Ayrık olasılık dağılımları, ayrık ve sonlu değerlere sahip olayların oluşumunu tanımlayan matematiksel modellerdir. Bu dağılımlar, tüm olası sonuçların olasılıklarının toplamının 1 olması ve dağılımın şeklini belirleyen bir parametrenin varlığı gibi özellikleriyle karakterize edilir. Bu makalede, Bernoulli dağılımı, binom dağılımı, Poisson dağılımı ve geometrik dağılım gibi en yaygın ayrık olasılık dağılımlarının özelliklerini inceleyecek ve bu kavramları daha iyi anlamanıza yardımcı olacak bazı pratik alıştırmalar sunacağız.
Ayrık olasılık dağılımı kavramını anlamak: basit ve net bir açıklama.
Ayrık olasılık dağılımı kavramını anlamak için, bunun bir rastgele deneyin her olası sonucuyla bir olasılık ilişkisi kuran matematiksel bir fonksiyon olduğunu anlamak önemlidir. Başka bir deyişle, ayrık olasılık dağılımı, her bir sonucun sonlu veya sayılabilir bir olasılık kümesinde meydana gelme olasılığını belirlememizi sağlar.
Ayrık olasılık dağılımı, her sonuca negatif olmayan bir değer atayan ve tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olduğu olasılık fonksiyonu ile karakterize edilir. Ayrıca, olası sonuçlar farklı ve izoledir ve ara değerlerin oluşma olasılığı yoktur.
Ayrık olasılık dağılımının klasik bir örneği, belirli bir zaman diliminde meydana gelen olayların sayısı gibi sayım süreçlerinde yaygın olarak kullanılan Poisson dağılımıdır. Bir diğer yaygın örnek ise, başarı veya başarısızlık gibi yalnızca iki olası sonucu olan deneyleri modelleyen binom dağılımıdır.
Ayrık olasılık dağılımları teorisini uygulayabilmek için, bu dağılımların kendine özgü özelliklerini ve karakteristiklerini anlamak, olasılıkları hesaplayabilmek ve sonuçları yorumlayabilmek gerekir. Bu olasılık alanındaki anlayışı derinleştirmek ve becerileri geliştirmek için pratik alıştırmalar şarttır.
İstatistik ve olasılıkta kullanılan başlıca ayrık dağılımları öğrenin.
İstatistik ve olasılıkta kullanılan başlıca ayrık dağılımları öğrenin. Ayrık olasılık dağılımları, istatistiksel analizde önemli araçlardır ve rastgele olayların modellenmesini ve tahmin edilmesini sağlar. Başlıca ayrık dağılımlar arasında Bernoulli dağılımı, binom dağılımı, geometrik dağılım, Poisson dağılımı ve hipergeometrik dağılım bulunur.
A Bernoulli dağılımı Başarı ve başarısızlık gibi yalnızca iki olası sonucu olan deneyleri modellemek için kullanılır. binom dağılımı Bağımsız deneme sayısının sabit olduğu ve her denemede başarı ve başarısızlık gibi yalnızca iki olası sonucun olduğu durumlarda uygulanır.
A geometrik dağılım Bağımsız deneyler dizisinde ilk başarıya ulaşana kadar geçen deneme sayısını modellemek için kullanılır. Poisson dağılımı Belirli bir zaman veya uzay aralığında nadir olayların oluşumunu modellemek için kullanılır.
Son olarak hipergeometrik dağılım Belirli bir örneklemdeki başarı sayısına odaklanılarak, sonlu bir popülasyondan elemanların değiştirilmeden seçildiği deneyleri modellemek için kullanılır.
Bu ayrık dağılımları ve nasıl uygulanacağını daha iyi anlamak için alıştırmalar yapmak önemlidir. Bu dağılımları içeren problemleri çözmek, bilgiyi pekiştirmeye ve istatistik ve olasılık becerilerini geliştirmeye yardımcı olabilir.
Bu nedenle istatistik ve olasılık derslerinde Bernoulli dağılımı, binom dağılımı, geometrik dağılım, Poisson dağılımı ve hipergeometrik dağılım gibi başlıca ayrık dağılımların özelliklerini ve uygulamalarını bilmek önemlidir.
Olasılık dağılımlarının türleri: İstatistiksel dağılımların farklı biçimlerini öğrenin.
Olasılık dağılımları, bir olgunun rastgele davranışını tanımlayan matematiksel modellerdir. Her biri kendine özgü özellikleri ve uygulamaları olan farklı olasılık dağılımı türleri vardır. Bu makalede, belirli ve sayılabilir değerler alabilen ayrık değişkenlerle ilişkili olan ayrık olasılık dağılımlarına odaklanacağız.
En yaygın ayrık olasılık dağılımlarından bazıları; tekdüze dağılım, binom dağılımı, Poisson dağılımı ve geometrik dağılımdır. Bu dağılımların her birinin kendine özgü özellikleri vardır ve farklı istatistiksel bağlamlarda kullanılır.
Örneğin, tekdüze dağılım, ayrık bir değişkenin tüm olası değerlerine aynı olasılığın atanmasıyla karakterize edilir. Binom dağılımı, her biri aynı başarı olasılığına sahip bir dizi bağımsız denemedeki başarı sayısını modellemek için kullanılır. Poisson dağılımı ise, belirli bir zaman veya uzay aralığındaki nadir olayların sayısını modellemek için kullanılır. Geometrik dağılım ise, bir dizi bağımsız denemedeki ilk başarıya kadar gereken deneme sayısını modellemek için kullanılır.
Bu dağılımların nasıl çalıştığını daha iyi anlamak için alıştırmalarla pratik yapmak önemlidir. Örneğin, adil bir madeni paranın 3 atışında tam olarak 5 yazı gelme olasılığını binom dağılımını kullanarak hesaplayabiliriz. Ya da belirli bir zaman aralığında en az 2 olayın meydana gelme olasılığını Poisson dağılımını kullanarak belirleyebiliriz.
Bu dağılımların özelliklerini ve uygulamalarını anlayarak istatistik ve ilgili bilim insanları olasılıksal verilere dayanarak daha bilinçli ve doğru kararlar alabilirler.
Hangi değişkenler olasılık açısından ayrık olarak kabul edilir?
Olasılık açısından, ayrık değişkenler sonlu veya sayılabilir sayıda değer alabilen değişkenlerdir. Bu, ayrık değişkenlerin sayılabilen ve genellikle tam sayılarla temsil edilen değişkenler olduğu anlamına gelir. Örneğin, bir otoparktaki araç sayısı, bir sınıftaki öğrenci sayısı ve bir zardaki yüz sayısı, ayrık değişkenlere örnektir.
Bu değişkenler, belirli bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabilen sürekli değişkenlerden farklıdır. Ayrık değişkenler belirli, ayrık değerlere sahipken, sürekli değişkenler sürekli bir aralıktaki herhangi bir değeri alabilir. Örneğin, bir kişinin boyu, bir görevi tamamlama süresi ve oda sıcaklığı sürekli değişkenlere örnektir.
Bu nedenle olasılıktaki ayrık değişkenler, bir aralıktaki herhangi bir değeri alabilen sürekli değişkenlerin aksine, sayılabilir ve belirli, ayrı değerler alabilen değişkenlerdir.
Ayrık Olasılık Dağılımları: Özellikler, Alıştırmalar
As ayrık olasılık dağılımları X(S) = {x1, x2, …, xi, …}'nin her bir elemanına ilişkin bir fonksiyondur; burada X, belirli bir ayrık rastgele değişken ve S, bu olayın gerçekleşme olasılığını temsil eden örnekleme uzayıdır. X(S)'nin f(xi) = P(X = xi) olarak tanımlanan bu f fonksiyonuna bazen kütle olasılık fonksiyonu denir.
Bu olasılık kütlesi genellikle bir tablo şeklinde gösterilir. X ayrık bir rastgele değişken olduğundan, X(S) sonlu veya sonsuz sayıda olaya sahiptir. En yaygın ayrık olasılık dağılımları arasında tekdüze dağılım, binom dağılımı ve Poisson dağılımı bulunur.
Özellikler
Olasılık dağılım fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:
Ayrıca, eğer X yalnızca sonlu sayıda değer alıyorsa (örneğin, x1, x2, …, xn), o zaman i > n ise p(xi) = 0 olur ve bu nedenle, b koşullarının sonsuz serisi sonlu seri haline gelir
Bu fonksiyon ayrıca aşağıdaki özellikleri de sağlar:
B, X rastgele değişkeniyle ilişkili bir olay olsun. Bu, B'nin X(S)'de yer aldığı anlamına gelir. Daha spesifik olarak, B = {xi1, xi2,…} olduğunu varsayalım. Dolayısıyla:
Başka bir deyişle: B olayının olasılığı, B ile ilişkili bireysel sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir.
Bundan şu sonuca varabiliriz ki eğer
Türleri
n noktada düzgün dağılım
Bir X rastgele değişkeninin, her değere aynı olasılık atanmışsa, n noktada tekdüze olmasıyla karakterize edilen bir dağılım izlediği söylenir. Olasılık kütle fonksiyonu şu şekildedir:
İki olası sonucu olan bir deneyimiz olduğunu varsayalım: olası sonucu yazı ya da tura olan bir madeni para atmak veya sonucu tek ya da çift sayı olabilecek bir tam sayı seçmek olabilir; Bu tür deneylere Bernoulli testi denir.
Genel olarak, iki olası sonuç başarı ve başarısızlık olarak adlandırılır; burada p başarı olasılığı, 1-p ise başarısızlık olasılığıdır. n bağımsız Bernoulli denemesinde x başarı olasılığını aşağıdaki dağılımla belirleyebiliriz.
Binom dağılımı
Bu fonksiyon, başarı olasılığı p olan n bağımsız Bernoulli denemesinde x başarı elde etme olasılığını temsil eder. Olasılık kütle fonksiyonu şu şekildedir:
Aşağıdaki grafik, binom dağılım parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle fonksiyonunu göstermektedir.
Aşağıdaki dağılım, adını binom dağılımının limiti olarak bu dağılımı elde eden Fransız matematikçi Simeon Poisson'dan (1781-1840) almaktadır.
Poisson Dağılımı
Bir rastgele değişken X, aşağıdaki olasılıkla 0,1,2,3, … pozitif tam sayı değerlerini alabildiğinde, parametre λ'nın Poisson dağılımına sahip olduğu söylenir:
Bu ifadede λ, olayın birim zamandaki ortalama gerçekleşme sayısı, x ise olayın meydana gelme sayısıdır.
Kütle olasılık fonksiyonu:
Aşağıda Poisson dağılımı parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle fonksiyonunu gösteren bir grafik yer almaktadır.
Başarı sayısı düşük ve binom dağılımı üzerinde gerçekleştirilen test sayısı yüksek olduğu sürece, Poisson dağılımının binom dağılımının limiti olması nedeniyle, bu dağılımları her zaman yaklaşık olarak hesaplayabiliriz.
Bu iki dağılım arasındaki temel fark, binomun iki parametreye –nep– bağlı olması, Poisson'un ise sadece λ'ya, bazen dağılımın yoğunluğu olarak da adlandırılan değere bağlı olmasıdır.
Şimdiye kadar sadece farklı deneylerin birbirinden bağımsız olduğu, yani birinin sonucunun diğerinin sonucundan etkilenmediği durumlar için olasılık dağılımlarından bahsettik.
Deneyler bağımsız olmadığında hipergeometrik dağılım çok kullanışlıdır.
Hipergeometrik dağılım
Sonlu bir kümedeki nesnelerin toplam sayısı N olsun, bunlardan k'yi bir şekilde belirleyebiliriz ve tamamlayıcısı kalan Nk elemanlardan oluşan K altkümesini oluştururlar.
Rastgele n nesne seçersek, bu seçimdeki K nesnesinin sayısını temsil eden X rastgele değişkeni, N, n ve k parametrelerinden oluşan hipergeometrik bir dağılıma sahip olacaktır. Kütle olasılık fonksiyonu şu şekildedir:
Aşağıdaki grafik, hipergeometrik dağılım parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle fonksiyonunu göstermektedir.
Çözülmüş alıştırmalar
İlk egzersiz
Belirli bir ekipmana yerleştirilmiş bir radyo tüpünün 500 saatten fazla çalışma olasılığının 0,2 olduğunu varsayalım. 20 tüp test edilirse, tam olarak k tanesinin 500 saatten fazla çalışma olasılığı nedir, k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX?
Çözüm
Eğer X, 500 saatten fazla çalışan tüplerin sayısıysa, X'in binom dağılımına sahip olduğunu varsayacağız. O zaman
Ve bu yüzden:
k≥11 için olasılıklar 0,001'den azdır
Böylece, bunların k tanesinin 500 saatten fazla çalışma olasılığının, en yüksek değerine (k=4) ulaşana kadar nasıl arttığını ve daha sonra azalmaya başladığını gözlemleyebiliriz.
2. egzersiz
Bir madeni para 6 kez havaya atılıyor. Sonuç tura gelirse, buna başarı diyoruz. Tam iki tura gelme olasılığı nedir?
Çözüm
Bu durumda n = 6'dır ve başarı ve başarısızlık olasılığı p = q = 1/2'dir
Bu nedenle, iki yüzün verilmiş olma olasılığı (yani k = 2) şudur:
Üçüncü egzersiz
En az dört yüz bulma olasılığı nedir?
Çözüm
Bu durumda k = 4, 5 veya 6'ya sahibiz
Üçüncü egzersiz
Bir fabrikada üretilen ürünlerin %2'sinin kusurlu olduğunu varsayalım. 100 üründen oluşan bir örneklemde üç kusurlu ürün olma olasılığını P olarak bulun.
Çözüm
Bu durumda n = 100 ve p = 0,02 için binom dağılımını uygulayabiliriz ve sonuç olarak şunu elde ederiz:
Ancak p küçük olduğundan, λ = np = 2 ile Poisson yaklaşımını kullanırız. Böylece
Referanslar
- Kai Lai Chung: Stokastik Süreçlerle Temel Olasılık Teorisi. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen – Ayrık Matematik ve Uygulamaları. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE SPAIN.
- Paul L. Meyer Olasılık ve istatistiksel uygulamalar. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Doktora 2000 Ayrık Matematikte Çözülmüş Problemler. McGraw-HILL
- Seymour Lipschutz Doktora, Teori ve Olasılık Problemleri. McGraw-HILL