离散概率分布是描述具有离散有限值事件发生的数学模型。这些分布的特征在于其属性，例如所有可能结果的概率之和等于 1，以及存在一个决定分布形状的参数。在本文中，我们将探讨最常见的离散概率分布的特征，例如伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布，并提供一些实践练习以更好地理解这些概念。
理解离散概率分布的概念：简单清晰的解释。
要理解离散概率分布的概念，重要的是要理解它是一个数学函数，它将概率与随机实验的每个可能结果关联起来。换句话说，离散概率分布使我们能够确定在有限或可枚举的可能性集合中每个结果发生的概率。
离散概率分布的特点是其概率函数为每个结果赋予一个非负值，所有概率的总和等于 1。此外，可能的结果是独特的和孤立的，没有出现中间值的可能性。
离散概率分布的一个典型例子是泊松分布，它广泛用于计数过程，例如计算给定时间段内发生的事件数量。另一个常见的例子是二项分布，它用于模拟只有两种可能结果（例如成功或失败）的实验。
要应用离散概率分布理论，必须了解其具体属性和特点，并能够计算概率并解释结果。实践练习对于加深对概率领域的理解和培养技能至关重要。
了解统计和概率中使用的主要离散分布。
了解统计和概率中使用的主要离散分布。 离散概率分布是统计分析中的重要工具，可用于对随机事件进行建模和预测。主要的离散分布包括伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布和超几何分布。
A 伯努利分布 用于对只有两种可能结果（例如成功和失败）的实验进行建模。 二项分布 它适用于独立试验次数固定的情况，每次试验只有两种可能的结果，例如成功和失败。
A 几何分布 用于模拟一系列独立实验中第一次成功之前的试验次数。 泊松分布 用于模拟特定时间或空间间隔内罕见事件的发生。
最后， 超几何分布 它用于对实验进行建模，在实验中，从有限的总体中不替换地选择元素，并关注特定样本中的成功次数。
为了更好地理解这些离散分布及其应用方法，通过练习进行练习非常重要。解决涉及这些分布的问题有助于巩固知识，并提高统计和概率技能。
因此，在学习统计和概率时，了解主要离散分布的特征和应用是必不可少的，例如伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布和超几何分布。
概率分布的类型：了解统计分布的不同形式。
概率分布是描述现象随机行为的数学模型。概率分布有多种类型，每种都有各自的特点和应用。本文将重点讨论离散概率分布，它与离散变量（即可以假设特定可数值的变量）相关。
一些最常见的离散概率分布包括均匀分布、二项分布、泊松分布和几何分布。每种分布都有其自身的属性，并用于不同的统计环境中。
例如，均匀分布的特点是将相同的概率分配给离散变量的所有可能值。二项分布用于对一系列独立试验中的成功次数进行建模，每次试验的成功概率相同。泊松分布则用于对时间或空间区间内的罕见事件数量进行建模。几何分布用于对一系列独立试验中首次成功所需的试验次数进行建模。
为了更好地理解这些分布的工作原理，练习很重要。例如，我们可以使用二项分布计算抛一枚公平硬币五次，恰好出现三次正面的概率。或者，我们可以使用泊松分布确定在特定时间间隔内至少发生两次事件的概率。
通过了解这些分布的特征和应用，统计和相关科学专业人员可以根据概率数据做出更明智、更准确的决策。
哪些变量在概率中被视为离散的？
在概率中，离散变量是指那些可以假设有限个或可数个值的变量。这意味着离散变量是那些可以计数的变量，通常用整数表示。例如，停车场里的汽车数量、教室里的学生数量以及骰子上的面数都是离散变量的例子。
这些变量不同于连续变量，连续变量可以在特定范围内取无限多个值。离散变量具有特定的离散值，而连续变量可以取连续范围内的任意值。例如，一个人的身高、完成一项任务所需的时间以及室温都是连续变量的例子。
因此，概率中的离散变量是那些可以计数并具有特定、单独值的变量，而连续变量则可以具有一定范围内的任意值。
离散概率分布：特征、练习
As 离散概率分布 是与 X(S) = {x1, x2, …, xi, …} 中的每个元素相关联的函数，其中 X 是给定的离散随机变量，S 是采样空间，表示该事件发生的概率。X(S) 的函数 f 定义为 f(xi) = P(X = xi)，有时也称为质量概率函数。
概率质量通常以表格形式表示。由于 X 是离散随机变量，因此 X(S) 的事件数量要么有限，要么无限。最常见的离散概率分布包括均匀分布、二项分布和泊松分布。
CARACTERÍSTICAS
概率分布函数必须满足以下条件：
此外，如果 X 仅取有限个值（例如 x1、x2、...、xn），则当 i > n 时，p(xi) = 0，因此，条件 b 的无穷级数变为有限级数
该函数还满足以下属性：
设 B 是与随机变量 X 相关的事件。这意味着 B 包含在 X(S) 中。具体来说，假设 B = {xi1, xi2,…}。因此：
换句话说：事件 B 的概率等于与 B 相关的各个结果的概率之和。
由此我们可以得出结论，如果
类型
n 个点的均匀分布
如果随机变量 X 的每个值都具有相同的概率，则称该变量服从一个在 n 个点上均匀分布的分布。其概率质量函数为：
假设我们有一个有两种可能结果的实验：它可能是抛硬币，其可能的结果是正面或反面，或者选择一个整数，其结果可能是奇数或偶数；这种类型的实验称为伯努利检验。
一般来说，两种可能的结果被称为成功和失败，其中 p 是成功的概率，1-p 是失败的概率。我们可以利用以下分布确定 n 次独立伯努利试验中 x 次成功的概率。
二项分布
该函数表示在n次独立的伯努利试验中获得x次成功的概率，其成功概率为p。其概率质量函数为：
下图表示二项分布参数不同值的概率质量函数。
以下分布因法国数学家西蒙·泊松 (1781-1840) 而得名，他将其作为二项分布的极限得出。
泊松分布
当随机变量 X 能够以以下概率获得正整数值 0,1,2,3，… 时，我们称该变量服从参数 λ 的泊松分布：
在此表达式中，λ 是每个时间单位内事件发生的平均次数，x 是事件发生的次数。
其质量概率函数为：
下面是表示泊松分布参数不同值的概率质量函数的图。
请注意，只要成功次数较少，而对二项分布执行的测试次数较多，我们总是可以近似这些分布，因为泊松分布是二项分布的极限。
这两个分布之间的主要区别在于，二项式分布取决于两个参数 - nep -，而泊松分布仅取决于λ，λ有时被称为分布的强度。
到目前为止，我们只讨论了不同实验彼此独立的情况的概率分布；也就是说，一个实验的结果不受另一个实验的结果的影响。
当实验不是独立的时候，超几何分布非常有用。
超几何分布
令 N 为有限集中对象的总数，其中我们可以通过某种方式确定 k 个，形成子集 K，其补集由剩余的 Nk 个元素组成。
如果我们随机选择 n 个对象，则表示在该选择中属于 K 个对象数量的随机变量 X 将具有参数 N、n 和 k 的超几何分布。其质量概率函数为：
下图表示超几何分布参数不同值时的概率质量函数。
已解决的练习
第一个练习
假设某类设备中电子管工作时间超过 500 小时的概率为 0,2。如果测试 20 个电子管，其中恰好 k 个电子管工作时间超过 500 小时的概率是多少？k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX。
解决方案
如果X是运行时间超过500小时的灯管数量，我们假设X服从二项分布。那么
所以：
对于 k≥11，几率小于 0,001
因此，我们可以观察到这些工作超过 500 小时的概率 k 如何增加，直到达到其最大值（k = 4），然后开始下降。
第二个练习
一枚硬币抛了6次。如果结果是正面，我们就称其成功。两次正面出现的概率是多少？
解决方案
对于这种情况，我们有 n = 6，成功和失败的概率是 p = q = 1/2
因此，出现两张脸（即 k = 2）的概率是
第三次练习
找到至少四张面孔的概率是多少？
解决方案
对于这种情况，我们有 k = 4、5 或 6
第三次练习
假设工厂生产的商品中有2%有缺陷。求100个商品样本中，有XNUMX个缺陷商品的概率P。
解决方案
对于这种情况，我们可以应用 n = 100 和 p = 0,02 的二项分布，结果如下：
然而，由于 p 很小，我们使用泊松近似，λ = np = 2。因此
参考文献
- Kai Lai Chung：《随机过程的基本概率论》。Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen——离散数学及其应用。SAMCGRAW-HILL/INTERAMERICANO DE SPAIN。
- Paul L. Meyer概率与统计应用。SA ALHAMBRA MEXICANA。
- Seymour Lipschutz 博士，2000 年，解决离散数学问题。麦格劳-希尔出版社
- Seymour Lipschutz博士。《理论与概率问题》。麦格劳-希尔出版公司