Kesirlerin ondalık sayılara dönüştürülmesi nasıl öğretilir

Başlatma » Bilim » Matematik » Kesirlerin ondalık sayılara dönüştürülmesi nasıl öğretilir

Dönüşümün öğretilmesi kesirler Ondalık sayıları ifade etmek çoğu öğrencinin korktuğu matematik konularından biridir....ama gerçek hayatta her zaman karşımıza çıkar: kahvenin fiyatında, meyvenin ağırlığında, elektrik faturasında, marketteki indirim oranında. Öğretmen bu kavramları günlük hayata bağlamayı başardığında, sınıf sadece "hesaplamalar" yapmadıklarını, aynı zamanda sayıların dünyada nasıl işlediğini de anladıklarını fark eder.

Bu yazıda kesirlerin basit bir dille adım adım tam açıklamasını bulacaksınız. ondalık kesirler ve ondalık sayılarBu, biraz tarihçe, bu sayıların nasıl okunup yazılacağı, kesirlerden ondalık sayılara ve ondalık sayılardan kesirlere nasıl dönüştürüleceği, temel işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) ve ondalık sayıların karşılaştırılması konularını içerir. Amaç, bir ilkokul öğrencisinin konuya hakim olması için ihtiyaç duyduğu her şeyi ve bir öğretmenin konuyu güvenle anlatması için ihtiyaç duyduğu her şeyi tek bir yerde bir araya getirmektir.

Kesirler nedir ve neden ortaya çıkmıştır?

Kesirler, bir şeyi temsil etmenin yollarıdır bir bütün miktarın parçalarıİnsanlar her zaman bir şeyin "parçalarıyla" nasıl başa çıkacaklarını bilememişlerdir; bu, uzunlukları, araziyi, yiyecek miktarlarını, ağırlıkları vb. ölçmek gerekli hale geldiğinde ortaya çıkmaya başladı. Gerçeklik daha hassas ölçümler gerektirdiği andan itibaren kesirler vazgeçilmez hale geldi.

Mısırlılar gibi eski toplumlar da kesirleri kullanıyorlardı ama bizimkinden çok farklı bir şekilde.Neredeyse her zaman payı 1, paydası tam sayı olan kesirlerle çalışırlardı: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 vb. Bu kesirlere "Mısır kesirleri" denirdi ve başka nicelikleri temsil etmeleri gerektiğinde, birkaçını birleştirirlerdi. Örneğin, 5/6, 1/2 + 1/3 şeklinde yazılırdı.

Babilliler ise paydası 60 olan kesirleri kullanmayı tercih ediyorlardı.Bu durum, 60'ın küçük bir sayı olmasına rağmen, birçok tam sayı bölenine (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30) sahip olması ve bu sayede eşit parçalara bölünmesiyle ilişkili olabilir. Bugün bile dakikayı 60 saniyeye, saati de 60 dakikaya bölmemiz tesadüf değildir.

Romalılar paydası 12 olan kesirleri sıklıkla kullanırlardı.Ayrıca 12, birden fazla böleni (2, 3, 4, 6) olan bir sayıdır. Yüzyıllar boyunca kesirleri yazmak için birçok farklı gösterim kullanılmış, ta ki bugün bildiğimiz biçim (pay üstte, payda altta ve aralarında bir çizgi) 16. yüzyıl civarında yerleşene kadar.

Ondalık kesirler ve ondalık sayıların kökeni

Tüm kesirler arasında paydanın bir olduğu özel bir tür vardır. 10'un kuvvetiYani 10, 100, 1000, 10.000 ve böyle devam ediyor. Bunlara sözde... ondalık kesirlerKlasik örneklerden bazıları şunlardır:

• 1/10
• 3/100
• 23/100
• 1/1000
• 1/10³

Bugün kullandığımız ondalık sayılar da tam olarak bu ondalık kesirlerden ortaya çıkmıştır.Örneğin, 1/2 kesri 5/10 olarak yazılabilir ve bu da ondalık sayı 0,5'e karşılık gelir. Dolayısıyla, her ondalık kesir, virgülle ayrılmış, tam sayı ve ondalık sayı kısımlarından oluşan bir sayı ile gösterilebilir.

Önemli bir örnek, ondalık sayı 127 olarak yeniden yazılabilen 1,27/100 kesridir.Bu durumda 1 tam sayı kısmını, 27 ise ondalık kısmını temsil eder. Bu eşitlik şu şekilde anlaşılabilir: 127/100 = (100 + 27)/100 = 100/100 + 27/100 = 1 + 0,27 = 1,27.

1'den küçük ondalık sayıların da (örneğin 0,8) olabileceğini ve bunun 8/10 kesrine karşılık geldiğini unutmayın.Burada tam sayı kısmı 0, ondalık kısım ise 8'dir. Pay (8), paydadan (10) küçük olduğundan, elde edilen değer 1'den küçüktür.

Ondalık kesirler ile ondalık sayılar arasındaki bağlantı zamanla daha da belirginleşti.1585 yılında Hollandalı matematikçi ve mühendis Simon Stevin, kesirlerin açıkça kullanılmasından vazgeçerek, yalnızca tam sayılar kullanarak hesaplamalar yapmak için bir yöntem önerdi. Ondalık noktasının konumunu, rakamların üzerindeki küçük sayılarla gösterdi ve bu yöntem daha sonra İskoç matematikçi John Napier tarafından uyarlandı.

Daha sonra, 1617 civarında Napier, tam sayı kısmını ondalık kısımdan ayırmak için nokta veya virgül kullanılmasını önerdi.Bu fikir, bugünkü biçimine ulaşana kadar pekişti: örneğin, 437/100, 4,37 olarak yazılır. O zamandan beri, ondalık sayılar, özellikle ondalık metrik sistemin oluşturulmasından sonra, hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirdi.

Ondalık sayılar nasıl okunur ve yorumlanır?

Kesirlerin ondalık sayılara dönüşümünü tam olarak anlayabilmek için ondalık sayıların nasıl okunup yorumlanacağını bilmek gerekir.Bu sayı türü, virgülle ayrılmış tam sayı kısmı (PI) ve ondalık kısım (PD) olmak üzere iki bölümden oluşur. Ondalık kısımdaki her bir rakamın konumu, ... ile ilgili olup olmadığını gösterir. onda birler, yüzde birler, binde birler, ve benzeri.

İşte 1'den küçük ondalık sayıların okunmasına dair bazı örnekler.:

1. 0,6 → “altı onda biri” yazıyor.
2. 0,37 → “otuz yedi yüzüncü” yazıyor.
3. 0,189 → “yüz seksen dokuz binde bir” yazıyor.

Tam sayı kısmı varsa, tam sayıları normal şekilde okuyun ve ardından ondalık kısmı belirtin.. Örneğin:

1. 3,7 → “üç ve yedi onda biri”.
2. 13,45 → “on üç ve kırk beş yüzüncü”.
3. 130,824 → “yüz otuz sekiz yüz yirmi dört binde bir”.

Basit bir örnek olarak 1/10 kesri verilebilir ve bu kesir 0,1 ondalık kesri olarak yazılabilir."Onda bir" olarak okunur. Virgül, tam sayı kısmını (0) kesirli kısımdan (1) açıkça ayırır: 0, 1. Benzer şekilde, 231/100 kesri, "iki tam otuz bir yüzde bir" olarak okunduğunda 2,31 olur.

Genel olarak, ondalık bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için, paydanın paydadaki sıfır sayısı kadar ondalık basamağa sahip olduğundan emin olun.Bu, payı paydaya bölmeye eşdeğerdir. Örnekler:

1. 130 / 100 = 1,30
2. 987 / 1000 = 0,987
3. 5 / 1000 = 0,005

Ondalık bir sayıyı ondalık kesre nasıl dönüştürebilirim?

Sınıfta ters işlem, yani ondalık sayıdan kesre dönüştürme işlemi de çok önemlidir.Ondalık bir sayıyı ondalık kesre dönüştürmek için basit bir pratik kuralı izleyin: Pay, ondalık noktası olmayan sayıdır ve payda, ondalık basamak sayısı kadar sıfırın eklendiği birimdir (1).

Bu düşünceyi pekiştirmeye yardımcı olacak bazı klasik örnekler var.:

1. 0,5: Bir basamaklı olduğundan 5/10 olur.
2. 0,05: İki basamaklı olduğundan 5/100 olur.
3. 2,41: İki basamaklı olduğundan 241/100 olur.
4. 7,345: Üç basamaklı olduğundan 7345/1000 olur.

Sıkça kafa karışıklığına neden olan önemli bir nokta da ondalık kısımda son sıfırların kullanılmasıdır.Ondalık bir sayının ondalık kısmındaki son sıfır olmayan basamağa sıfır eklendiğinde veya sıfır çıkarıldığında değeri değişmez. Örneğin:

1. 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
2. 1,0002 = 1,00020 = 1,000200
3. 3,1415926535 = 3,141592653500000000

Pratikte bu, ondalık sayıları karşılaştırırken veya işlemler yaparken sıfırlarla korkmadan işlem yapabileceğiniz anlamına gelir.Sayısal değer aynı kalıyor, sadece yazım biçimi değişiyor.

Ondalık sayıları 10'un kuvvetleriyle çarpma ve bölme

Ondalık sayıların en büyük avantajlarından biri 10, 100, 1000 vb. ile çarpma veya bölmenin çok daha kolay hale gelmesidir.Uzun hesaplamalar yapmak yerine, ondalık noktayı uygun sayıda sağa veya sola kaydırmanız yeterli olacaktır.

Ondalık bir sayıyı 10, 100 veya 1000 ile çarptığımızda ondalık noktasını sağa kaydırırız. Sırasıyla bir, iki veya üç ondalık basamak. Bkz.:

1. 7,4 × 10 = 74 (Virgül bir basamak sağa kaydırılır).
2. 7,4 × 100 = 740 (iki ev).
3. 7,4 × 1000 = 7400 (üç ev).

10, 100 veya 1000'e bölündüğünde virgül sola kayar.. Bunun gibi:

1. 247,5 ÷ 10 = 24,75
2. 247,5 ÷ 100 = 2,475
3. 247,5 ÷ 1000 = 0,2475

Sınıfta bu ondalık nokta kaymasını günlük hayattan örneklerle (metre ve santimetre, real ve centavo vb.) çalışmak, öğrencilerin ondalık sistemin mantığını içselleştirmelerine yardımcı olur.Dolayısıyla sağda veya solda bulunan her evin 10 ile art arda çarpma veya bölme işlemini temsil ettiğini anlıyor.

Ondalık sayıların toplanması ve çıkarılması

İlk adım, ilgili sayılardaki ondalık basamak sayısını eşitlemektir.Gerekirse sağa sıfır ekleyin. Örnekler:

1. 2,4 + 1,723 → 2,400 + 1,723 yazıyoruz.
2. 2,4 - 1,723 → 2,400 - 1,723 yazıyoruz.

Daha sonra sayıları tipik bir toplama veya çıkarma probleminde olduğu gibi düzenliyoruz.Birler, birimlerin altında, onlar, onlarların altında, yüzler, yüzler altında, ondalık noktalar hizalanmış ve ondalık kısımda, ondalıklar ondalıklarla, yüzdelikler yüzlerde, bindelikler bindeliklerle, vb.

İşte iki tipik örnek.:

• 2,4 + 1,713 → 2,400 ve 1,713'ü yan yana yazıp topladığımızda şu sonuç elde edilir: 4,113.
• 2,4 - 1,713 → 2,400 ve 1,713'ü yan yana yazıp çıkarırsak, şu sonucu elde ederiz: 0,687.

Eğer öğrenci tam sayı işlemlerinde zaten iyi bir kavrayışa sahipse, burada asıl zorluk basitçe hizalamadır.İyi bir öğretim ipucu, sınıfın her bir basamağın nereye gelmesi gerektiğini açıkça görebilmesi için basamak değer tablolarıyla (birler, onlar, yüzler, onda birler, yüzde birler vb.) çalışmaktır.

Ondalık sayıların çarpımı

Ondalık sayıları çarpmanın iki temel stratejisi vardır ve her ikisini de öğretmek faydalıdır.İlk adım, her sayıyı ondalık kesre dönüştürmek, kesirleri normal şekilde çarpmak ve son olarak sonucu ondalık biçimde yazmaktır.

Örneğin, 2,25 × 3,5'i ele alalım2,25'i 225/100, 3,5'i ise 35/10 olarak yazabiliriz. Dolayısıyla, şunu elde ederiz:

• 2,25 × 3,5 = (225/100) × (35/10) = (225 × 35)/(100 × 10) = 7875/1000 = 7,875.

Oldukça pratik olan ikinci strateji ise başlangıçtaki ondalık noktayı yok saymak, tam sayılarmış gibi çarpmak ve daha sonra ondalık noktayı yerine koymaktır.Aynı örnekte, 225 × 35'i çarparak 7875 elde ediyoruz. Ardından, çarpanlardaki toplam ondalık basamak sayısını sayıyoruz: 2,25'in iki ondalık basamağı var; 3,5'in bir ondalık basamağı var; toplamda üç ondalık basamağı var. Bu nedenle, çarpıma ondalık noktayı yerleştiriyoruz ve geriye üç ondalık basamak kalıyor: 7,875.

Bu yöntem işe yarıyor çünkü 2,25 = 225/100 ve 3,5 = 35/10225'i 35 ile çarptığımızda, aslında 225/100'ü, paydası 1000 olan 35/10 ile çarpmış oluyoruz. Dolayısıyla, 7875'in tamamının 1000'e bölünmesi gerekir ki bu da tam olarak ondalık virgülünün üç basamak sola kaydırılmasına denk gelir.

Ondalık sayılarla bölme

Ondalık sayılarla bölme işlemi daha karmaşık görünebilir, ancak daha önce gördüğümüz fikirlere çok benzerdir.Temel prensip, bölünen ve böleni 10, 100 veya 1000 ile çarptığımızda eşdeğer kesrin aynı değeri korumasıdır; ancak çoğu zaman tam sayılar arasında bir bölme işlemi haline gelir.

Örneğin, 3,6 ÷ 0,4'ü ele alalımHem bölünen hem de bölen tek bir ondalık basamağa sahiptir. Her ikisini de 10 ile çarparsak, çok daha basit olan 36 ÷ 4 sonucunu elde ederiz. Dolayısıyla: 3,6 ÷ 0,4 = (3,6 × 10)/(0,4 × 10) = 36/4 = 9.

Bir diğer ilginç durum ise 0,35 ÷ 7'dirBurada, bölünenin iki ondalık basamağı vardır ve bölen bir tam sayıdır. Basitleştirmek için her ikisini de 100 ile çarpıyoruz: (0,35 × 100)/(7 × 100) = 35/700. Bu kesri sadeleştirirsek, 35 ÷ 7 = 5 ve 700 ÷ 7 = 100 elde ederiz, böylece 5/100 = 0,05 olur.

Bu düşünce, 700 kişiye 35 ölçek arazi bağışlayan bir kişinin durumu gibi sorunlu durumlarda ortaya çıkar.35 ÷ 700'ün bölünmesini 3500 ÷ 700'e dönüştürerek (bölüneni 100 ile çarparak), hesaplamayı yapabilir ve sonucu ondalık sayı olarak yorumlayabiliriz: her kişi toplam alanın çok küçük bir kesrini alır.

35 ÷ 700 gibi küçük bir sayıyı büyük bir sayıya böldüğümüzde şüphelerin ortaya çıkması olağandır.Bölüneni 10, 100 veya daha fazla sayıyla çarparak, değer bölenden büyük olana kadar devam ederiz. Bu da bölme işleminin "ilerlemesini" sağlar. 35 ÷ 700 durumunda, 100 ile çarparak 3500 ÷ 700 = 5 sonucunu elde ederiz. Bölüneni 100 ile çarptığımız için, bölümün 100'e bölünmesi gerekir ve sonuç 0,05 olur.

Yaygın olarak kullanılan bir örnek, 10'u 16'ya bölmektir; bu, tam sayı değil, tam ondalık sayıyı verir.Bölmeyi kuruyoruz, 10'un 16'dan küçük olduğunu görüyoruz, bu yüzden bölüneni 10 ile çarpıyoruz (100 elde ediyoruz), bu da bölüme bir 0 ve ardından bir ondalık nokta eklemeye karşılık geliyor. 100'ü 16'ya böldüğümüzde, 4 kalanlı 6 elde ediyoruz; bu 4 kalanını 40'a (onda birler yüzde birler olur), ardından 80'e (yüzde birler binde birler olur) dönüştürüyoruz, ta ki kalan 0'a ulaşana kadar. Sonuç 0,625'tir.

Ondalık sayılar nasıl karşılaştırılır?

Ondalık sayıları karşılaştırmak, hangisinin daha büyük, daha küçük olduğuna veya eşit olup olmadıklarına karar vermek anlamına gelir.Bunu yapmak için > (büyüktür), < (küçüktür) ve = (eşittir) sembollerini kullanırız. Karşılaştırma süreci oldukça sistematiktir ve sınıfta birçok örnekle pratik yapılabilir.

Tam sayı kısımları farklı olduğunda, bir gizem kalmaz: daha büyük sayı, daha büyük tam sayı kısmına sahip olan sayıdır.. Örneğin:

1. 4,1> 2,76Çünkü 4, 2'den büyüktür.
2. 3,7 <5,4Çünkü 3, 5'ten küçüktür.

Tam sayı kısımları eşit ise ondalık kısma bakılır.İlk olarak, sağ tarafa sıfırlar ekleyerek ondalık basamak sayısını "eşitleyebiliriz". Ardından, sanki tam sayılarmış gibi yalnızca ondalık kısımları karşılaştırırız.

İşte birkaç örnek.:

1. 12,4 ve 12,31: 12,40 ve 12,31 yazıyoruz; 40 > 31 olduğundan, şu sonuca varıyoruz: 12,4> 12,31.
2. 8,032 ve 8,47: 8,032 ve 8,470 yazıyoruz; 32 < 470 olduğundan, 8,032 <8,47.
3. 4,3 ve 4,3: tam sayı kısımları aynıdır (4 ve 4) ve ondalık kısımlar da aynıdır (3 ve 3), bu nedenle 4,3 = 4,3.

Hem açıklamalarda hem de alıştırmalarda sondaki sıfırlarla çalışmak, öğrencilerin 0,5, 0,50 ve 0,500'ün aynı değeri temsil ettiğini anlamalarına yardımcı olur.Böylece, ondalık basamak sayısı "standartlaştırıldıktan" sonra karşılaştırma basit bir tamsayı analizine dönüşür.

Yüzdeler ve kesirler ve ondalık sayılarla ilişkisi.

Yüzde, paydası 100 olan kesirleri yazmanın özel bir yoludur.Haberlerde, reklamlarda, sözleşmelerde, maaş ayarlamalarında, sınav notlarında vb. sürekli karşımıza çıkan . Matematik dilinde, b = 100 olmak üzere herhangi bir a/b oranı yüzde olarak yazılabilir.

Örneğin, "aylık enflasyon %4'tü" gibi ifadeleri sıkça görüyoruz., "yüzde dört" olarak okunur; veya "peşin alımlarda %10 indirim"; hatta "maaş ayarlama endeksi %0,6 olacak". Tüm bu durumlarda, bir parçayı bütünle "her 100'de bir" şeklinde karşılaştırıyoruz.

Bir sınıftaki öğrencilerin %30'unun kız olduğunu söylersek, 100 kişilik varsayımsal bir sınıfta 30 öğrencinin kız olacağı anlamına gelir.Kesir biçiminde %30, 30/100'e karşılık gelir. Ondalık açıdan bakıldığında %30, 0,30'dur.

Yüzde hesaplama da kesir ve ondalık sayıların doğrudan bir uygulamasıdır.Örneğin, 300,00 TL'nin %40'ını belirlemek, X/300 oranının 40/100'e eşit olduğu bir X değeri bulmak anlamına gelir. oran40/100 = X/300. Çapraz çarpım yapıldığında, 100X = 40 × 300 = 12.000, dolayısıyla X = 120. Dolayısıyla, 300,00 TL'nin %40'ı 120,00 TL'dir.

Başka bir örnek: 200 sayfalık bir kitabın %45'ini okuduysak geriye kaç sayfa kalır?Aynı mantıkla 45/100 = X/200'ü hesaplıyoruz. Çapraz çarparak 100X = 45 × 200 = 9.000, yani X = 90. Bu, zaten 90 sayfa okuduğumuz anlamına geliyor. Geriye kaç sayfa kaldığını bulmak için 200 - 90 = 110 sayfa hesaplamamız yeterli.

Yüzdeler, kesirler ve ondalık sayılar arasındaki bu bağlantıyı göstermek, öğrencilerin aynı orantı fikrinin farklı gösterimleriyle uğraştıklarını fark etmeleri için harika bir fırsattır.Bu anlayış, hesaplamalara daha fazla anlam kazandırır ve öğrenciyi faiz oranlarını, enflasyon endekslerini veya ticaretteki promosyonları yorumlamak gibi pratik durumlara hazırlar.

Kesirler, ondalık kesirler, ondalık sayılar ve yüzdeler konularında uzmanlaşmak, öğrencilerin matematikte güvenle ilerlemeleri için önemli bir adımdır.Kesirlerin nasıl ortaya çıktığını, ondalık sayılara nasıl dönüştürüldüğünü, işlemlerin nasıl gerçekleştirilip değerlerin nasıl karşılaştırılacağını ve her şeyin yüzdelerle nasıl bağlantılı olduğunu anlayan öğrenci, sayıları izole semboller olarak değil, dünyayı kesin bir şekilde tanımlamanın araçları olarak görmeye başlar. Günlük örnekler, anlaşılır açıklamalar ve bolca pratikle, bu içerik göz korkutucu bir meydan okuma olmaktan çıkar ve matematiksel akıl yürütmede güçlü bir müttefik haline gelir.