Olasılık aksiyomları nelerdir? Tam açıklaması.

Başlatma » Bilim » Matematik » istatistik » Olasılık aksiyomları nelerdir? Tam açıklaması.

"Olasılığın aksiyomları nelerdir?" sorusu basit gibi görünse de, cevabı çok sağlam bir matematiksel yapıya götürür.20. yüzyılda Andrey Kolmogorov'un çalışmalarıyla titizlikle düzenlenmeye başlanan bu aksiyomlar, şans oyunlarının incelenmesinden veri bilimi, finans ve mühendislikte kullanılan karmaşık istatistiksel modellere kadar neredeyse tüm modern olasılık teorisinin temelini oluşturur.

Önce Kolmogorov biçimselleştirmesiO zamanlar olasılık daha sezgisel bir şekilde anlaşılıyordu, frekans veya şans fikriyle bağlantılıydı.Farklı matematikçiler farklı yorumlar kullandılar. Bugün olasılık aksiyomlarından bahsettiğimizde, tutarlı hesaplamalar yapabilmemiz, çelişkilerden kaçınabilmemiz ve güçlü teoremler oluşturabilmemiz için herhangi bir olasılık fonksiyonunun uyması gereken asgari kurallar kümesinden bahsediyoruz.

Temel sezgi: rastgele deneyimler ve olaylar

Olasılık aksiyomlarını anlamak için ilk adım, rastgele deneyin ne olduğunu ve olaya ne ad verdiğimizi bilmektir.Rastgele deney, olası tüm sonuçları bilsek bile sonucunun kesin olarak tahmin edilemediği herhangi bir işlemdir; bunun klasik örnekleri yazı tura atmak veya zar atmaktır.

Bu deneyin tüm olası sonuçlarının kümesine, genellikle Ω ile gösterilen örneklem uzayı adını veririz.Örneğin, bir madeni para attığımızda, örneklem uzayı Ω = {H, T} şeklinde yazılabilir; burada H "yazı"yı, T ise "tura"yı temsil eder. Ω'nun her bir elemanına temel sonuç denir.

Bir olay, gözlemlemekle ilgilendiğimiz Ω'nun herhangi bir alt kümesidir.Dolayısıyla, eğer deney bir para atışı ise, {H} kümesi "yazı gelmesi" olayı, {T} kümesi "yazı gelmesi" olayı ve Ω'nun kendisi "yazı ya da tura gelmesi" olayı, yani belli bir olaydır.

Bazı olaylar özellikle önemlidir: İmkansız olay, basit olay ve kesin olay.Boş küme ∅, hiçbir sonuç içermediğinden imkansız olayı temsil eder; ω'nin Ω'da olduğu, tek elemanlı {ω} kümesi temel bir olayı temsil eder; ve Ω'nin kendisi kesin olaydır, yani deney yapıldığında her zaman meydana gelen olaydır.

Küme teorisinin dili olasılık çalışmalarında çok faydalıdır.Eğer A ve B olaylarsa, o zaman A ∩ B, A ve B'nin aynı anda meydana gelmesini temsil eder, A ∪ B, bunlardan en az birinin meydana gelmesini temsil eder ve A'nın tamamlayıcısıGenellikle ̄A veya Ω \ A olarak yazılan , "A'nın bulunmaması" durumunu temsil eder. Bu gösterim ve kümelerin özellikleri, aksiyomların formülasyonunda doğrudan kullanılacaktır.

Olasılık kavramının yorumları

Kolmogorov'un aksiyomları olasılığın matematiksel temelini oluşturmasına rağmen, "olasılık" kelimesinin kendisi çeşitli şekillerde yorumlanabilir.Tarihsel olarak, bir olay A'ya P(A) sayısı atamanın ne anlama geldiğine ilişkin farklı yorumlar ortaya çıkmıştır.

Eşit olasılıklı sonuçlara sahip sonlu uzaylar için geçerli olan klasik Laplace yorumunda, A olasılığı, uygun durumların sayısı ile olası durumların sayısı arasındaki orandır.Örneklem uzayında n tane eşit olasılıklı sonuç varsa (yani, #Ω = n) ve olay A bu sonuçlardan n_A tanesini içeriyorsa (#A = n_A), olasılık P(A) = n_A / n ile verilir. Tüm sonuçların gerçekleşme şansının aynı olması durumunda bu formül oldukça sezgiseldir.

Zaten frekansçı yorum Olasılığı, bir deneyin tekrarlarında gözlemlenen göreceli sıklığa bağlar.Bu bakış açısından, rastgele deneyi n kez tekrarlayıp A olayının kaç kez gerçekleştiğini sayıyoruz ve bu sayıya n_A diyoruz; ardından, n büyüdükçe n_A / n kesrinin limitine bakıyoruz. Bu limit mevcut olduğu sürece, A'nın olasılığı P(A) = lim_{n→∞} (n_A / n) olur.

Bayes istatistiklerinde yaygın olarak kullanılan öznel yorum da vardır; bu yorumda olasılık, rasyonel bir öznenin inanç derecesiyle ilişkilidir.Bu yaklaşımda P(A), mevcut bilgiyi göz önünde bulundurarak, kişinin A'nın gerçekleşeceğine ne kadar güvendiğini ölçer. Olasılığı "taşıyan" deneyim değil, belirsizliği tutarlı bir şekilde değerlendiren öznedir.

Bu farklı yorumlara rağmen hepsi Kolmogorov'un aynı aksiyomatik çerçevesi içinde bir arada var olabilir.Başka bir deyişle, klasik, frekansçı veya öznel bir bakış açısını tercih etmenizden bağımsız olarak, olasılık nihayetinde bir olay uzayı hakkında küçük bir aksiyom kümesine uyan bir P fonksiyonu tarafından matematiksel olarak modellenecektir.

Resmi yapı: olasılık uzayları ve σ-cebirleri

Kolmogorov olasılığı, olasılık uzayı adı verilen (Ω, F, P) üçlüsü cinsinden tanımladı.Bu üçlüde Ω örneklem uzayı, F olası olayların kümesi (teknik olarak Ω'nin alt kümelerinin bir σ-cebiri) ve P olasılık fonksiyonudur.

σ-cebiri F, Ω'nun bazı özellikleri sağlayan alt kümelerinin özel bir koleksiyonudur.Genel olarak, F'nin boş kümeyi içermesi, tamamlayıcı kümeye göre kapalı olması (A, F'deyse, tamamlayıcısı da F'dedir) ve sayılabilir birleşimlere göre kapalı olması (A₁, A₂, … F'deyse, hepsinin birleşimi de F'dedir) gerekir. Bu yapı, iyi tanımlanmış bir olasılığa sahip olaylar evreninden ayrılmadan küme işlemleriyle çalışabilmemizi sağlar.

Resmen, F, Ω üzerinde bir σ-cebiri olduğunda: Boş küme ∅, F'ye aittir; eğer A, F'de ise, o zaman A'nın Ω'daki tamamlayıcısı da F'ye aittir; ve eğer A₁, A₂, … F'nin elemanlarının (sonlu veya sayılabilir sonsuz) bir dizisi ise, o zaman A₁ ∪ A₂ ∪ … birleşimi de F'dedir. Birçok bağlamda, F'ye Borel alanı veya σ-alanı da denir.

Olasılık fonksiyonu P, F üzerinde tanımlanır ve F'deki her E olayına negatif olmayan bir reel sayı atar.Daha sonra P(E)'nin ℝ'de olduğunu ve F'deki tüm E için P(E) ≥ 0 olduğunu söyleriz. Genel ölçü teorisinde ölçüler sonsuz değerler alabilir, ancak standart olasılık teorisinde P(E) her zaman sonludur ve bu da daha genel ölçülere göre bazı farklılıklar getirir.

P(Ω) = 1 olan bu (Ω, F, P) yapısına olasılık uzayı diyoruz.P(Ω) = 1 koşulu önemlidir çünkü deneyi gerçekleştirirken Ω'da bir sonucun kesinlikle ortaya çıkacağını; örneklem uzayının dışında "gizli sonuç" bulunmadığını ifade eder.

Kolmogorov'un üç aksiyomu

Kolmogorov'un aksiyomatik teorisi, herhangi bir olasılık fonksiyonunun sağlaması gereken üç temel aksiyoma dayanmaktadır.Bunları ifade etmek kolaydır, ancak son derece güçlüdürler, çünkü olasılığın neredeyse tüm olağan özellikleri bunlardan türetilmiştir.

Birinci aksiyom — Olumsuzluk: σ-cebiri F'ye ait herhangi bir A olayı için P(A) ≥ 0'dır. Yani, olasılıklar asla negatif değildir. Bazı daha egzotik teorilerde "negatif olasılıklar"dan bahsedilir, ancak bu fikirler Kolmogorov'un klasik çerçevesinden farklıdır.

İkinci aksiyom — Normalizasyon: Belirli bir olayın gerçekleşme olasılığı 1'e eşittir, yani P(Ω) = 1'dir. Bu aksiyom, 1'in %100 kesinliğe, 0'ın ise imkansızlığa karşılık geldiği kuralını ortaya koyar. Daha basit bir ifadeyle, bu aksiyom, Ω'nun tüm basit sonuçlarının olasılıklarının toplamının 1'e eşit olduğu şeklinde de anlaşılabilir.

Üçüncü aksiyom — σ-toplamsallık: Eğer A₁, A₂, … çiftler halinde ayrık (aynı zamanda karşılıklı olarak birbirini dışlayan) olaylar dizisiyse, P(∪ᵢ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ) olur. Bu, hem sonlu hem de sayılabilir sonsuz olaylar topluluğu için geçerlidir. Bu sayılabilir eklenebilirlik özelliği, salt sonlu eklenebilirliğe kıyasla en büyük farktır.

Daha basit bağlamlarda, bazı yazarlar yalnızca sonlu eklenebilirlikle çalışırlar., ayrık olaylar A ve B için P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ve bunun sonlu sayıda kümeye kadar uzanmasını gerektirir. Bu durumda, bir σ-cebiri değil, bir küme cebiri ile çalışmak yeterlidir; ancak modern olasılıktaki standart yaklaşım, σ-toplamsallığı gerektirmektir.

Eşitlikler, eşitsizlikler ve olasılık yasaları gibi bazı önemli sonuçlar bu üçüncü aksiyomdan kaynaklanmaktadır.Ayrıca, kümelerdeki ölçüleri oldukça genel bir şekilde inceleyen olasılık ve ölçü teorisi arasındaki bağın da merkezinde yer alır.

Aksiyomlardan türetilen özellikler

Kolmogorov'un üç aksiyomuna dayanarak, birkaç temel ve son derece yararlı özelliği kanıtlayabildik.Bu özellikler önceden varsayılmış değildir: bunlar aksiyomların mantıksal sonuçlarıdır.

İlk özelliklerden biri olasılığın monotonluğudur.A ve B, F'deki olaylarsa ve A, B'de yer alıyorsa (A ⊆ B), P(A) ≤ P(B) olur. Buradaki fikir sezgiseldir: Eğer B, A'da olabilecek her şeyi, hatta belki daha fazlasını kapsıyorsa, B'nin olasılığı A'dan daha düşük olamaz.

Bir diğer temel özellik ise imkansız olayın gerçekleşme olasılığının sıfır olmasıdır.Resmi bir bakış açısından, σ-toplamsallığını kullanarak, A ⊆ B senaryosunda i ≥ 3 için E₁ = A, E₂ = B \ A ve Eᵢ = ∅ olan bir diziyi ele alıyoruz. Eᵢ ayrık ve birleşimleri B olduğundan, olasılıkların toplamı P(B)'ye yakınsamalıdır. P(∅) = a > 0 olduğunu varsayarsak, P(∅)'nin sonsuz kere toplamı sonsuza kadar patlar ki bu sonlu P(B) ile bağdaşmaz. Dolayısıyla P(∅) = 0 sonucuna varırız.

Dolayısıyla F'deki herhangi bir E olayı için 0 ≤ P(E) ≤ 1 eşitsizliğini belirtebiliriz.İlk aksiyomdan P(E) ≥ 0 olduğunu zaten biliyorduk. P(Ω) = 1 olduğunu bildiğimizden ve E ⊆ Ω ile monotonluğu kullandığımızdan, P(E) ≤ P(Ω) = 1 olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla, her olasılık her zaman 0 ile 1 arasında (dahil) olacaktır.

Yaygın olarak kullanılan bir özdeşlik, herhangi iki olay için sözde toplama yasasıdır.F'deki A ve B olayları için P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) formülü geçerlidir. Bu formül, P(A) ve P(B)'yi herhangi bir ayarlama yapmadan topladığımızda iki kez eklenen yaygın A ∩ B olayının "çift sayılmasını" düzeltir.

Bir diğer önemli sonuç ise bir olay ile onun tamamlayıcısı arasındaki ilişkidir.A'nın tamamlayıcısını ̄A ile gösterirsek, P(̄A) = 1 − P(A) olur. Bu eşitlik, "ya A olur ya da olmaz" fikrini verir ve Ω içinde başka bir olasılık yoktur.

Bundan, P(A) = 0'ın A'nın imkansız olay olduğu anlamına gelmediği de açıkça ortaya çıkar.Matematiksel terimlerle, bir olayın boş küme olmadan sıfır olasılığa sahip olması mümkündür (bu, örneğin, sürekli uzaylarda ortaya çıkar), ancak en temel düzeyde, P(A) = 0 genellikle pratik olarak imkansız olaylarla ilişkilendirilir.

Pratik örnek: madeni parayı havaya atmak

Kolmogorov'un aksiyomlarını görselleştirmenin klasik ve çok öğretici bir örneği yazı tura atmaktır.Öncelikle paranın sadece "yazı" (H) veya "tura" (T) gelebileceğini ve bunların tek olası sonuçlar olduğunu varsayalım.

Daha sonra örnek uzayını Ω = {H, T} olarak tanımlarızOlası olaylar, {∅, {H}, {T}, {H, T}}'den oluşan bir σ-cebiri F'yi oluşturur. Bu bağlamda, imkansız olay ∅, temel olaylar {H} ve {T} ve kesin olay {H, T}'dir.

Kolmogorov aksiyomlarından P(∅) = 0 ve P(Ω) = 1 olduğunu biliyoruzMadeni paranın adil olduğunu, yani iki tarafı da kayırmadığını varsayarsak, simetri P({H}) = P({T}) olduğunu gösterir. P({H}) + P({T}) toplamının 1'e eşit olması gerektiğinden, her ikisinin de 1/2 değerinde olduğu sonucuna varırız.

Bu nedenle, "yazı veya tura" gelme olasılığı P({H, T}) = 1'dir"Tura" gelme olasılığı P({H}) = 1/2 ve "tura" gelme olasılığı P({T}) = 1/2'dir. Temel olayların olasılıklarının toplamı, uzayın toplam olasılığını tüketir.

Bu model, basit olmasına rağmen, aksiyomların pratikte nasıl davrandığını ve olasılık hesaplamalarında tutarsızlıkları nasıl önlediğini göstermektedir.Örneklem uzayını dikkatli bir şekilde tanımlamazsak ciddi hatalar yapabiliriz, çünkü her olay her zaman Ω'nun bir alt kümesidir; eğer alt küme Ω'ya uymuyorsa, olasılığı tanımlanmamış bile olur.

Sonlu ve sayılabilir uzaylarda olasılık

Örneklem uzayı sonlu veya sayılabilir olduğunda olasılık çok somut bir şekilde tanımlanabilir.Ω = {ω₁, ω₂, …} olası sonuçların sonlu veya sayılabilir bir kümesi olduğunu varsayalım.

Eğer A, bu sonuçlardan bazılarını içeren bir olay ise, örneğin A = {ω₁*, …, ω_{k*}, …}Dolayısıyla, A'nın olasılığı, karşılık gelen temel olayların olasılıklarının toplamı olarak görülebilir: P(A) = P(∪ᵢ {ω_{i*}}) = Σᵢ P({ω_{i*}}). Bu, ayrık kümeler üzerinde doğrudan bir eklenebilirlik (veya σ-eklenebilirlik) uygulamasıdır.

Örneklem uzayının sonlu olduğu, #Ω = n olduğu ve tüm sonuçların eşit olasılıklı olduğu özel durumdaHer i için P({ωᵢ}) = 1/n'dir. A, Ω'da k farklı sonuç içeriyorsa, P(A) = Σ_{i=1}^k P({ω_{i*}}) = k/n = (#A)/(#Ω). Bu, tam olarak klasik Laplace formülünün modern aksiyomatik çerçevede yeniden yorumlanmış halidir.

Örneklem uzayı sayılabilir sonsuz olduğunda, temel olayların olasılıklarının toplamının yine de 1'e yakınsaması gerekir.Yani, Σᵢ P({ωᵢ}) = 1'dir. σ-toplamsallığının gücünü gösterdiği yer burasıdır ve yalnızca sonlu toplamlarla değil, aynı zamanda sonsuz olay serileriyle de başa çıkmamızı sağlar.

Koşullu olasılık ve aksiyomların rolü.

Teorinin temel yönlerinden biri, belirli bir olayın zaten meydana geldiğini bildiğimizde olasılığın nasıl değiştiğini anlamaktır.İşte tam bu noktada koşullu olasılık devreye girer. Genellikle P(A | B) şeklinde yazılır ve "B'nin meydana geldiği varsayıldığında A'nın olasılığı" anlamına gelir.

Koşullu olasılık için temel formül, P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)'dir; ancak P(B) > 0 olması koşuluylaBu tanım Kolmogorov aksiyomlarıyla tutarlıdır ve aslında P(B) > 0 olan her B için, olay alanını B ile sınırladığımızda A ↦ P(A | B) fonksiyonu yine üç aksiyomu da sağlar.

Bu, P(· | B)'nin kendisinin "yeni" örneklem uzayı B üzerinde bir olasılık fonksiyonu olduğu anlamına gelir.Sonuç olarak, tüm temel özellikler koşullu olasılıklar için geçerlidir: P(̄A | B) = 1 − P(A | B), P(∅ | B) = 0, koşullu monotonluk (eğer A₁ ⊆ A₂ ise, o zaman P(A₁ | B) ≤ P(A₂ | B)) ve formül P(A₁ ∪ A₂ | B) = P(A₁ | B) + P(A₂ | B) − P(A₁ ∩ A₂ | B).

Koşullu olasılığın tanımı, P(A) > 0 olduğunda P(A ∩ B) = P(A) P(B | A) şeklindeki önemli ilişkiyi de ortaya çıkarır.Simetrik olarak, P(B) > 0 olması koşuluyla P(A ∩ B) = P(B) P(A | B) yazabiliriz. Bu eşitlikler, birleşik olasılıkları ayrıştırmaya yardımcı olur ve Bayes Teoremi gibi çeşitli sonuçların temelini oluşturur.

"Koşulsuz" olasılığın, koşullu olasılığın özel bir durumu olarak görülebileceğini belirtmek ilginçtir.Gerçekten de, P(Ω) = 1 olduğundan, P(A) = P(A ∩ Ω) / P(Ω) = P(A | Ω) yazabiliriz. Bu, kavramsal olarak, tüm olasılıkların, yalnızca Ω içinde çalıştığımız bilgisine sahip olsak bile, bazı arka plan bilgilerine bağlı olduğu fikrini güçlendirir.

Olayların bağımsızlığı

Aksiyomlara dayanan bir diğer temel kavram ise olaylar arasındaki bağımsızlıktır.A ve B adlı iki olay, birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bağımsızdır.

Resmi dilde, A ve B, P(A ∩ B) = P(A) P(B) olduğunda bağımsızdır.Koşullu olasılık açısından bu, P(B) > 0 ise P(A | B) = P(A) ve eğer P(A) > 0 ise P(B | A) = P(B) anlamına gelir. Yani, B'nin meydana geldiğini bilmek A'nın olasılığını değiştirmez ve bunun tersi de geçerlidir.

Her olay, imkansız olay ∅ ve kesin olay Ω'dan bağımsızdır.Boş küme için P(A ∩ ∅) = 0 ve P(∅) = 0'dır, dolayısıyla ilişki önemsiz bir şekilde geçerlidir. Kesin olay için P(A ∩ Ω) = P(A) ve P(Ω) = 1'dir, dolayısıyla P(A ∩ Ω) = P(A) P(Ω) = P(A).

Sıkça sorulan sorulardan biri, iki ayrı olayın bağımsız olup olamayacağıdır.Genel olarak, A ve B ayrıksa ve her ikisi de pozitif olasılığa sahipse, P(A ∩ B) = 0 olur, ancak P(A) P(B) > 0 olur ve bu da bağımsızlık tanımını ihlal eder. Dolayısıyla, çoğu durumda, sıfırdan farklı olasılığa sahip iki ayrık olay bağımsız değildir, çünkü birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını dışlar.

İki olaydan fazlası söz konusu olduğunda, bağımsızlığa ilişkin birkaç farklı kavram ortaya çıkar.Çiftler arası bağımsızlık, ortak bağımsızlık ve diğer türler olabilir. Ancak tüm bu durumlarda başlangıç ​​noktası, Kolmogorov aksiyomlarına ve koşullu olasılık tanımına dayanan P(A ∩ B) = P(A) P(B) ilişkisi olmaya devam eder.

Pratik kurallar ve klasik olasılık yasaları

Aksiyomlar, biçimsel özelliklerinin ötesinde, olasılık hesaplamaları yapanların günlük işlerinde faydalı olan daha işlevsel yasaların formüle edilmesine olanak tanır.Bunlardan biri, daha önce P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) biçiminde ifade edilen ve dahil etme-dışlama ilkesi aracılığıyla daha fazla sayıda olaya genişletilebilen toplama yasasıdır.

Sıkça kullanılan bir diğer kural ise bir olayın başka bir olayın "dış" kısmıyla olan ilişkisidir.F'deki A ve B için aşağıdakiler geçerlidir: P(A ∩ ̄B) = P(A) − P(A ∩ B). Bu, A'yı basitçe iki parçaya ayırmaktır: B ile birlikte bulunan parça (A ∩ B) ve B olmadan bulunan parça (A ∩ ̄B). Bu iki parça ayrıktır ve birleşimleri A'dır; bu da önceki eşitliğe toplanabilirlik yoluyla yol açar.

Toplam olasılık yasası ve Bayes Teoremi, burada tam olarak ayrıntılandırılmasa da, doğrudan aksiyomlara dayanmaktadır.Toplam olasılık yasası koşullu olasılıkları örneklem uzayının bir bölümüne birleştirir, Bayes Teoremi ise koşulları "tersine çevirerek" olasılıkların yeni kanıtlara göre güncellenmesine olanak tanır.

Daha öğretici versiyonlarda, ezberlenmesi kolay bazı "pratik aksiyomlar" da listelenmiştir.Örneğin: maksimum olasılık 1'dir (%100); örneklem uzayındaki tüm elemanların olasılıklarının toplamı 1'e eşittir; ve X olayının olasılığına "X değil" olayının olasılığı eklendiğinde sonuç her zaman 1'dir. Bu ifadeler, resmi aksiyomların doğrudan yansımalarıdır.

Bu kanunlar kümesi sayesinde basit şans oyunlarından, çok değişkenli karmaşık modellere kadar uzanan problemleri çözmek mümkün hale geliyor.En büyük avantajı, bütün formüllerin ve hesaplama hilelerinin ardında mantıksal dayanağın aynı aksiyomatik üçayak olmasıdır.

Kolmogorov'un olasılık aksiyomları belirsizlikle başa çıkmak için sağlam ancak esnek bir temel sağlar.Üç basit ilkeye (negatif olmama, normalizasyon ve σ-toplamsallığı) dayalı olarak, klasik, frekansçı ve öznel yorumları içerebilen, sonlu veya sonsuz uzayları işleyebilen, koşullu olasılıkları ve bağımsızlığı tanımlayabilen ve hemen hemen tüm bilimsel ve teknolojik alanlarda uygulamaları destekleyebilen zengin bir teori oluşturulmuştur.