超几何分布是一种统计模型，它描述从有限总体中无放回抽取的样本中获得一定成功次数的概率。在该模型中，总体被分为两个不同的类别（成功和失败），并且在不放回被移除元素的情况下选择样本。
超几何分布由三个参数表征：总体规模、总体中的成功次数以及样本规模。使用特定的公式和方程，可以计算出在选定样本中获得一定成功次数的概率。
该模型广泛应用于工业、科学研究和一般决策等各个领域。理解超几何分布及其实际应用，对于从有限总体中选择元素的问题进行统计分析至关重要。
只需几个步骤即可以实用高效的方式计算超几何分布。
为了在短短几步内高效地计算超几何分布，务必遵循以下几个简单的步骤。超几何分布通常用于计算在无放回样本中获得一定数量成功的概率。
首先，需要确定超几何分布的参数： n （样本大小）， K （总体成功率） N （人口规模）和 k （样本中期望的成功次数）。
然后使用超几何分布公式来计算准确获得 k 样本中的成功，由以下公式给出：
P(X = k) = (K 选择 k) * ((NK) 选择 (nk)) / (N 选择 n)
其中“选择”代表二项式系数，可以使用公式或专门的软件轻松计算。
最后，计算每个值的概率 k 如果需要，可以创建完整的分布并以实用有效的方式分析结果。
通过遵循这些简单的步骤并使用正确的公式，可以准确、快速地计算超几何分布，从而有助于对不同场景进行统计分析。
在特定的概率情况下何时选择二项分布和泊松分布。
在特定概率情况下选择二项分布和泊松分布时，务必考虑各自的特性。当我们处理的实验具有固定的试验次数，且每次试验只有两种可能的结果（成功或失败）时，会使用二项分布。另一方面，当我们处理在连续的时间或空间区间内计数罕见事件的过程时，泊松分布更合适。
例如，如果我们想知道抛一枚公平硬币5次，恰好出现10次正面的概率，那么二项分布将是理想的选择。如果我们想知道一天内某段道路上发生3起交通事故的概率，那么泊松分布将更为合适。
超几何分布：公式、方程、模型
当我们对在样本中不重复地获得一定数量的成功概率感兴趣时，可以使用超几何分布。它适用于移除一个元素会影响后续元素成功概率的情况。
超几何分布的公式如下：
P(X = k) = (C(n,k) * C(Nn, nk)) / C(N, n)
在哪里：
- P(X = k) 是样本中恰好获得 k 次成功的概率
- C(n,k) 是 n 个元素的组合数 kak
- N 是人口规模
- n 是样本中的元素数量
- k 是样本中期望成功的数量
因此，超几何分布是一种有用的工具，用于计算无需重复的样本成功概率，同时考虑到总体元素之间的相互作用。
了解如何以简单的方式计算概率分布。
发现 以简单的方式计算概率分布的方法。 超几何分布 是一种统计模型，描述在无重复情况下，样本中获得一定数量成功的概率。要计算概率分布，可以使用以下公式：
P(X=k) = (C(k,n) * C(Nk, Nn)) / C(N, n)
在哪里：
- X 是表示成功次数的随机变量
- k 是样本中期望成功的数量
- n 是总体中成功的总数
- N 是人口规模
- 出租车） 表示组合的数量 a 采取的要素 b a a 分子
利用这个公式，你可以轻松计算出在非重复样本中获得一定成功次数的概率。记住，所有概率的总和必须等于 1，这意味着所有可能成功次数的概率的总和必须等于 1。
超几何分布：公式、方程、模型
A 超几何分布 是一个离散统计函数，适用于计算随机实验中两种可能结果的概率。应用该函数的必要条件是实验总体较小，且提取的样本不重复，概率也并非常数。
因此，当选择总体中的一个元素来了解某个特征的结果（真或假）时，不能再次选择同一个元素。
当然，如果前一个元素得出负结果，则下一个选择的元素更有可能得出正确的结果。这意味着概率会随着样本元素的提取而变化。
超几何分布的主要应用是：小群体过程中的质量控制和游戏中的概率计算。
至于定义超几何分布的数学函数，它由三个参数组成，分别是：
– 总体元素数量（N）
– 样本大小（m）
– 整个群体中对所研究特征具有有利（或不利）结果的事件数（n）。
公式和方程式
超几何分布公式给出概率 P 的 该 x 出现给定特征的有利情况。根据组合数，数学上写法如下：
在前面的表达式中 N , n e m 是 ex 参数 x 变量本身。
– P 的总供奉量为 N.
某个二进制字符在总体中阳性结果的数量是 n.
-样本元素的数量是 m.
在这种情况下， X 是一个随机变量，其值为 x e P（x） 表示发生的概率 x 所研究特征的有利案例。
重要的统计变量
超几何分布的其他统计变量包括：
- 平均的 μ = m * n / N
– 方差 σ^2 = m * (n/N) * (1-n/N) * (Nm) / (N-1)
– 典型偏差 σ, 这是方差的平方根。
型号和属性
为了得到超几何分布模型，我们从获得 x 样本量中的有利案例 m.该样本包含符合所研究属性的元素和不符合所研究属性的元素。
请记住 n 表示总人口中有利案例的数量 N 元素。那么概率将按如下方式计算：
P(x) = (获得方法数 x 失败方法数) / (选择方法总数)
将上述内容以组合数的形式表达出来，可以得到如下的概率分布模型：
超几何分布的主要性质
具体如下：
– 即使总体很大，样本也应该很小。
– 逐个提取样本元素，而不将它们重新合并到总体中。
– 要研究的属性是二进制的，也就是说，它只能接收两个值： 1 ou 0 , 真 ou 假 .
在元素提取的每一步，概率都会根据之前的结果而变化。
通过二项分布近似
超几何分布的另一个性质是它可以用二项分布来近似，称为 Bi ，因为人口 N 大，至少比样本大 10 倍 m 在这种情况下，它看起来像这样：
P(N,n,m;x)=Bi(m,n/N,x)
只要N较大且N>10m即可适用
例子
范例1
假设一台机器生产螺丝，累计数据表明其中1%为缺陷品。一箱螺丝中N = 500个，则缺陷品数量为：
n = 500 * 1/100 = 5
超几何分布的概率
假设从这个盒子中（即从这个总体中）我们收集了 m = 60 个螺丝的样本。
样本中不存在螺栓（x = 0）的概率为 52,63%。此结果是使用超几何分布函数获得的：
P（500, 5, 60; 0）= 0,5263
样本中 x = 3 个螺钉有缺陷的概率为：P(500, 5, 60; 3) = 0,0129。
另一方面，样本中 4 个螺钉中有 x = 500 个有缺陷的概率为：P (5, 60, 4; 0,0008) = XNUMX。
最后，该样本中 x = 5 个螺钉有缺陷的概率为：P(500, 5, 60; 5) = 0。
但是如果您想知道样本中存在 3 个以上缺陷螺钉的概率，则需要通过以下方式获得累积概率：
P(3) + P(4) + P(5) = 0,0129 + 0,0008 + 0 = 0,0137。
该示例如图 2 所示，是通过使用免费软件获得的 地理几何 ，广泛应用于学校、研究所和大学。
范例2
一副西班牙纸牌共有40张，其中10张有金币，其余30张没有。假设从这副牌中随机抽出7张，这些牌不会回到牌堆中。
如果 X 是抽出的 7 张牌中的金牌数量，则抽出的 7 张牌中出现金牌的概率由超几何分布 P(40,10,7; x) 给出。
让我们看看以下内容：为了计算抽 4 张牌中出现 7 张金牌的概率，我们使用超几何分布公式，其值如下：
结果是：4.57% 的概率。
但如果你想知道获得 4 张以上牌的概率，你需要添加：
P(4) + P(5) + P(6) + P(7) = 5,20%
已解决的练习
以下练习旨在阐释和理解本文提出的概念。读者在阅读答案之前，务必先尝试自行解答。
练习 1
一家避孕套工厂发现，某台机器每生产1000个避孕套，就有5个有缺陷。为了进行质量控制，工厂随机抽取了100个避孕套，如果发现至少一个或多个缺陷，则该批次产品被拒收。答案：
a) 一批 100 个产品被丢弃的可能性有多大？
b) 该质量控制标准是否有效？
解决方案
此时会出现非常大的组合数，计算起来非常困难，除非有合适的软件包。
但由于总体很大，样本比总体小十倍，因此可以使用二项分布的超几何分布近似：
P(1000,5,100;x)=Bi(100/5,x)=Bi(1000,x)=C(100,x)*0,005^x(100-0,005)^(1-x)
在前面的表达式中， C（100，x） 是一个组合数。存在多个缺陷的概率计算如下：
P(x>=1) = 1 – Bi(0) = 1- 0,6058 = 0,3942
与应用超几何分布获得的值相比，这是一个很好的近似值：0,4102
可以说，有40%的概率，一批100支预防药剂就要被丢弃，效率很低。
然而，如果在质量控制过程中稍微放松一点，只有当第 100 批产品有两个或更多缺陷时才将其丢弃，那么丢弃该批产品的概率就会下降到只有 8%。
练习 2
塑料砌块机的工作原理是，每生产10块，就会有一块变形。在5块的样本中，只有一块有缺陷的概率。
解决方案
人口：N = 10
每个 N 的缺陷数 n：n = 1
样本大小：m = 5
P（10，1，5；1）= C（1,1）* C（9,4）/ C（10,5）= 1 * 126/252 = 0,5
因此，在 50 个样本中，有一个块发生扭曲的可能性为 5%。
练习 3
一组年轻毕业生中有7名女性和6名男性。女生中有4人就读人文学科，3人就读理科。男生中有1人就读人文学科，5人就读理科。请计算以下内容：
a) 随机选择三名女孩：她们都学习人文学科的概率是多少？
b) 如果在朋友聚会中随机选择三名参与者：他们三人，无论性别，都会学习所有三个学科或三个人文学科的可能性有多大？
c) 现在随机选择两个朋友，并将随机变量称为“学习人文学科的人数” x . 在所选的两者之间，确定平均值或预期值 x 以及变异 σ^2。
解决方案
总体是指女生总数：N = 7。学习人文学科的女生占总数的 n = 4。女生的随机样本为 m = 3。
在这种情况下，三人都是人文学科学生的概率由超几何函数给出：
P(N = 7, n = 4, m = 3, x = 3) = C (4, 3) C (3, 0) / C (7, 3) = 0,1143
随机选取三名女孩学习人文学科的可能性为 11,4%。
解决方案 b
现在要使用的价值观是：
-人口：N = 14
– 学习字母的数量是：n = 6 和
-样本大小：m = 3。
-学习人文学科的朋友数量：x
根据此公式，x = 3 表示三人均学习人文学科，而 x = 0 表示无人学习人文学科。三人学习同一学科的概率由下式给出：
P(14, 6, 3, x = 0) + P(14, 6, 3, x = 3) = 0,0560 + 0,1539 = 0,2099
因此，我们有 21% 的机会让三个随机选择的会议参与者研究同一件事。
解决方案 c
这里我们有以下值：
朋友总数为 n = 14，学习人文学科的人口总数为 n = 6，样本量为 m = 2。
希望是：
E（x）= m *（n / N）= 2 *（6/14）= 0,8572
以及变化：
σ(x)^2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =
= 2 * (6/14) * (1-6/14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3/7) * (12) / (13) = 0,4521
参考文献
- 离散概率分布。摘自：biplot.usal.es
- 统计与概率。超几何分布。检索自：proyectodescartes.org
- CDPYE-UGR。超几何分布，摘自：ugr.es
- Geogebra 经典 Geogebra，概率微积分。检索自 geogebra.org
- 轻松尝试。超几何分布的练习题已解答。检索自：probafacil.com
- Minitab 超几何分布 摘自：support.minitab.com
- 维哥大学。主离散分布。检索自：anapg.webs.uvigo.es
- Vitutor 统计与组合学。摘自：vitutor.net
- Weisstein, Eric W. 超几何分布。 摘自：mathworld.wolfram.com
- 维基百科 超几何分布 摘自：en.wikipedia.com