Вписаний кут кола — це кут, вершина якого розташована на колі, а сторони є хордами кола. Ці кути мають цікаві властивості, які можна дослідити за допомогою різних теорем.
Деякі з найважливіших теорем, пов'язаних з вписаними кутами, включають теорему про вписаний кут, яка стверджує, що вписаний кут у коло дорівнює половині відповідного центрального кута, та теорему про дотичну, яка стверджує, що вписаний кут, що перетинає ту саму дугу, що й хорда, дорівнює куту, утвореному хордою та дотичною до кола в точці перетину.
Для кращого розуміння розглянемо деякі практичні приклади застосування цих теорем у геометричних задачах, що стосуються кутів, вписаних у кола.
Які різні кути утворюються в колі?
У колі можна утворити кілька кутів. Одним з найважливіших кутів є вписаний кутВписаний кут — це кут, вершина якого розташована на колі, а сторони перетинають коло у двох різних точках. Цей кут дорівнює половині дуги, яку він перетинає.
Існує кілька теорем, пов'язаних з вписаними кутами в коло. Одна з найважливіших — теорема про вписаний кут, яка стверджує, що вписаний кут у коло дорівнює половині довжини дуги, яку воно перетинає. Ця теорема дуже корисна для розв'язання задач, пов'язаних з вписаними кутами в коло.
Щоб краще проілюструвати це, розглянемо приклад: якщо дуга в колі має 120 градусів, то відповідний вписаний кут становитиме 60 градусів. Це пояснюється тим, що вписаний кут завжди дорівнює половині дуги, яку він перетинає.
Розуміючи теорему про вписаний кут і практикуючись на прикладах, ви можете легко розв'язувати задачі, пов'язані з вписаними кутами в коло.
Знайдіть формулу для обчислення кута, вписаного в коло.
Вписаний кут у коло визначається як кут, утворений двома променями, що виходять з центру кола та перетинають його у двох різних точках. Щоб обчислити вписаний кут у коло, ми використовуємо формулу:
Вписаний кут = 2 * Центральний кут
Де центральний кут — це кут, утворений двома променями, що виходять з центру кола та перетинають його у двох різних точках. Ця теорема є фундаментальною для розв'язання задач, пов'язаних з колами, таких як знаходження кутів у геометричних фігурах або в задачах тригонометрії.
Наприклад, якщо центральний кут кола дорівнює 60 градусам, то вписаний кут буде:
Вписаний кут = 2 * 60 = 120 градусів
Таким чином, ми можемо легко обчислити вписаний кут у коло за центральним кутом. Ця формула корисна в різних математичних та геометричних застосуваннях, полегшуючи обчислення кутів у колах.
Знання 5 основних елементів для повного опису кола.
Щоб повністю описати коло, потрібно знати п'ять основних елементів, які його характеризують. Ці елементи - радіус, діаметр, центр, хорда та вписаний кут.
O раіо – це відстань від центру кола до будь-якої точки на його окружності. diametro вдвічі більша за радіус і проходить через центр кола. центр є центральною точкою кола, звідки починаються всі вимірювання. мотузка — це відрізок прямої, який з'єднує дві точки на колі. А вписаний кут - це кут, утворений двома дугами кола, вершина яких знаходиться на колі.
Вписаний кут кола — це міра кута, утвореного двома дугами, вершина яких лежить на колі. Цей тип кута широко використовується в задачах геометрії та тригонометрії, оскільки він пов'язаний з кількома властивостями кола.
Існує кілька теорем, що стосуються вписаного кута в коло. Одна з найвідоміших - теорема про вписаний кут, яка стверджує, що міра кута, вписаного в коло, дорівнює половині міри відповідної дуги.
Наприклад, якщо дуга кола має довжину 120 градусів, то відповідний вписаний кут становитиме 60 градусів. Ця теорема дуже корисна для розв'язання задач, пов'язаних з вписаними кутами в кола.
Отже, знання п'яти основних елементів для повного опису кола, включаючи вписаний кут, є фундаментальним для розуміння та розв'язання геометричних задач, пов'язаних з колами.
Зв'язок між вписаним кутом і центральним кутом у колі: який зв'язок?
Вписані кути кола безпосередньо пов'язані з центральними кутами, що мають спільну відповідну дугу. Цей зв'язок є фундаментальним для розуміння геометрії кола та регулюється кількома важливими теоремами.
Um вписаний кут це та, вершина якої знаходиться на колі, а сторони якої є хордами того ж самого кола. центральний кут це кут, вершина якого знаходиться в центрі кола, а сторони якого є радіусами однакового радіуса. Зв'язок між цими двома типами кутів зумовлений тим, що центральний кут вдвічі більший за вписаний кут, який має таку саму відповідну дугу.
Цей зв'язок можна формалізувати кількома теоремами, такими як Теорема про вписаний кут і Теорема про центральний кутПерша теорема стверджує, що вписаний кут у коло дорівнює половині центрального кута, який має таку ж відповідну дугу. Друга теорема стверджує, що сума вписаного кута та центрального кута, які мають таку ж відповідну дугу, завжди дорівнює 180 градусам.
Щоб проілюструвати цей зв'язок, можна розглянути простий приклад: якщо в колі є вписаний кут 60 градусів, то відповідний центральний кут становитиме 120 градусів. Це пояснюється тим, що центральний кут вдвічі більший за вписаний кут.
Цей зв'язок дозволяє нам встановити важливі властивості та теореми, що полегшують розв'язання задач, пов'язаних з колами та кутами.
Вписаний кут кола: визначення, теореми, приклади
O вписаний кут кола — це кут, вершина якого знаходиться в колі, а радіуси є січними або дотичними до нього. Як наслідок, вписаний кут завжди буде опуклим або плоским.
На рисунку 1 показано кілька кутів, вписаних у відповідні кола. Кут ∠EDF вписаний вершиною D у коло, а його два промені [DE) та [DF) січні до кола.
Аналогічно, кут GHGI є вписаним, оскільки його вершина знаходиться в колі, а сторони є січними.
Кути JKJR та ∠UST також вписані в коло. Перший з них має одну сісну сторону, а іншу дотичну, тоді як другий має обидві сторони дотичні до кола, утворюючи кут, вписаний у площину (180º).
Деякі автори називають напіввписаним кутом одну зі сторін, дотичних до кола, але в цій статті вона вважається вписаним.
Кожен вписаний кут визначає або опирається на дугу, пов'язану з ним. Наприклад, на рисунку 2 вписаний кут ∠ABC опирається на дугу A⌒C довжини d.
На цьому ж рисунку показано кут EDOE, який не вписаний у коло, оскільки його вершина не на колі, а в центрі O.
Центральний кут
Окрім вписаного кута, центральний кут можна визначити в колі, яке є кут вершина якого знаходиться в центрі кола, а сторони перетинають коло.
Радіанна міра центрального кута — це частка між дугою кола, що опирається на нього, тобто дугою кола між сторонами кута, та радіусом кола.
Якщо довжина кола дорівнює одиниці (радіус 1), то довжина дуги в тих самих одиницях радіуса є мірою кута в радіанах.
А коли потрібне вимірювання кута в градусах, то вимірювання в радіанах множиться на коефіцієнт 180º / π.
Прилади для вимірювання кутів завжди використовують центральний кут, а довжина дуги, що опирається на нього, калібрується безпосередньо в градусах. Це означає, що щоразу, коли вимірюється кут, внизу вимірюється довжина дуги, що опирається на центральний кут.
Теореми
– Теорема 1 (вписаний кут та центральний кут)
Міра вписаного кута дорівнює половині міри центрального кута, якщо обидва кути опираються на одну й ту саму дугу. .
На рисунку 4 показано два кути ∠ABC та ∠AOC, що перетинають одну й ту саму дугу кола A⌒C.
Якщо міра вписаного кута дорівнює α, то міра β центрального кута вдвічі більша за міру вписаного кута (β = 2α), оскільки обидві опираються на одну й ту саму дугу вимірювання d.
Демонстрація 1a
Щоб довести Теорему 1, ми почнемо з показу кількох окремих випадків, поки не дійдемо до загального випадку.
Припустимо, що є вписаний кут, одна зі сторін якого проходить через центр кола, як показано на рисунку 5.
У цьому випадку утворюється рівнобедрений трикутник COB, оскільки [OC] = [OB].
У рівнобедреному трикутнику кути, прилеглі до основи, рівні; отже, маємо, що ∠BCO = ∠ABC = α. З іншого боку, BCOB = 180º – β.
Враховуючи суму внутрішніх кутів трикутника COB, маємо:
α + α + (180º – β) = 180º
З чого випливає, що 2α = β, або що еквівалентно: α = β / 2. Це збігається з тим, що стверджує Теорема 1: міра вписаного кута дорівнює половині центрального кута, якщо обидва кути опираються на одну й ту саму хорду [AC].
Демонстрація 1b
У цьому випадку ми маємо вписаний кут ∠ABC, у якого центр O кола знаходиться всередині кута.
Щоб довести Теорему 1 у цьому випадку, проведемо допоміжний промінь [BO] так, щоб у нас були два вписані кути ∠ABO та ∠OBC, прилеглі до цього променя.
Аналогічно, існують центральні кути p 1 eβ 2 суміжний з цим променем. Таким чином, ми маємо таку ж ситуацію, як показано в 1a, тому можна сказати, що α 2 = β 2 /2 та кт 1 = β 1 /2. Оскільки α = α 1 +α 2 та β = β 1 + β 2 отже, α = α 1 +α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / 2
На завершення α = β / 2, що узгоджується з Теоремою 1.
– Теорема 2
Якщо два або більше вписаних кутів представляють одну й ту саму дугу, вони мають однакову міру.
– Теорема 3
Вписані кути, що опираються на струни однакової міри, рівні .
Приклади
– Приклад 1
Доведіть, що вписаний кут, що опирається на діаметр, є прямим кутом.
Рішення
Центральний кут ∠AOB, пов'язаний з діаметром, є плоским кутом, міра якого дорівнює 180º.
Згідно з теоремою 1, кожен кут, вписаний в коло, яке утворює той самий трос (у цьому випадку діаметр), має за міру половину центрального кута, який утворює той самий трос, що в нашому прикладі дорівнює 180º / 2 = 90º.
– приклад 2
Дотична лінія (BC) до кола C у точці A визначає вписаний кут ∠BAC (див. рисунок 10).
Перевірте, чи виконується теорема 1 про вписані кути.
Рішення
Кут ∠BAC є вписаним, оскільки його вершина лежить на колі, а його сторони [AB) та [AC) дотичні до кола, отже, визначення вписаного кута виконується.
З іншого боку, вписаний кут ∠BAC опирається навколо дуги A⌒A, яка є повним колом. Центральний кут, що опирається навколо дуги A⌒A, є опуклим кутом, мірою якого є повний кут (360º).
Вписаний кут, що опирається на всю дугу, дорівнює половині відповідного центрального кута, тобто ACBAC = 360º / 2 = 180º.
З огляду на все вищесказане, виявляється, що цей конкретний випадок відповідає Теоремі 1.
Список літератури
- Балдор. (1973). Геометрія та тригонометрія. Центральноамериканське культурне видавництво.
- EA (2003). Елементи геометрії: з вправами та геометрією циркуля. Університет Медельїна.
- Геометрія 1-й курс ESO. Кути в колі. Отримано з: edu.xunta.es/
- Вся наука. Запропоновані вправи на кути в колі. Отримано з: francesphysics.blogspot.com
- Вікіпедія. Вписаний кут. Отримано з: es.wikipedia.com