Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos

Um vetor diretor é definido como aquele que define a direção de uma linha, no plano ou no espaço. Portanto, um vetor paralelo à linha pode ser considerado como um vetor de direção.

Isso é possível graças a um axioma da geometria euclidiana que diz que dois pontos definem uma linha. Então o segmento orientado formado por esses dois pontos também define um vetor inicial da referida linha.

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos 1

Figura 1. Diretor de vetor de uma linha. (Elaboração própria)

Dado um ponto P pertencente à linha (L) e dado um vetor direto u dessa linha, a linha é completamente determinada.

Equação do vetor linha e diretor

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos 2

Figura 2. Equação do vetor linha e diretor. (Elaboração própria)

Dado um ponto P das coordenadas P: (Xo, I) e um vetor ou diretor de uma linha (L) , todo ponto Q das coordenadas Q: (X, Y) deve cumprir que o vetor PQ é paralelo a u. Esta última condição é garantida se PQ for proporcional a u :

PQ = t⋅ u

Na expressão anterior, t é um parâmetro que pertence a números reais.

Se os componentes cartesianos de PQ e u forem escritos, a equação acima será escrita da seguinte maneira:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Se os componentes da igualdade de vetores forem correspondidos, o seguinte par de equações será obtido:

X – Xo = a⋅t e Y – Yo = b⋅t

Equação paramétrica da linha

As coordenadas X e Y de um ponto pertencente à linha (L) que passa por um ponto de coordenada (Xo, Yo) e é paralelo ao vetor principal u = (a, b) são determinadas pela atribuição de valores reais ao parâmetro variável t:

{X = Xo + a⋅t; Y = Yo + b⋅t}

Exemplo 1

Para ilustrar o significado da equação paramétrica da linha, tomamos como vetor principal

u = (a, b) = (2, -1)

e como o ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, Yo) = (1, 5) .

A equação paramétrica da linha é:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 – 1⋅t; -∞ <t <∞}

Para ilustrar o significado dessa equação, é mostrada a Figura 3, onde o parâmetro t muda de valor e o ponto de coordenada Q (X, Y) assume diferentes posições na linha.

Diretor de vetor: equação da linha, exercícios resolvidos 3

Figura 3. PQ = t u. (Elaboração própria)

A linha em forma de vetor

Dado um ponto P da linha e seu vetor principal, u pode escrever a equação da linha na forma de vetor:

OQ = OP + λ⋅ u

Na equação anterior, Q é qualquer ponto, mas pertence à reta e λ, um número real.

A equação vetorial da linha é aplicável a qualquer número de dimensões, mesmo uma hiper-linha pode ser definida.

No caso tridimensional de um vetor inicial u = (a, b, c) e um ponto P = (Xo, Yo, Zo) , as coordenadas de um ponto genérico Q = (X, Y, Z) pertencentes à linha são: :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Exemplo 2

Considere novamente a linha que tem como vetor principal

u = (a, b) = (2, -1)

e como o ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, Yo) = (1, 5) .

A equação vetorial da referida linha é:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Forma contínua da linha e o vetor diretor

A partir da forma paramétrica, limpando e combinando o parâmetro λ, você tem:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Esta é a forma simétrica da equação da reta. Note-se que um , b e c são os componentes do vector de direcção.

Exemplo 3

Considere a linha que você tem como vetor principal

u = (a, b) = (2, -1)

e como o ponto conhecido da linha, o ponto

P = (Xo, Yo) = (1, 5) . Encontre sua forma simétrica.

A forma simétrica ou contínua é da linha é:

(X – 1) / 2 = (Y – 5) / (- 1)

Forma geral da equação da reta

É conhecida como a forma geral da linha no plano XY da equação que possui a seguinte estrutura:

A⋅X + B⋅Y = C

A expressão da forma simétrica pode ser reescrita para que ela tenha a forma geral:

b⋅X – a⋅Y = b⋅Xo – a⋅Yo

comparando com a forma geral da linha é:

A = b, B = -a e C = b⋅Xo – a⋅Yo

Exemplo 3

Encontre a forma geral da linha cujo vetor principal é u = (2, -1)

e que passa pelo ponto P = (1, 5).

Para encontrar a forma geral, podemos usar as fórmulas fornecidas, no entanto, um caminho alternativo será escolhido.

Começamos por encontrar o vetor duplo w do vetor diretor u, definido como o vetor obtido trocando os componentes de u e multiplicando por -1 o segundo:

w = (-1; -2)

o vetor duplo w corresponde a uma rotação de 90 ° no sentido horário do vetor diretor v .

Multiplicamos escalarmente w por (X, Y) e por (Xo, Yo) e igualamos:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

finalmente permanecendo:

X + 2Y = 11

Forma padrão da equação da linha

É conhecida como a forma padrão da linha no plano XY, aquela que possui a seguinte estrutura:

Y = m⋅X + d

onde m representa a inclinação ed a interceptação com o eixo Y.

Dado o diretor de vetor u = (a, b), a inclinação m é b / a.

Y d é obtido substituindo X e Y pelo ponto conhecido Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Em resumo, m = b / ayd = I – (b / a) Xo

Observe que a inclinação m é o quociente entre o componente y do vetor principal e o componente x do mesmo.

Exemplo 4

Encontre a forma padrão da linha cujo vetor principal é u = (2, -1)

e que passa pelo ponto P = (1, 5).

m = -½ ed d = 5 – (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Encontre um vetor diretor da linha (L) que é a interseção do plano (Π): X – Y + Z = 3 e o plano (Ω): 2X + Y = 1.

Em seguida, escreva a forma contínua da equação da reta (L).

Solução

A partir da equação do plano (Ω), afastamento Y: Y = 1 -2X

Em seguida, substituímos na equação do plano (Π):

X – (1 – 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4-3X

Então parametrizamos X, escolhemos a parametrização X = λ

Isso significa que a linha tem uma equação vetorial dada por:

(X, Y, Z) = (λ, 1-2λ, 4-3λ)

que pode ser reescrito como:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

então fica claro que o vetor u = (1, -2, -3) é um vetor direto da linha (L).

A forma contínua da linha (L) é:

(X – 0) / 1 = (Y – 1) / (- 2) = (Z – 4) / (- 3)

-Exercício 2

Dado o plano 5X + em Y + 4Z = 5

e a reta cuja equação é X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Determine o valor de a para que o plano e a linha sejam paralelos.

Solução 2

O vetor n = (5, a, 4) é um vetor normal para o plano.

O vetor u = (1, 3, -2) é um vetor direto da linha.

Se a linha for paralela ao plano, então n • v = 0.

(5, a , 4) (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referências

  1. Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática Pré-cálculo. Prentice Hall PTR.
  2. Kolman, B. ( 2006).Álgebra Linear. Pearson Education.
  3. Leal, JM e Viloria, NG (2005). Geometria analítica plana. Mérida – Venezuela: Editorial Venezolana CA
  4. Navarro, Rocio. Vetores. Recuperado de: books.google.co.ve.
  5. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
  6. Prenowitz, W. 2012. Conceitos básicos de geometria. Rowman e Littlefield.
  7. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.

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