O que são números triangulares? Propriedades e demonstrações

O que são números triangulares? Propriedades e demonstrações

É conhecido como  números triangulares para que os números de sequência sejam obtidos fazendo um arranjo ou forma de pontos triangulares equilaterais. Os primeiros na sequência são:  1, 3, 6, 10, 15, 21, …

O primeiro número triangular é 1, o segundo é 3, porque é obtido adicionando uma linha de dois pontos ao anterior, para formar um triângulo equilátero com três elementos.

O terceiro é 6, que aparece ao adicionar uma linha de três pontos à disposição anterior, de forma que um triângulo de três pontos por lado seja formado. O 10 da sequência é obtido adicionando outra linha ao arranjo anterior, para formar um triângulo de quatro pontos por lado.

A fórmula que nos permite encontrar o elemento n da sequência triangular, conhecida como número triangular anterior, é:

T n = T n-1 + n

A lista dos seis primeiros números triangulares é obtida assim:

Primeiro : 1

Segundo : 1 + 2 = 3

Terceiro :   (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

Quarto : (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

Quinta : (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

Sexto : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

Propriedades dos números triangulares

1.- O n-ésimo número triangular Tn da sequência de números triangulares é metade de n multiplicado por n + 1:

T n = ½ n (n + 1)

2.- A soma do n-ésimo número triangular com o número triangular anterior, ou seja, o (n-1) -ésimo, é n ao quadrado:

T n + T n-1 = n 2

3.- A diferença do n-ésimo número triangular menos o n-ésimo número triangular menos um é n:

T n – T n-1  = n

4.- A soma dos primeiros n números triangulares é chamada número tetraédrico Sn e é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):

S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Todo número natural N é o resultado da soma de três números triangulares:

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N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Essa última propriedade ou teorema foi descoberta pelo grande matemático Carl Friedrich Gauss em 1796, que ele escreveu em seu diário, colocando a admiração grega Eureka! o que significa “eu consegui”.

Essa foi a mesma palavra usada muito antes por Arquimedes grego, quando ele determinou o peso aparente de um corpo submerso.

Nesse relacionamento, o número zero é considerado triangular e pode haver repetição.

Manifestações

– Demonstração 1

Prove que o n- ésimo número triangular é:

T n = ½ n (n + 1)

É fácil deduzir a fórmula anterior, se percebermos que podemos adicionar um número igual de pontos ao arranjo triangular para formar um quadrilátero de pontos.

Como o número total de pontos na matriz quadrilateral é o número de linhas n multiplicado pelo número de colunas (n + 1) , a matriz triangular terá apenas metade dos pontos na matriz quadrilateral.

Aqui está ilustrado na figura 2.

– Demonstração 2

Prove que a soma do n- th triangular número com o n- th menos um número triangular é n ao quadrado:

T n + T n-1 = n 2

Já foi demonstrado que o número do triângulo n é dado por:

T n = ½ n (n + 1)

Portanto, o número triangular anterior é:

T n-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n – 1)

A soma de ambos permanece:

T n + T n-1  = ½ n (n + 1) + ½ n (n – 1)

O fator comum ½ n é usado para obter:

T n + T n-1 = ½ n [(n + 1) + (n – 1)] = ½ n [n + 1 + n – 1]

E imediatamente a expressão dentro do suporte é simplificada:

T n + T n-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Agora, lembrando que ½ vezes 2 é 1 e que n vezes n é n ao quadrado, temos:

T n + T n-1 = n 2

Essa propriedade também pode ser demonstrada na forma geométrica, basta que o triângulo seja concluído para formar um quadrado, como mostra a figura 3.

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– Demonstração 3

A diferença do número triangular de ordem n menos o número triangular de ordem n-1 é n:

T n – T n-1  = n

Isso pode ser provado simplesmente lembrando que o número triangular a seguir é obtido do número anterior usando a fórmula:

T n = T n-1  + n

E a partir daí é evidente que T n – T n-1  = n. Também é fácil visualizá-lo graficamente, como mostra a figura 4.

– Demonstração 5

A soma dos primeiros n números triangulares S n é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):

S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Vamos usar o número triangular de ordem n:  T n = ½ n (n + 1) . A soma dos primeiros n números triangulares será denotada por S n  

Por exemplo,  S 1 significa a soma do primeiro número triangular, que sem dúvida será 1.

Agora vamos ver se a fórmula que estamos tentando testar é válida para n = 1:

S 1 = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

A fórmula para n = 1 é efetivamente verificada. É fácil ver que a soma dos n + 1 primeiros números triangulares será a soma do primeiro n mais o próximo número triangular:

S n + 1 = S n  + T n + 1

Agora, suponha que a fórmula de S n  seja n, substituí-la na expressão anterior e adicionar o número triangular da ordem n + 1 :

S n + 1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]

Vamos ver passo a passo o que você obtém:

-Executamos a soma das duas expressões fracionárias:

S n + 1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12 

-O fator comum é removido do numerador 2 (n + 1) (n + 2) e simplificado:

S n + 1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

O resultado anterior concorda com a fórmula de S n se n for substituído por n + 1, que foi mostrado por indução com a fórmula da soma dos primeiros n termos triangulares.

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Número tetraédrico

O resultado assim obtido é chamado de número tetraédrico de ordem n , porque é como acumular camadas triangulares que formam um tetraedro, como mostrado na animação a seguir.

Referências

  1. Camacho J. Aparência inesperada de números triangulares. Recuperado de: masscience.com
  2. Claudio. Números triangulares. Recuperado de: simplesmente números. Blogspot. com
  3. Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: es.wikipedia.com
  4. Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: en.wikipedia.com
  5. Wikipedia. Número tretraédrico. Recuperado de: en.wikipedia.com

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