Como multiplicar frações por números negativos de forma simples

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Entender como multiplicar frações por números negativos é uma daquelas habilidades de matemática que parece complicada à primeira vista, mas que fica bem tranquila quando você organiza as ideias. Na prática, você vai usar as mesmas regras da multiplicação de frações comuns, só que prestando bastante atenção aos sinais (positivo e negativo) de cada número envolvido.

Neste guia completo em português, vamos revisar desde o que é numerador e denominador até como aplicar a regra de sinais, passando por multiplicação com inteiros, frações mistas, simplificação, truques para fazer contas mais rápido e vários exemplos comentados. A ideia é que você termine a leitura conseguindo enxergar frações negativas com naturalidade, sem se confundir com casos como −4/5, 4/−5 ou (−4)/(−5).

O que é uma fração e como funciona a multiplicação entre frações

Uma fração é uma forma de representar partes de um todo, sendo escrita na forma a/b, em que a é o numerador e b é o denominador. O numerador indica quantas partes estamos tomando, e o denominador mostra em quantas partes iguais o todo foi dividido.

O numerador é o número que aparece em cima da barra de fração, mostrando as partes consideradas; já o denominador fica embaixo da barra e indica o total de partes iguais em que o inteiro foi cortado. Por exemplo, na fração 3/4, o inteiro foi dividido em 4 partes iguais e estamos pegando 3 dessas partes.

Quando multiplicamos frações, a regra básica é muito direta: multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador. Não interessa se as frações têm denominadores iguais ou diferentes; na multiplicação, nunca somamos ou repetimos denominadores, apenas fazemos o produto dos termos de cima e o produto dos termos de baixo.

De forma simbólica, se temos as frações a/b e c/d (com b e d diferentes de zero), o resultado da multiplicação é (a × c)/(b × d). Ou seja: o novo numerador é o produto dos numeradores, e o novo denominador é o produto dos denominadores.

Um ponto importante é que o resultado nem sempre vem na forma mais simples. Depois de multiplicar, muitas vezes dá para simplificar a fração, dividindo numerador e denominador por um mesmo número maior do que 1 até chegar a uma fração irredutível (que não pode mais ser reduzida).

Multiplicação de frações negativas: ideia geral

Quando começam a aparecer sinais negativos nas frações, a estrutura da conta continua a mesma, mas entra em cena a regra de sinais. Em outras palavras, ainda multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si, porém precisamos determinar se o resultado final será positivo ou negativo.

Frações negativas podem aparecer de várias formas equivalentes: por exemplo, −4/5, 4/−5 e (−4)/5 representam a mesma quantidade negativa, porque basta que um dos dois termos (numerador ou denominador) seja negativo para que a fração inteira seja negativa.

Quando os dois termos da fração são negativos, como em (−3)/(−7), temos uma fração positiva, pois um número negativo dividido por outro negativo resulta em um valor positivo. Assim, (−3)/(−7) é exatamente o mesmo que 3/7.

Na multiplicação de frações negativas, a regra geral é copiar o que acontece com números inteiros: sinais iguais geram resultado positivo e sinais diferentes geram resultado negativo. Isso vale tanto se os sinais estão no numerador, no denominador ou à frente da fração inteira.

Por exemplo, se multiplicarmos (−2/3) por (−4/5), estamos fazendo o produto de duas frações negativas. Como os sinais são iguais (negativo com negativo), o resultado final será positivo, e podemos ignorar o sinal na hora de multiplicar os valores absolutos dos termos.

Passo a passo para multiplicar frações negativas

Para organizar melhor o raciocínio, é útil separar a conta em duas partes: primeiro lidar com os sinais, depois com a multiplicação entre numeradores e denominadores. Assim você reduz as chances de erro.

1. Analise os sinais envolvidos: conte quantas frações ou números negativos aparecem na multiplicação. Se a quantidade de termos negativos for par, o resultado será positivo; se for ímpar, o resultado será negativo.

2. Ignore temporariamente os sinais e multiplique os valores absolutos: multiplique todos os numeradores entre si, obtendo o novo numerador, e em seguida multiplique todos os denominadores entre si, obtendo o novo denominador. Nesta etapa, pense apenas em números positivos.

3. Atribua o sinal ao resultado final: com base na contagem de sinais negativos feita no início, coloque um sinal de mais (caso o número de negativos seja par) ou de menos (caso seja ímpar) na fração resultado.

4. Verifique se é possível simplificar a fração obtida: procure fatores comuns entre numerador e denominador; se ambos forem divisíveis por um mesmo número maior que 1, vá simplificando até chegar a uma fração irredutível.

Um exemplo clássico é a multiplicação (−2/3) × (−4/5). Temos duas frações negativas (número par de negativos), então o resultado será positivo. Multiplicando os termos: 2 × 4 = 8 no numerador e 3 × 5 = 15 no denominador, chegando a 8/15. Como não há divisores comuns além de 1, 8/15 já está na forma irredutível.

Multiplicação de fração por número inteiro (positivo ou negativo)

Quando multiplicamos uma fração por um número inteiro, podemos enxergar o inteiro como uma fração cujo denominador é 1. Dessa forma, a regra continua sendo multiplicar numeradores entre si e denominadores entre si.

Se temos a fração a/b e um número inteiro n, podemos escrever n como n/1. A multiplicação fica (a/b) × (n/1), resultando em (a × n)/(b × d). Em outras palavras, basta multiplicar o numerador da fração pelo inteiro e manter o denominador igual.

Esse raciocínio também vale para inteiros negativos. Se o número inteiro for negativo, por exemplo −3, escrevemos −3 como −3/1 e multiplicamos normalmente, prestando atenção à regra de sinais para saber se o resultado será positivo ou negativo.

Veja a lógica com um exemplo genérico: (2/5) × (−3) pode ser visto como (2/5) × (−3/1). O sinal negativo está apenas no inteiro, então temos um único termo negativo, logo o resultado será negativo. Multiplicando os valores absolutos: 2 × 3 = 6 e 5 × 1 = 5, obtendo −6/5.

Em muitos exercícios de aplicação prática, esse tipo de multiplicação aparece quando precisamos calcular uma fração de uma quantidade: por exemplo, 2/3 de 12, 3/4 de 20 ou 5/6 de 18, com o resultado representando uma parte de um total de itens, distância, tempo etc.

Multiplicação de frações com denominadores iguais

Às vezes, as frações envolvidas na multiplicação têm o mesmo denominador, algo como 2/7 e −3/7. Mesmo assim, a regra não muda: continuamos multiplicando numeradores entre si e denominadores entre si, sem repetir o denominador apenas porque ele é igual.

É muito comum confundir essa situação com adição ou subtração de frações. Na soma ou subtração, quando os denominadores são iguais, nós os repetimos e trabalhamos somente com os numeradores. Já na multiplicação, denominadores iguais também são multiplicados, não repetidos.

Por exemplo, considere (2/7) × (−3/7). O sinal negativo aparece em apenas uma das frações, então sabemos que o produto será negativo. Multiplicando numeradores: 2 × 3 = 6; multiplicando denominadores: 7 × 7 = 49. Resultado: −6/49, que já está simplificado.

Mesmo quando os denominadores são iguais, pode haver simplificação final se o numerador e o denominador do resultado tiverem fatores comuns. Porém, isso não tem a ver com serem iguais antes da conta, e sim com os números obtidos após a multiplicação.

Por isso, sempre que vir frações com mesmo denominador numa multiplicação, lembre-se: não trate como uma soma; continue seguindo a regra de multiplicar numeradores com numeradores e denominadores com denominadores.

Multiplicação de frações com denominadores diferentes

Quando os denominadores são diferentes, como em 2/3 e −4/5, o procedimento é exatamente o mesmo: não é preciso tirar mínimo múltiplo comum para multiplicar. Isso só é necessário em operações de soma e subtração.

Se temos as frações a/b, c/d e até outras frações adicionais, o processo é multiplicar todos os numeradores para formar o novo numerador e multiplicar todos os denominadores para formar o novo denominador. A presença do sinal negativo será considerada a partir da quantidade de fatores negativos envolvidos.

Imagine, por exemplo, a multiplicação (−2/3) × (4/5). Aqui apenas a primeira fração é negativa, e a segunda é positiva. Temos, portanto, um número ímpar de fatores negativos (1 negativo), o que significa que o resultado será negativo.

Multiplicando os valores absolutos, fazemos 2 × 4 = 8 no numerador e 3 × 5 = 15 no denominador, obtendo 8/15. Como temos apenas um fator negativo, associamos o sinal de menos à fração resultado, ficando −8/15.

Quando há mais de duas frações na mesma multiplicação, o raciocínio não muda: multiplique todos os numeradores, multiplique todos os denominadores e, no fim, determine o sinal com base na quantidade de fatores negativos. Depois, avalie se é possível simplificar o resultado.

Multiplicação envolvendo frações mistas e números negativos

Frações mistas são aquelas que aparecem na forma de um número inteiro acompanhado de uma fração, por exemplo, 1 2/3 ou −2 1/4. Para multiplicá-las, especialmente quando surgem sinais negativos, o melhor caminho é transformar tudo em frações impróprias.

Uma fração imprópria é aquela em que o numerador é maior do que o denominador, como 7/3 ou 9/4. Essa forma é mais prática para realizar multiplicações, pois se encaixa diretamente na regra de numerador vezes numerador e denominador vezes denominador.

Para converter uma fração mista em fração imprópria, seguimos dois passos: multiplicamos o inteiro pelo denominador da parte fracionária e somamos o numerador. O resultado dessa conta fica como novo numerador, enquanto o denominador permanece o mesmo.

Se a fração mista for negativa, o sinal negativo se aplica à fração imprópria inteira. Por exemplo, −1 2/3 pode ser convertido multiplicando 1 × 3 = 3, somando 2, o que dá 5. Como a parte inteira era negativa, a fração imprópria é −5/3.

Depois dessa conversão, a multiplicação segue exatamente as mesmas regras que usamos com quaisquer frações negativas: organizamos os sinais, multiplicamos numeradores entre si, denominadores entre si e simplizamos quando possível.

Regra de sinais na multiplicação de frações

A regra de sinais na multiplicação de frações é idêntica à regra que usamos com números inteiros, o que ajuda bastante na hora de fixar o conteúdo. Basta lembrar como funciona o produto de números positivos e negativos.

Quando os sinais dos fatores são iguais (positivo com positivo ou negativo com negativo), o resultado do produto é positivo. Isso vale mesmo que os sinais apareçam no numerador, no denominador ou na frente da fração completa.

Quando os sinais são diferentes (um fator positivo e outro negativo), o resultado é negativo. Se houver mais de dois fatores, conte quantos sinais negativos aparecem: número par de negativos gera resultado positivo; número ímpar de negativos gera resultado negativo.

Por exemplo, (−2/3) × (−4/5) tem dois fatores negativos, portanto o produto será positivo, resultando em 8/15. Já (−2/3) × (4/5) tem apenas um fator negativo, então o produto final será negativo, ficando −8/15.

Quando numerador e denominador de uma mesma fração são negativos, como em (−4)/(−5), a fração inteira é positiva, já que um negativo dividido por outro negativo é positivo. Assim, (−4)/(−5) é equivalente a 4/5. Da mesma forma, 4/−5 é a mesma coisa que −4/5, todos representando o mesmo valor negativo.

Simplificação de frações após a multiplicação

Depois de multiplicar frações (com ou sem sinais negativos), é comum que o resultado possa ser simplificado. Simplificar significa dividir numerador e denominador por um mesmo número maior do que 1, de forma que a fração fique equivalente, mas com números menores.

Uma boa estratégia é verificar se numerador e denominador são pares (ou seja, divisíveis por 2) ou se compartilham outros fatores, como 3, 5 ou 10. Sempre que você encontrar um divisor comum, pode dividir os dois termos por esse número para reduzir a fração.

À medida que você repete esse processo, chega a um ponto em que não existe mais nenhum número (além de 1 e −1) que divida simultaneamente o numerador e o denominador. Nesse caso, dizemos que a fração está na forma irredutível e não pode ser simplificada mais.

Por exemplo, se o resultado da multiplicação for 12/18, podemos dividir numerador e denominador por 2, obtendo 6/9. Em seguida, ainda dá para dividir ambos por 3, chegando a 2/3. Aqui, 2 e 3 não têm mais divisores comuns além de 1, então 2/3 é irredutível.

É importante lembrar que frações equivalentes. Isso significa que 12/18, 6/9 e 2/3 representam o mesmo valor numérico, apesar de terem numeradores e denominadores distintos. Em geral, preferimos usar a forma irredutível porque ela é mais simples de interpretar e comparar.

Dicas para multiplicar frações mais rápido

À medida que você ganha prática, dá para acelerar bastante as contas com frações, principalmente usando métodos como o cancelamento de fatores e a eliminação de termos iguais no numerador e no denominador antes mesmo de efetuar a multiplicação completa.

Uma primeira dica é observar se há números repetidos entre os numeradores e denominadores das frações envolvidas. Quando o mesmo número aparece em cima de uma fração e embaixo de outra, é possível cancelar esse fator, dividindo ambos por ele mesmo e substituindo por 1.

Por exemplo, se aparece um 5 no numerador de uma fração e um 5 no denominador de outra, você pode simplificar ambos dividindo por 5. Isso reduz consideravelmente o tamanho dos números na multiplicação final, facilitando a conta e evitando resultados gigantes que precisarão ser simplificados depois.

Outra técnica eficiente é o chamado método do cancelamento, em que você busca não apenas fatores idênticos, mas também múltiplos que possam ser simplificados. Se tiver, por exemplo, um 3 no numerador de uma fração e um 12 no denominador de outra, pode dividir ambos por 3, transformando o 3 em 1 e o 12 em 4.

Essa simplificação antecipada diminui o esforço na hora de multiplicar e reduz a probabilidade de erro, porque lida com números menores desde o começo. O sinal (positivo ou negativo) é tratado normalmente, de acordo com a quantidade de termos negativos.

Exemplos práticos com frações e situações do dia a dia

É comum a multiplicação de frações aparecer em problemas contextualizados, em que uma fração de uma quantidade precisa ser calculada. Saber trabalhar com frações negativas também ajuda em situações que envolvem dívidas, temperaturas abaixo de zero e variações para menos.

Pense em um caso de organização de objetos: se uma pessoa tem 12 esmaltes e 2/3 deles são de uma certa marca, a conta é 2/3 × 12. Podemos enxergar 12 como 12/1, multiplicando numeradores (2 × 12 = 24) e denominadores (3 × 1 = 3). Assim, 24/3 = 8, o que indica que 8 esmaltes são dessa marca.

Outro tipo de exercício comum envolve escalas em mapas. Se o mapa indica que 1 cm representa 5 km na realidade, e a distância entre duas cidades aparece como 12 cm, podemos multiplicar 12 por 5, chegando a 60 km. Em termos fracionários, isso pode ser visto como 12 × 5/1 ou 12/1 × 5/1.

Quando entram números negativos, o significado costuma estar ligado a variações, como perda de temperatura, diminuição de saldo bancário ou movimento em direção oposta. Nesses casos, a fração negativa representa uma parte de algo que diminui, e a multiplicação segue as mesmas regras de sinais.

Com o tempo e a prática, essas situações passam a parecer muito mais naturais, porque você deixa de ver a fração negativa como um “bicho de sete cabeças” e passa a enxergá-la apenas como um número com sinal, sujeito às mesmas leis de multiplicação que já conhece dos inteiros.

Dominar a multiplicação de frações por números negativos faz toda a diferença tanto em provas escolares quanto em problemas do cotidiano, já que esse tipo de conta aparece em porcentagens, escalas, descontos, medidas de receita, cálculos de área e em várias outras aplicações onde sinais positivos e negativos são relevantes.