Gradiente potencial: características, cálculo e exemplo

O gradiente de potencial é um vetor que representa a razão da mudança no potencial elétrico em relação à distância em cada eixo de um sistema de coordenadas cartesianas. Assim, o vetor gradiente de potencial indica a direção na qual a taxa de variação do potencial elétrico é maior, dependendo da distância.

Por sua vez, o módulo de gradiente de potencial reflete a taxa de variação da variação do potencial elétrico em uma direção específica. Se o valor disso for conhecido em cada ponto de uma região espacial, o campo elétrico poderá ser obtido a partir do gradiente de potencial.

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O campo elétrico é definido como um vetor, que possui uma direção e magnitude específicas. Ao determinar a direção na qual o potencial elétrico diminui mais rapidamente – afastando-se do ponto de referência – e dividindo esse valor pela distância percorrida, é obtida a magnitude do campo elétrico.

Caracteristicas

O gradiente de potencial é um vetor delimitado por coordenadas espaciais específicas, que medem a razão de mudança entre o potencial elétrico e a distância percorrida por esse potencial.

As características mais destacadas do gradiente de potencial elétrico estão detalhadas abaixo:

1- O gradiente potencial é um vetor. Portanto, possui uma magnitude e direção específicas.

2- Como o gradiente de potencial é um vetor no espaço, possui magnitudes endereçadas nos eixos X (largura), Y (alto) e Z (profundidade), se o sistema de coordenadas cartesianas for tomado como referência.

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3- Esse vetor é perpendicular à superfície equipotencial no ponto em que o potencial elétrico é avaliado.

4 – O vetor gradiente de potencial é direcionado para a direção da variação máxima da função de potencial elétrico em qualquer ponto.

5- O módulo de gradiente de potencial é igual ao derivado da função de potencial elétrico em relação à distância percorrida na direção de cada um dos eixos do sistema de coordenadas cartesianas.

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6- O gradiente de potencial tem valor zero em pontos estacionários (máximo, mínimo e pontos de cadeira).

7- No sistema internacional de unidades (SI), as unidades de medida do gradiente de potencial são volts / metros.

8- A direção do campo elétrico é a mesma em que o potencial elétrico diminui sua magnitude mais rapidamente. Por sua vez, o gradiente de potencial aponta na direção em que o potencial aumenta seu valor em relação a uma mudança de posição. Então, o campo elétrico tem o mesmo valor do gradiente de potencial, mas com o sinal oposto.

Como calcular?

A diferença no potencial elétrico entre dois pontos (ponto 1 e ponto 2) é dada pela seguinte expressão:

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Onde:

V1: potencial elétrico no ponto 1.

V2: potencial elétrico no ponto 2.

E: magnitude do campo elétrico.

Angle: angular a inclinação do vetor do campo elétrico medido em relação ao sistema de coordenadas.

Expressando diferencialmente a referida fórmula, deduz-se o seguinte:

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O fator E * cos (Ѳ) refere-se ao módulo do componente do campo elétrico na direção de dl. Seja L o eixo horizontal do plano de referência, então cos (Ѳ) = 1, assim:

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A seguir, a razão entre a variação do potencial elétrico (dV) e a variação na distância percorrida (ds) é o módulo do gradiente de potencial para o referido componente.

Conclui-se que a magnitude do gradiente de potencial elétrico é igual ao componente do campo elétrico na direção do estudo, mas com o sinal oposto.

No entanto, como o ambiente real é tridimensional, o gradiente de potencial em um determinado ponto deve ser expresso como a soma de três componentes espaciais nos eixos X, Y e Z do sistema cartesiano.

Ao dividir o vetor do campo elétrico em seus três componentes retangulares, você tem o seguinte:

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Se houver uma região no plano em que o potencial elétrico tenha o mesmo valor, a derivada parcial desse parâmetro em relação a cada uma das coordenadas cartesianas será nula.

Assim, em pontos que estão em superfícies equipotenciais, a intensidade do campo elétrico terá magnitude zero.

Finalmente, o vetor gradiente de potencial pode ser definido exatamente como o mesmo vetor de campo elétrico (em magnitude), com o sinal oposto. Assim, você tem o seguinte:

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Exemplo

A partir dos cálculos anteriores, você deve:

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No entanto, antes de determinar o campo elétrico com base no gradiente de potencial, ou vice-versa, primeiro determine a direção na qual a diferença de potencial elétrico aumenta.

Depois disso, é determinada a razão entre a variação do potencial elétrico e a variação da distância líquida percorrida.

Dessa maneira, é obtida a magnitude do campo elétrico associado, que é igual à magnitude do gradiente de potencial nessa coordenada.

Exercício

Existem duas placas paralelas, conforme refletido na figura a seguir.

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Passo 1

A direção do crescimento do campo elétrico no sistema de coordenadas cartesianas é determinada.

O campo elétrico cresce apenas na direção horizontal, dada a disposição das placas paralelas. Consequentemente, é possível deduzir que os componentes do gradiente de potencial no eixo Y e no eixo Z são nulos.

Etapa 2

Os dados de interesse são discriminados.

– Diferença de potencial: dV = V2 – V1 = 90 V – 0 V => dV = 90 V.

– Diferença na distância: dx = 10 centímetros.

Para garantir a congruência das unidades de medida usadas de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, as quantidades que não são expressas em SI devem ser convertidas em conformidade. Assim, 10 centímetros é igual a 0,1 metro e, finalmente: dx = 0,1 m.

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Etapa 3

A magnitude do vetor gradiente potencial é calculada conforme apropriado.

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Referências

  1. Eletricidade (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londres, Reino Unido. Recuperado de: britannica.com
  2. Gradiente potencial (sf). Universidade Nacional Autônoma do México. Cidade do México, México. Recuperado de: professors.dcb.unam.mx
  3. Interação elétrica. Recuperado de: matematicasypoesia.com.es
  4. Gradiente potencial (sf). Recuperado de: circuitglobe.com
  5. Relação entre o potencial e o campo elétrico (sf). Instituto Tecnológico da Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Recuperado de: repositoriotec.tec.ac.cr
  6. Wikipedia, A Enciclopédia Livre (2018). Gradiente Recuperado de: en.wikipedia.org

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