離散機率分佈是描述具有離散有限值事件發生的數學模型。這些分佈的特徵在於其屬性，例如所有可能結果的機率總和等於 1，以及存在一個決定分佈形狀的參數。在本文中，我們將探討最常見的離散機率分佈的特徵，例如伯努利分佈、二項分佈、泊松分佈和幾何分佈，並提供一些實踐練習以更好地理解這些概念。
理解離散機率分佈的概念：簡單清晰的解釋。
要理解離散機率分佈的概念，重要的是要理解它是一個數學函數，它將機率與隨機實驗的每個可能結果關聯起來。換句話說，離散機率分佈使我們能夠確定在有限或可列舉的可能性集合中每個結果發生的機率。
離散機率分佈的特徵是其機率函數為每個結果賦予一個非負值，所有機率的總和等於 1。此外，可能的結果是獨特的和孤立的，沒有出現中間值的可能性。
離散機率分佈的典型例子是泊松分佈，它廣泛用於計數過程，例如計算在給定時間段內發生的事件數量。另一個常見的例子是二項分佈，它用於模擬只有兩種可能結果（例如成功或失敗）的實驗。
要應用離散機率分佈理論，必須了解其具體屬性和特點，並能夠計算機率並解釋結果。實踐練習對於加深對機率領域的理解和培養技能至關重要。
了解統計和機率中使用的主要離散分佈。
了解統計和機率中使用的主要離散分佈。 離散機率分佈是統計分析中的重要工具，可用於對隨機事件進行建模和預測。主要的離散分佈包括伯努利分佈、二項分佈、幾何分佈、泊松分佈和超幾何分佈。
A 伯努利分佈 用於對只有兩種可能結果（例如成功和失敗）的實驗進行建模。 二項分佈 它適用於獨立試驗次數固定的情況，每次試驗只有兩種可能的結果，例如成功和失敗。
A 幾何分佈 用於模擬一系列獨立實驗中第一次成功之前的試驗次數。 泊松分佈 用於模擬特定時間或空間間隔內罕見事件的發生。
最後， 超幾何分佈 它用於對實驗進行建模，在實驗中，從有限的總體中不替換地選擇元素，並關注特定樣本中的成功次數。
為了更好地理解這些離散分佈及其應用方法，透過練習進行練習非常重要。解決涉及這些分佈的問題有助於鞏固知識，並提高統計和機率技能。
因此，在學習統計和機率時，了解主要離散分佈的特徵和應用是必不可少的，例如伯努利分佈、二項分佈、幾何分佈、泊松分佈和超幾何分佈。
機率分佈的類型：了解統計分佈的不同形式。
機率分佈是描述現象隨機行為的數學模型。機率分佈有多種類型，每種都有各自的特點和應用。本文將重點討論離散機率分佈，它與離散變數（即可以假設特定可數值的變數）相關。
一些最常見的離散機率分佈包括均勻分佈、二項分佈、泊松分佈和幾何分佈。每種分佈都有其自身的屬性，並用於不同的統計環境。
例如，均勻分佈的特徵是將相同的機率分配給離散變數的所有可能值。二項分佈用於對一系列獨立試驗中的成功次數進行建模，每次試驗的成功機率相同。泊松分佈則用於對時間或空間區間內的罕見事件數量進行建模。幾何分佈用於對一系列獨立試驗中首次成功所需的試驗次數進行建模。
為了更好地理解這些分佈的工作原理，練習很重要。例如，我們可以使用二項分佈計算投擲一枚公平硬幣五次，恰好出現三次正面的機率。或者，我們可以使用泊松分佈來確定在特定時間間隔內至少發生兩次事件的機率。
透過了解這些分佈的特徵和應用，統計和相關科學專業人員可以根據機率數據做出更明智、更準確的決策。
哪些變數在機率中被視為離散的？
在機率中，離散變數是指那些可以假設有限個或可數個值的變數。這意味著離散變數是那些可以計數的變量，通常用整數表示。例如，停車場裡的汽車數量、教室裡的學生數量以及骰子上的面數都是離散變數的例子。
這些變數不同於連續變量，連續變數可以在特定範圍內取無限多個值。離散變數具有特定的離散值，而連續變數可以取連續範圍內的任意值。例如，一個人的身高、完成一項任務所需的時間、室溫都是連續變數的例子。
因此，機率中的離散變數是那些可以計數並具有特定、單獨值的變量，而連續變數則可以具有一定範圍內的任意值。
離散機率分佈：特徵、練習
As 離散機率分佈 是與 X(S) = {x1, x2, …, xi, …} 中的每個元素相關聯的函數，其中 X 是給定的離散隨機變量，S 是採樣空間，表示該事件發生的機率。 X(S) 的函數 f 定義為 f(xi) = P(X = xi)，有時也稱為質量機率函數。
機率品質通常以表格形式表示。由於 X 是離散隨機變量，因此 X(S) 的事件數量要么有限，要么無限。最常見的離散機率分佈包括均勻分佈、二項分佈和泊松分佈。
CARACTERÍSTICAS
機率分佈函數必須滿足以下條件：
此外，如果 X 只取有限個值（例如 x1、x2、...、xn），則當 i > n 時，p(xi) = 0，因此，條件 b 的無窮級數變成有限級數
該函數還滿足以下屬性：
設 B 為與隨機變數 X 相關的事件。這意味著 B 包含在 X(S) 中。具體來說，假設 B = {xi1, xi2,…}。因此：
換句話說：事件 B 的機率等於與 B 相關的各個結果的機率總和。
由此我們可以得出結論，如果
類型
n 個點的均勻分佈
如果隨機變數 X 的每個值都具有相同的機率，則稱該變數服從在 n 個點上均勻分佈的分佈。其機率質量函數為：
假設我們有一個有兩種可能結果的實驗：它可能是拋硬幣，其可能的結果是正面或反面，或者選擇一個整數，其結果可能是奇數或偶數；這種類型的實驗稱為伯努利檢定。
一般來說，兩個可能的結果稱為成功和失敗，其中 p 是成功的機率，1-p 是失敗的機率。我們可以利用以下分佈來確定 n 次獨立伯努利試驗中 x 次成功的機率。
二項分佈
此函數表示在n次獨立的伯努利試驗中獲得x次成功的機率，其成功機率為p。其機率質量函數為：
下圖表示二項分佈參數不同值的機率質量函數。
以下分佈因法國數學家西蒙·泊松 (1781-1840) 而得名，他將其作為二項分佈的極限得出。
泊松分佈
當隨機變數 X 能夠以以下機率獲得正整數值 0,1,2,3，… 時，我們稱該變數服從參數 λ 的泊松分佈：
在此表達式中，λ 是每個時間單位內事件發生的平均次數，x 是事件發生的次數。
其質量機率函數為：
下面是表示泊松分佈參數不同值的機率質量函數的圖。
請注意，只要成功次數較少，而對二項分佈執行的測試次數較多，我們總是可以近似這些分佈，因為泊松分佈是二項分佈的極限。
這兩個分佈之間的主要區別在於，二項式分佈取決於兩個參數 - nep -，而泊松分佈僅取決於λ，λ有時被稱為分佈的強度。
到目前為止，我們只討論了不同實驗彼此獨立的情況的機率分佈；也就是說，一個實驗的結果不受另一個實驗的結果的影響。
當實驗不是獨立的時候，超幾何分佈就非常有用。
超幾何分佈
令 N 為有限集中物件的總數，其中我們可以透過某種方式確定 k 個，形成子集 K，其補集由剩餘的 Nk 個元素組成。
如果我們隨機選擇 n 個對象，則表示在該選擇中屬於 K 個對象數量的隨機變數 X 將具有參數 N、n 和 k 的超幾何分佈。其質量機率函數為：
下圖表示超幾何分佈參數不同值時的機率質量函數。
已解決的練習
第一個練習
假設某類設備中電子管工作時間超過 500 小時的機率為 0,2。如果測試 20 個電子管，其中恰好 k 個電子管工作時間超過 500 小時的機率是多少？ k = 0, 1,2, 20, …, XNUMX。
解決方案
如果X是運行時間超過500小時的燈管數量，我們假設X服從二項分佈。那麼
所以：
對於 k≥11，幾率小於 0,001
因此，我們可以觀察到這些工作超過 500 小時的機率 k 如何增加，直到達到其最大值（k = 4），然後開始下降。
第二個練習
一枚硬幣拋了6次。如果結果是正面，我們就稱之為成功。兩次正面出現的機率是多少？
解決方案
對於這種情況，我們有 n = 6，成功和失敗的機率是 p = q = 1/2
因此，出現兩張臉（即 k = 2）的機率是
第三次練習
找到至少四張臉的機率是多少？
解決方案
對於這種情況，我們有 k = 4、5 或 6
第三次練習
假設工廠生產的商品有2%有缺陷。求100個商品樣本中，有XNUMX個缺陷商品的機率P。
解決方案
對於這種情況，我們可以應用 n = 100 和 p = 0,02 的二項分佈，結果如下：
然而，由於 p 很小，我們使用泊松近似，λ = np = 2。因此
Referências
- Kai Lai Chung：《隨機過程的基本機率論》。 Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen－離散數學及其應用。 SAMCGRAW-HILL/INTERAMERICANO DE SPAIN。
- Paul L. Meyer機率與統計應用。 SA ALHAMBRA MEXICANA。
- Seymour Lipschutz 博士，2000 年，解決離散數學問題。麥格勞希爾出版社
- Seymour Lipschutz博士。 《理論與機率問題》。麥格勞-希爾出版公司