Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos

O diretor de vetor é uma ferramenta matemática fundamental para representar uma reta no espaço, sendo utilizado para descrever a direção e o sentido da reta. Neste contexto, a equação da linha é uma forma de expressar geometricamente a reta, utilizando um ponto pertencente a ela e o seu vetor diretor. Neste artigo, serão abordados exercícios resolvidos que envolvem a determinação da equação da linha a partir do seu vetor diretor, contribuindo para a compreensão e aplicação prática deste conceito na geometria analítica.

Dicas para encontrar o vetor diretor de uma reta ou plano no espaço.

Para encontrar o vetor diretor de uma reta ou plano no espaço, é importante entender que esse vetor é essencial para determinar a direção da reta ou plano em questão. O vetor diretor é paralelo à reta ou plano e pode ser obtido de diferentes maneiras, dependendo do contexto do problema.

Uma maneira comum de encontrar o vetor diretor de uma reta é observar que, se conhecermos dois pontos pertencentes à reta, podemos calcular o vetor que une esses dois pontos. Esse vetor será paralelo à reta e, portanto, será o vetor diretor da reta. Para isso, basta subtrair as coordenadas dos dois pontos para obter o vetor diretor.

No caso de um plano, podemos determinar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ele. Esse vetor normal pode ser utilizado como vetor diretor do plano, uma vez que ele é perpendicular a todas as retas contidas no plano. Para encontrar o vetor normal de um plano, podemos utilizar a equação geral do plano e identificar os coeficientes que correspondem às coordenadas do vetor normal.

Além disso, é importante lembrar que um vetor diretor não é único, ou seja, existem infinitos vetores paralelos a uma mesma reta ou plano. Portanto, é fundamental escolher um vetor diretor que seja conveniente para a resolução do problema em questão.

Com as dicas adequadas e um bom entendimento dos conceitos envolvidos, será possível determinar o vetor diretor de forma precisa e eficiente.

Passo a passo para resolver uma equação vetorial de forma simples e eficiente.

Para resolver uma equação vetorial de forma simples e eficiente, é importante seguir alguns passos fundamentais. Neste artigo, vamos abordar o conceito de Diretor de vetor e como ele se relaciona com a equação da linha. Além disso, iremos apresentar alguns exercícios resolvidos para facilitar o entendimento. Vamos lá!

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos

Primeiramente, é importante compreender o que é um vetor diretor. Um vetor diretor é um vetor que define a direção de uma reta ou de uma reta no espaço tridimensional. Ele é representado por um vetor não nulo e pode ser utilizado para determinar a equação da linha que passa por um ponto e tem a direção desejada.

Para resolver uma equação vetorial, você deve seguir os seguintes passos:

  1. Identificar o vetor diretor da reta;
  2. Escrever a equação vetorial da reta na forma paramétrica;
  3. Substituir o vetor diretor na equação paramétrica;
  4. Resolver a equação resultante para encontrar os valores dos parâmetros;
  5. Verificar se as soluções encontradas satisfazem a equação vetorial da reta.

Agora, vamos resolver um exercício para exemplificar o processo:

Considere a reta r que passa pelo ponto P(1,2,3) e tem como vetor diretor o vetor v = (2,1,-1).

A equação paramétrica da reta r é dada por:

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r: x = 1 + 2t

y = 2 + t

z = 3 – t

Substituindo o vetor diretor v na equação paramétrica, temos:

r: x = 1 + 2(2)

y = 2 + 1(2)

z = 3 – 1(2)

Portanto, a equação vetorial da reta r é:

r: x = 5

y = 4

z = 1

Por fim, verificamos se o ponto P(1,2,3) pertence à reta r, substituindo os valores na equação. Como os valores coincidem, podemos concluir que o ponto P está na reta r.

Com esses passos simples e eficientes, é possível resolver equações vetoriais e compreender o conceito de vetor diretor de forma clara e objetiva.

Como encontrar a equação da reta r em geometria analítica?

Para encontrar a equação da reta r em geometria analítica, primeiro é necessário ter as coordenadas de dois pontos que pertencem a essa reta. Em seguida, podemos utilizar a fórmula da equação da reta, que é dada por y = mx + c, onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear.

Para determinar o coeficiente angular m, podemos utilizar a fórmula m = (y2 – y1) / (x2 – x1), onde (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas dos pontos conhecidos. Com o valor de m em mãos, podemos substituir na equação da reta e encontrar o valor de c.

Assim, a equação da reta r pode ser representada por y = mx + c, onde m é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear. Com esses valores calculados, podemos obter a equação da reta r de forma precisa e clara.

Agora, vamos resolver um exercício para fixar o entendimento. Dados os pontos A(2,3) e B(5,7), determine a equação da reta que passa por esses pontos.

Calculando o coeficiente angular m utilizando a fórmula m = (y2 – y1) / (x2 – x1), temos que m = (7 – 3) / (5 – 2) = 4 / 3. Substituindo na equação da reta, temos y = (4/3)x + c.

Para encontrar o valor de c, podemos substituir as coordenadas de um dos pontos conhecidos na equação. Vamos utilizar o ponto A(2,3): 3 = (4/3) * 2 + c. Resolvendo essa equação, encontramos que c = 1.

Portanto, a equação da reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(5,7) é y = (4/3)x + 1.

Encontrando a equação de uma reta perpendicular à outra através de suas inclinações.

O Diretor de vetor é um conceito fundamental na geometria analítica que nos permite encontrar a equação de uma reta perpendicular a outra através de suas inclinações. Para isso, precisamos entender que a inclinação de uma reta é dada pelo coeficiente angular, que representa a tangente do ângulo formado com o eixo x.

Quando duas retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares são negativos inversos um do outro. Ou seja, se a inclinação da primeira reta é m, a inclinação da reta perpendicular será -1/m.

Para encontrar a equação da reta perpendicular à outra, é necessário conhecer a inclinação da reta original. Em seguida, podemos calcular a inclinação da reta perpendicular usando a relação mencionada anteriormente. Com isso, já temos dois pontos para determinar a equação da nova reta.

Vamos analisar um exemplo prático: se a inclinação da reta original é 2, então a inclinação da reta perpendicular será -1/2. Caso a reta original passe pelo ponto (3, 5), podemos usar essas informações para determinar a equação da nova reta.

Assim, o Diretor de vetor nos ajuda a encontrar a equação de uma reta perpendicular à outra através de suas inclinações, simplificando o processo de resolução de problemas geométricos.

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos

Um vetor diretor é definido como aquele que define a direção de uma linha, no plano ou no espaço. Portanto, um vetor paralelo à linha pode ser considerado como um vetor de direção.

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Isso é possível graças a um axioma da geometria euclidiana que diz que dois pontos definem uma linha. Então o segmento orientado formado por esses dois pontos também define um vetor inicial da referida linha.

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos 1

Figura 1. Diretor de vetor de uma linha. (Elaboração própria)

Dado um ponto P pertencente à linha (L) e dado um vetor direto u dessa linha, a linha é completamente determinada.

Equação do vetor linha e diretor

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos 2

Figura 2. Equação do vetor linha e diretor. (Elaboração própria)

Dado um ponto P das coordenadas P: (Xo, I) e um vetor ou diretor de uma linha (L) , todo ponto Q das coordenadas Q: (X, Y) deve cumprir que o vetor PQ é paralelo a u. Esta última condição é garantida se PQ for proporcional a u :

PQ = t⋅ u

Na expressão anterior, t é um parâmetro que pertence a números reais.

Se os componentes cartesianos de PQ e u forem escritos, a equação acima será escrita da seguinte maneira:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Se os componentes da igualdade de vetores forem correspondidos, o seguinte par de equações será obtido:

X – Xo = a⋅t e Y – Yo = b⋅t

Equação paramétrica da linha

As coordenadas X e Y de um ponto pertencente à linha (L) que passa por um ponto de coordenada (Xo, Yo) e é paralelo ao vetor principal u = (a, b) são determinadas pela atribuição de valores reais ao parâmetro variável t:

{X = Xo + a⋅t; Y = Yo + b⋅t}

Exemplo 1

Para ilustrar o significado da equação paramétrica da linha, tomamos como vetor principal

u = (a, b) = (2, -1)

e como o ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, Yo) = (1, 5) .

A equação paramétrica da linha é:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 – 1⋅t; -∞ <t <∞}

Para ilustrar o significado dessa equação, é mostrada a Figura 3, onde o parâmetro t muda de valor e o ponto de coordenada Q (X, Y) assume diferentes posições na linha.

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos 3

Figura 3. PQ = t u. (Elaboração própria)

A linha em forma de vetor

Dado um ponto P da linha e seu vetor principal, u pode escrever a equação da linha na forma de vetor:

OQ = OP + λ⋅ u

Na equação anterior, Q é qualquer ponto, mas pertence à reta e λ, um número real.

A equação vetorial da linha é aplicável a qualquer número de dimensões, mesmo uma hiper-linha pode ser definida.

No caso tridimensional de um vetor inicial u = (a, b, c) e um ponto P = (Xo, Yo, Zo) , as coordenadas de um ponto genérico Q = (X, Y, Z) pertencentes à linha são: :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Exemplo 2

Considere novamente a linha que tem como vetor principal

u = (a, b) = (2, -1)

e como o ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, Yo) = (1, 5) .

A equação vetorial da referida linha é:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Forma contínua da linha e o vetor diretor

A partir da forma paramétrica, limpando e combinando o parâmetro λ, você tem:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Esta é a forma simétrica da equação da reta. Note-se que um , b e c são os componentes do vector de direcção.

Exemplo 3

Considere a linha que você tem como vetor principal

u = (a, b) = (2, -1)

e como o ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, Yo) = (1, 5) . Encontre sua forma simétrica.

A forma simétrica ou contínua é da linha é:

(X – 1) / 2 = (Y – 5) / (- 1)

Forma geral da equação da reta

É conhecida como a forma geral da linha no plano XY da equação que possui a seguinte estrutura:

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A⋅X + B⋅Y = C

A expressão da forma simétrica pode ser reescrita para que ela tenha a forma geral:

b⋅X – a⋅Y = b⋅Xo – a⋅Yo

comparando com a forma geral da linha é:

A = b, B = -a e C = b⋅Xo – a⋅Yo

Exemplo 3

Encontre a forma geral da linha cujo vetor principal é u = (2, -1)

e que passa pelo ponto P = (1, 5).

Para encontrar a forma geral, podemos usar as fórmulas fornecidas, no entanto, um caminho alternativo será escolhido.

Começamos por encontrar o vetor duplo w do vetor diretor u, definido como o vetor obtido trocando os componentes de u e multiplicando por -1 o segundo:

w = (-1; -2)

o vetor duplo w corresponde a uma rotação de 90 ° no sentido horário do vetor diretor v .

Multiplicamos escalarmente w por (X, Y) e por (Xo, Yo) e igualamos:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

finalmente permanecendo:

X + 2Y = 11

Forma padrão da equação da linha

É conhecida como a forma padrão da linha no plano XY, aquela que possui a seguinte estrutura:

Y = m⋅X + d

onde m representa a inclinação ed a interceptação com o eixo Y.

Dado o diretor de vetor u = (a, b), a inclinação m é b / a.

Y d é obtido substituindo X e Y pelo ponto conhecido Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Em resumo, m = b / ayd = I – (b / a) Xo

Observe que a inclinação m é o quociente entre o componente y do vetor principal e o componente x do mesmo.

Exemplo 4

Encontre a forma padrão da linha cujo vetor principal é u = (2, -1)

e que passa pelo ponto P = (1, 5).

m = -½ ed d = 5 – (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Encontre um vetor diretor da linha (L) que é a interseção do plano (Π): X – Y + Z = 3 e o plano (Ω): 2X + Y = 1.

Em seguida, escreva a forma contínua da equação da reta (L).

Solução

A partir da equação do plano (Ω), afastamento Y: Y = 1 -2X

Em seguida, substituímos na equação do plano (Π):

X – (1 – 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4-3X

Então parametrizamos X, escolhemos a parametrização X = λ

Isso significa que a linha tem uma equação vetorial dada por:

(X, Y, Z) = (λ, 1-2λ, 4-3λ)

que pode ser reescrito como:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

então fica claro que o vetor u = (1, -2, -3) é um vetor direto da linha (L).

A forma contínua da linha (L) é:

(X – 0) / 1 = (Y – 1) / (- 2) = (Z – 4) / (- 3)

-Exercício 2

Dado o plano 5X + em Y + 4Z = 5

e a reta cuja equação é X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Determine o valor de a para que o plano e a linha sejam paralelos.

Solução 2

O vetor n = (5, a, 4) é um vetor normal para o plano.

O vetor u = (1, 3, -2) é um vetor direto da linha.

Se a linha for paralela ao plano, então n • v = 0.

(5, a , 4) (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referências

  1. Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática Pré-cálculo. Prentice Hall PTR.
  2. Kolman, B. ( 2006).Álgebra Linear. Pearson Education.
  3. Leal, JM e Viloria, NG (2005). Geometria analítica plana. Mérida – Venezuela: Editorial Venezolana CA
  4. Navarro, Rocio. Vetores. Recuperado de: books.google.co.ve.
  5. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
  6. Prenowitz, W. 2012. Conceitos básicos de geometria. Rowman e Littlefield.
  7. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.

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