 3, o kahit na mas mataas na degree upang maisagawa ang interpolation. Para sa mga kasong ito, ang teorama ni Taylor ay isang napaka-kapaki-pakinabang na kasangkapan.
Nalutas ang mga pagsasanay
Pagsasanay 1
Ang bilang ng bakterya sa bawat dami ng yunit sa isang incubation pagkatapos ng x oras ay ipinapakita sa sumusunod na talahanayan. Gusto mong malaman ang dami ng bacteria sa loob ng 3,5 oras na panahon.
Solusyon
Ang reference table ay hindi nagtatatag ng value na nagsasaad ng bilang ng bacteria sa loob ng 3,5 na oras, ngunit mayroong mas mataas at mas mababang halaga na tumutugma sa isang panahon na 3 at 4 na oras, ayon sa pagkakabanggit. kaya:
x 0 = 3 at 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 at 1 = 135
Ngayon ang mathematical equation ay inilapat upang mahanap ang interpolated na halaga, na kung saan ay ang mga sumusunod:
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )].
Pagkatapos ang kaukulang mga halaga ay pinalitan:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Kaya, nakuha na, sa loob ng 3,5 oras, ang dami ng bakterya ay 113, na kumakatawan sa isang intermediate na antas sa pagitan ng dami ng bakterya na umiiral sa mga oras ng 3 at 4 na oras.
Pagsasanay 2
Si Luis ay nagmamay-ari ng isang pagawaan ng sorbetes at gustong magsagawa ng pag-aaral upang matukoy ang kanyang kita noong Agosto batay sa kanyang mga gastos. Gumagawa ang administrator ng kumpanya ng graph na nagpapakita ng kaugnayang ito, ngunit gustong malaman ni Luis:
Ano ang kita para sa Agosto kung ang gastos na $55.000 ay ginawa?
Solusyon
Ang isang graph na nagpapakita ng mga bilang ng kita at gastos ay ibinigay. Gustong malaman ni Luis kung ano ang magiging kita sa Agosto kung ang pabrika ay may gastos na $55.000. Ang figure na ito ay hindi direktang ipinapakita sa graph, ngunit ang mga figure ay mas mataas at mas mababa kaysa doon.
Una, ang isang talahanayan ay ginawa upang madaling maiugnay ang mga halaga:
Ngayon ang interpolation formula ay ginagamit upang matukoy ang halaga ng y
y = y 0 + (y 1 – y 0 ) * [(x – x 0 ) ÷ (x 1 – x 0 )]
Pagkatapos ang kaukulang mga halaga ay pinalitan:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $68.936.
Kung ang isang gastos na $55.000 ay ginawa noong Agosto, ang kita ay $68.936.
Mga sanggunian
- Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra at Trigonometry na may Analytic Geometry. Edukasyon ng Pearson.
- Harpe, P. d. (2000) Mga Paksa sa Geometric Group Theory. Pamantasan ng Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linear interpolation », Encyclopedia of Mathematics.
- JM (1998). Mga elemento ng numerical na pamamaraan para sa engineering. UASLP.
- E. (2002). Isang kronolohiya ng interpolation: mula sa sinaunang astronomiya hanggang sa modernong signal at pagproseso ng imahe. Mga pamamaraan ng IEEE.
- numeric, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.