Poisson dağılımı, belirli bir zaman veya uzay aralığında, ortalama olay sayısı bilindiğinde, bir olayın meydana gelme sayısını tanımlayan ayrık bir olasılık dağılımıdır. İstatistik, mühendislik, tıp ve finans gibi çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılır.
Poisson Dağılımı formülü P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k! ile verilir, burada λ olayın ortalama meydana gelme sayısı, k istenen meydana gelme sayısı ve e Euler sabitidir (yaklaşık 2,71828).
Bu dağılım, olayların meydana gelme sıklığı arasında bağımsızlık, sabit bir meydana gelme oranı ve eş zamanlı olayların yokluğu gibi bazı önemli özelliklere sahiptir. Ayrıca, ortalama olay sayısı büyük olduğunda Poisson Dağılımı, Normal Dağılım ile yaklaşık olarak hesaplanabilir.
Poisson dağılımında olasılıkları hesaplamak için kullanılan denklem nedir?
Poisson dağılımı, belirli bir zaman aralığında veya belirli bir bölgede bir olayın meydana gelme sayısını tanımlayan ayrık bir olasılık dağılımıdır. Poisson dağılımında olasılıkları hesaplamak için kullanılan denklem aşağıdaki gibidir:
P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!
Nerede:
- P(X = k) Belirli bir zaman aralığında veya alanda tam olarak k olayın meydana gelme olasılığıdır.
- λ Birim zaman veya alan başına olayların meydana gelme oranının ortalamasıdır.
- e matematiksel sabit yaklaşık olarak 2,71828'e eşittir.
- k olasılığını hesaplamak istediğimiz olayların sayısıdır.
- k! k'nin faktöriyelini temsil eder; bu, k'den küçük veya ona eşit tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır.
Bu denklem, belirli bir bağlamda tam olarak k olayın meydana gelme olasılığını, bu olayların ortalama meydana gelme sıklığına dayanarak belirlememizi sağlar. Poisson dağılımı, istatistikte nadir olayların bağımsız ve sabit bir oranda meydana geldiği durumları modellemek için yaygın olarak kullanılır.
Poisson sürecinin temel özellikleri.
Poisson dağılımı, sabit bir zaman veya mekan aralığında meydana gelen olayların sayısını tanımlayan ayrık bir olasılık dağılımıdır. İstatistik, matematik, mühendislik ve doğa bilimleri gibi çeşitli alanlarda kullanışlı olmasını sağlayan birçok temel özelliğe sahiptir.
Poisson dağılım formülü şu şekilde verilir: P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!, Nereye x ilgi aralığında meydana gelen olayların sayısını temsil eder ve λ olayların ortalama meydana gelme oranını temsil eden parametredir.
Poisson modeli, olayların bağımsız olarak meydana geldiği ve meydana gelme sıklığının zaman veya mekana göre sabit olduğu durumlar için uygundur. Örneğin, Poisson dağılımı, bir çağrı merkezine belirli bir saatte gelen çağrı sayısını modellemek için kullanılabilir.
Poisson dağılımının bazı önemli özellikleri, parametreye eşit olan ortalama ve varyansı içerir λAyrıca Poisson dağılımı negatif değildir ve üst sınırı yoktur.
Temel özellikleri ve benzersiz nitelikleriyle, çeşitli bağlamlarda istatistiksel analiz ve karar almada temel bir rol oynar.
Poisson dağılımı nasıl hesaplanır: adım adım ve pratik örnekler.
Poisson Dağılımını hesaplamak için birkaç adımı izlemek ve doğru formülleri kullanmak önemlidir. Poisson Dağılımı, belirli bir zaman aralığında veya uzayda meydana gelen olayların sayısını, bu olayların ortalama meydana gelme sıklığı göz önüne alındığında tanımlayan ayrık bir olasılık dağılımıdır.
Poisson Dağılımının formülü:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Nerede:
- P(X = k) tam olarak k olayın meydana gelme olasılığıdır
- e doğal logaritmanın tabanıdır
- λ olayların ortalama meydana gelme oranıdır
- k olasılığını hesaplamak istediğimiz olayların sayısıdır
- k! k'nin faktöriyelidir
Poisson Dağılımını hesaplamak için şu adımları izleyin:
1. Olayların ortalama meydana gelme oranını (λ) belirleyin
2. (k) olasılığını hesaplamak istediğiniz olay sayısını seçin
3. Değerleri Poisson Dağılımı formülüne koyun
4. Sonucu hesaplayın
Örneğin, bir sokak köşesindeki ortalama kaza oranı haftada 2 ise, bir haftada tam 3 kazanın meydana gelme olasılığı nedir?
Poisson Dağılımı formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (0.1353) * (8) / 6 = 0.1804
Dolayısıyla bir haftada tam 3 kaza meydana gelme olasılığı 0.1804 yani %18.04'tür.
Belirli bir zaman aralığındaki olayların ortalama değeri nasıl bulunur?
Belirli bir zaman aralığındaki olayların ortalama değerini bulmak için Poisson Dağılımını kullanabiliriz. Bu dağılım, bir çağrı merkezine bir saat içinde gelen çağrı sayısı gibi, sabit bir zaman aralığında nadir görülen olayların meydana gelmesini modellemek için yaygın olarak kullanılır.
Poisson Dağılımı formülü şu şekilde verilir:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
Nerede:
- P(X = k) k olayın zaman aralığında meydana gelme olasılığıdır.
- e Euler sabiti yaklaşık olarak 2.71828'e eşittir.
- λ Birim zamanda meydana gelen olayların ortalama sayısıdır.
- k analiz etmek istediğimiz olayların sayısıdır.
- k! k'nin faktöriyelini temsil eder.
Poisson Dağılımının en önemli özelliklerinden biri, ortalama değerinin ortalamasına eşit olmasıdır, yani belli bir zaman aralığındaki olayların ortalaması λ ile verilir.
Dolayısıyla, belirli bir zaman aralığındaki olayların ortalama değerini bulmak için, Poisson Dağılımı formülünde λ ile gösterilen, birim zaman başına düşen olayların ortalama sayısını kullanmak yeterlidir.
Poisson Dağılımı: Formüller, Denklemler, Model, Özellikler
A Poisson dağılımı büyük bir örneklem içerisinde ve belirli bir aralıkta, olasılığı küçük olan bir olayın meydana gelme olasılığının bilindiği ayrık olasılık dağılımıdır.
Çoğu zaman, aşağıdaki koşullar sağlandığı takdirde, Poisson dağılımı binom dağılımının yerine kullanılabilir: büyük örneklem büyüklüğü ve küçük olasılık.
Siméon-Denis Poisson (1781–1840), öngörülemeyen olaylarla başa çıkarken oldukça faydalı olan, kendi adını taşıyan bu dağılımı oluşturdu. Poisson, sonuçlarını 1837'de, haksız cezai hüküm olasılığı üzerine bir araştırma makalesi olarak yayınladı.
Daha sonra diğer araştırmacılar bu dağılımı başka alanlara uyarladılar; örneğin, belirli bir uzay hacminde bulunabilecek yıldız sayısı veya bir askerin at tekmesiyle ölme olasılığı.
Formül ve denklemler
Poisson dağılımının matematiksel ifadesi şu şekildedir:
- μ (bazen λ olarak da gösterilir) dağılımın ortalaması veya parametresidir
– Euler sayısı: e = 2.71828
– y = k elde etme olasılığı P'dir
- k başarı sayısı 0, 1,2,3 …
- n test veya olay sayısıdır (örneklem büyüklüğü)
Adından da anlaşılacağı gibi ayrık rastgele değişkenler şansa bağlıdır ve yalnızca ayrık değerler alır: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.
Ortalama dağılım şu şekilde verilir:
Verilerin dağılımını ölçen σ varyansı da önemli bir parametredir. Poisson dağılımı için:
σ = μ
Poisson, n → ∞ ve p → 0 olduğunda, ortalama µ'nin - aynı zamanda - olarak da adlandırıldığını belirledi. beklenen değer – sabit bir değere eğilim gösterir:
μ → sabit
önemli : p toplam nüfus dikkate alındığında olayın meydana gelme olasılığıdır, P (y) Örneklem için Poisson tahminidir.
Model ve özellikler
Poisson dağılımının özellikleri şunlardır:
-Örneklem büyüklüğü büyüktür: n → ∞.
-İncelenen olay veya olaylar birbirinden bağımsızdır ve rastgele meydana gelir.
-Olasılık P belirli bir olayın e belirli bir zaman diliminde meydana gelen çok küçüktür: P → 0 .
-Belirli bir zaman aralığında birden fazla olayın meydana gelme olasılığı 0'dır.
-Ortalama değer, aşağıdaki şekilde verilen bir sabite yaklaşır: μ = np ( n örneklem büyüklüğüdür )
-Dağılım σ, μ'ye eşit olduğundan, daha büyük değerler aldıkça değişkenlik de artar.
-Olaylar kullanılan zaman aralığına eşit olarak dağıtılmalıdır.
-Olası olay değerlerinin kümesi e dır: 0,1,2,3,4….
-Toplamı i Poisson dağılımını izleyen değişkenler de Poisson değişkenleridir. Ortalama değerleri, bu değişkenlerin ortalama değerlerinin toplamıdır.
Binom dağılımındaki farklılıklar
Poisson dağılımı, binom dağılımından aşağıdaki önemli noktalarda farklılık gösterir:
-Binom dağılımı örneklem büyüklüğü ve olasılıktan etkilenir P , ancak Poisson dağılımı yalnızca şunlardan etkilenir: μ ortalama .
-Binom dağılımında, rastgele değişkenin olası değerleri e 0,1,2, …, N'dir, ancak Poisson dağılımında bu değerler için bir üst sınır yoktur.
Örnekler
Poisson, ünlü dağıtımını başlangıçta yasal işlemlerde kullanmış, ancak endüstriyel düzeyde ilk kullanımlarından biri bira yapımında olmuştur. Bu işlemde, fermantasyon için maya kültürleri kullanılır.
Maya, popülasyonu zamanla değişen canlı hücrelerden oluşur. Bira yaparken gerekli miktarda eklemeniz gerekir, bu nedenle birim hacim başına düşen hücre sayısını bilmek önemlidir.
II. Dünya Savaşı sırasında Poisson dağılımı, Almanların Calais'den Londra'yı gerçekten mi hedef aldığını, yoksa rastgele mi ateş ettiğini belirlemek için kullanılıyordu. Bu dağılım, Müttefikler için Nazilerin elindeki teknolojinin ne kadar iyi olduğunu belirlemek açısından önemliydi.
Pratik uygulamalar
Poisson dağılımının uygulamaları her zaman zaman veya uzaydaki sayılara atıfta bulunur. Oluşma olasılığı düşük olduğundan, "nadir olaylar yasası" olarak da bilinir.
İşte bu kategorilerden birine giren etkinliklerin listesi:
-Maya hücrelerinin büyümesi gibi üstel bir fonksiyon olan radyoaktif bozunmadaki parçacıkların kaydı.
-Belirli bir web sitesine yapılan ziyaret sayısı.
– İnsanların ödeme yapmak veya hizmet almak için sıraya girmesi (sıra teorisi).
– Belirli bir zaman dilimi içerisinde yol üzerinde belirli bir noktadan geçen araç sayısı.
-Radyasyona maruz kalma sonucu belirli bir DNA zincirinde meydana gelen mutasyonlar.
-Bir yılda düşen çapı 1 metreden büyük meteor sayısı.
– Kumaşın metrekare başına düşen kusur sayısı.
-1 santimetre küpteki kan hücresi sayısı.
-Telefon santraline yapılan dakika başına görüşme sayısı.
– 1 kg kek hamurunda bulunan çikolata parçaları.
-1 hektar ormanda belirli bir parazitin bulaştığı ağaç sayısı.
Bu rastgele değişkenlerin, belirli bir zaman dilimi içerisinde bir olayın meydana gelme sayısını temsil ettiğini unutmayın ( santrale dakika başına çağrı sayısı ) veya uzayın belirli bir bölgesi ( bir kumaşın metrekare başına kusurları ).
Bu olaylar, daha önce de belirtildiği gibi, son meydana gelişten bu yana geçen zamandan bağımsızdır.
Poisson dağılımı ile binom dağılımına yaklaşma
Poisson dağılımı, binom dağılımına iyi bir yaklaşımdır çünkü:
-Örneklem büyüklüğü büyüktür: n ≥ 100
-Olasılık ayak küçük: p ≤ 0,1
- μ şu sırayla olmalıdır: np ≤ 10
Bu durumlarda Poisson dağılımı mükemmel bir araçtır, çünkü binom dağılımının bu durumlarda uygulanması karmaşık olabilir.
Çözülmüş alıştırmalar
Alıştırma 1
Sismolojik bir çalışma, son 100 yılda dünya çapında logaritmik Richter ölçeğine göre en az 93 büyüklüğünde 6,0 büyük deprem meydana geldiğini tespit etti. Poisson dağılımının bu durumda uygun bir model olduğunu varsayalım. Bul:
a) Yılda ortalama kaç büyük deprem meydana geldiği.
b) Eğer P (y) oluşma olasılığı için e Rastgele seçilen bir yılda meydana gelen depremler için aşağıdaki olasılıkları bulun:
P (0) P (1) P (2) P (3) P (4) P (5) P (6) ve P (7).
c) Çalışmanın gerçek sonuçları şöyledir:
- 47 yıl (0 deprem)
– 31 yıl (1 deprem)
– 13 yıl (2 deprem)
– 5 yıl (3 deprem)
– 2 yıl (4 deprem)
– 0 yıl (5 deprem)
– 1 yıl (6 deprem)
– 1 yıl (7 deprem)
Bu sonuçlar b kısmında elde edilenlerle nasıl karşılaştırılır? Poisson dağılımı bu olayları modellemek için iyi bir seçim midir?
Çözüm a)
a) Depremler, gerçekleşme olasılığı p küçüktür ve bir yıllık sınırlı bir zaman dilimini ele alıyoruz. Ortalama deprem:
μ = 93/100 deprem/yıl = 0,93 deprem/yıl.
Çözüm b)
b) İstenen olasılıkları hesaplamak için değerler başlangıçta verilen formüle yerine konur:
y = 2
μ = 0,93
e = 2.71828
P(2)'den çok daha küçüktür.
Sonuçlar aşağıda listelenmiştir:
P(0) = 0,395, P(1) = 0,367, P(2) = 0,171, P(3) = 0,0529, P(4) = 0,0123, P(5) = 0,00229, P(6) = 0,000355, P(7) = 0,0000471.
Örneğin, belirli bir yılda büyük deprem olmama ihtimalinin %39,5 olduğunu söyleyebiliriz. Ya da o yıl meydana gelen üç büyük depremin %5,29'unun meydana geldiğini söyleyebiliriz.
Çözüm c)
c) Frekanslar n=100 yıl ile çarpılarak analiz edilir:
39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 ve 0,00471.
Örneğin:
– 39,5 frekansı, 39,5 yılda 100 oranında büyük depremin meydana geldiğini, yani 0 yıl hiç büyük depremin olmadığı gerçek sonuca oldukça yakın olduğunu söyleyebiliriz.
Başka bir Poisson sonucunu gerçek sonuçlarla karşılaştıralım:
36,7 değeri, her 37 yılda bir büyük deprem meydana geldiği anlamına gelir. Gerçek sonuç ise her 31 yılda bir büyük deprem meydana geldiğidir ki bu da modelle oldukça uyumludur.
– 17,1 yılda 2 büyük deprem bekleniyor ve 13 yıl gibi yakın bir sürede 2 büyük depremin meydana geldiği biliniyor.
Bu nedenle Poisson modeli bu durum için kabul edilebilir.
Alıştırma 2
Bir şirket, 100 saatlik çalışma süresine ulaşmadan önce arızalanan bileşen sayısının Poisson dağılımına uyduğunu tahmin ediyor. Bu noktada ortalama arıza sayısı 8 ise, aşağıdaki olasılıkları bulun:
a) Bir bileşenin 25 saat içinde arızalanması.
b) 50 saat içerisinde ikiden az bileşenin arızalanması.
c) 125 saat içinde en az üç bileşen arızalanır.
Çözüm a)
a) 100 saatte ortalama 8 arıza meydana geldiği bilinmektedir; bu nedenle 25 saatte arızaların dörtte birinin, yani 2 arızanın meydana gelmesi beklenmektedir. Bu parametre olacaktır. M.
1 bileşenin arızalanma olasılığı isteniyor, rastgele değişken “25 saatten önce arızalanan bileşenler” ve değeri y = 1. Olasılık fonksiyonunda yerine koyarak:
Ancak soru şu ki, bunun olasılığı ne kadar? iki bileşenden az 50 saatte arızalanacak ve 2 saatte tam olarak 50 bileşen arızalanmayacak, bu nedenle olasılıklar şöyledir:
-Hiçbir başarısızlık yok
-Sadece 1 başarısızlık
P(2'den az bileşen arızalı) = P(0) + P(1)
P(2'den az bileşen arızası) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915
c) O en azından 125 saatte 3 bileşenin arızalanması, bu süre içerisinde 4, 5, XNUMX veya daha fazla bileşenin arızalanabileceği anlamına gelir.
Meydana gelme olasılığı en azından Birkaç olaydan birinin olasılığı 1'e eşittir, hiçbir olayın gerçekleşme olasılığı çıkarıldığında.
-İstenen olay 3 saat içinde 125 veya daha fazla bileşenin arızalanmasıdır
– Olayın gerçekleşmemesi, 3’ten az bileşenin arızalanması anlamına gelir, bu bileşenin arızalanma olasılığı şudur: P(0) + P(1) + P(2)
Bu durumda dağılımın μ parametresi şu şekildedir:
μ = 8 + 2 = 10 saatte 125 arıza .
P(3 veya daha fazla bileşen arızalı) = 1 – P(0) – P(1) – P(2) =
Referanslar
- MathWorks Poisson Dağılımı. Kaynak: en.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Yönetim ve Ekonomi İstatistikleri. 3. baskı. Iberoamerica Yayın Grubu.
- Stat Trek İstatistikleri Kendinize Öğretin. Poisson Dağılımı Kaynak: stattrek.com
- Triola, M. 2012. İlköğretim İstatistikleri. 11. Baskı. Pearson Eğitimi.
- Wikipedia Poisson Dağılımı Kaynak: en.wikipedia.org