O que são números triangulares? Propriedades e demonstrações

Os números triangulares são uma sequência de números naturais que podem ser representados na forma de um triângulo equilátero, onde cada linha possui um número a mais de elementos do que a linha anterior. A sequência de números triangulares começa com 1, 3, 6, 10, 15, e assim por diante.

Uma das propriedades dos números triangulares é que eles podem ser calculados pela fórmula n*(n+1)/2, onde n representa o número da sequência. Além disso, os números triangulares estão relacionados com outras áreas da matemática, como a combinação de números e a fórmula de Pascal.

Neste contexto, as demonstrações das propriedades dos números triangulares podem ser feitas por indução matemática, utilizando a fórmula mencionada anteriormente e manipulações algébricas para chegar às conclusões desejadas. Essas demonstrações são importantes para a compreensão e aplicação dos números triangulares em diferentes áreas da matemática e da ciência.

Descubra os números triangulares de 1 a 100 neste guia prático.

O que são números triangulares? Os números triangulares são uma sequência de números que podem ser representados visualmente em uma forma triangular. Eles são obtidos pela soma dos números naturais de 1 até um certo número n. Por exemplo, o número 6 é triangular porque pode ser representado por uma figura com 6 pontos formando um triângulo.

Propriedades dos números triangulares: Uma das propriedades dos números triangulares é que eles podem ser representados pela fórmula n*(n+1)/2, onde n é o número triangular desejado. Além disso, os números triangulares também possuem uma relação com os números quadrados, sendo que o n-ésimo número triangular é igual à soma dos n primeiros números naturais.

Para descobrir os números triangulares de 1 a 100, basta aplicar a fórmula mencionada acima para cada valor de n de 1 a 100. Por exemplo, o 10º número triangular é dado por 10*(10+1)/2 = 55.

Descobrir os números triangulares de 1 a 100 é uma tarefa simples ao aplicar a fórmula correta para cada valor de n.

Significado e relevância dos números figurados na filosofia pitagórica.

Na filosofia pitagórica, os números figurados desempenham um papel fundamental, representando conceitos abstratos e simbolizando a ordem e harmonia do universo. Esses números possuem significados profundos e são considerados sagrados pelos pitagóricos, que acreditavam que a matemática era a chave para compreender a natureza do mundo.

Os números figurados mais comuns na filosofia pitagórica são os números triangulares, que são formados pela disposição de pontos em um padrão triangular. Esses números possuem propriedades matemáticas interessantes e são frequentemente utilizados em demonstrações e cálculos geométricos.

Os números triangulares são obtidos somando-se os números naturais consecutivos a partir de 1. Por exemplo, o primeiro número triangular é 1, o segundo é 1+2=3, o terceiro é 1+2+3=6 e assim por diante. Essa sequência de números forma uma série que pode ser representada geometricamente por um triângulo de pontos.

Uma propriedade interessante dos números triangulares é que eles podem ser representados como a soma dos números naturais, o que pode ser demonstrado de forma simples através de manipulações algébricas. Essa propriedade é útil em diversos contextos matemáticos e é frequentemente utilizada em cálculos e provas de teoremas.

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Suas propriedades matemáticas interessantes e sua relevância filosófica fazem deles um tema de estudo fascinante para aqueles interessados em matemática e filosofia.

Entendendo a definição e propriedades da tabuada triangular.

Números triangulares são números que podem ser representados na forma de um triângulo equilátero. Eles surgem quando somamos os números naturais consecutivos a partir de 1. Por exemplo, o número 1 é triangular, pois pode ser representado por um ponto. O número 3 é triangular, pois pode ser representado por uma linha de 3 pontos. E assim por diante.

Um conceito relacionado aos números triangulares é a tabuada triangular. Ela consiste em uma tabela que mostra a multiplicação dos números triangulares entre si. Por exemplo, se multiplicarmos o número triangular 3 pelo número triangular 6, o resultado será 36.

As propriedades da tabuada triangular incluem a simetria em relação à diagonal principal, o que significa que a multiplicação de dois números triangulares é sempre o mesmo, independentemente da ordem em que são multiplicados. Além disso, a tabuada triangular também apresenta uma relação com os números triangulares, pois os produtos resultantes são sempre números triangulares.

Para demonstrar as propriedades da tabuada triangular, podemos usar a fórmula geral para números triangulares, que é dada por n(n+1)/2. Ao multiplicar dois números triangulares, obtemos o produto de duas expressões n(n+1)/2, que resulta em um número triangular.

Relação entre números quadrados e triangulares: qual conexão existe entre eles?

O que são números triangulares? Os números triangulares são uma sequência de números naturais que podem ser representados de forma triangular. Eles surgem quando organizamos pontos em forma de triângulo equilátero, onde o primeiro número triangular é 1, o segundo é 3 (1+2), o terceiro é 6 (1+2+3) e assim por diante.

Uma propriedade interessante dos números triangulares é a relação que eles têm com os números quadrados. Um número triangular pode ser representado como a soma dos números naturais consecutivos, enquanto um número quadrado pode ser representado como o produto de dois números iguais.

Essa relação pode ser demonstrada matematicamente. Por exemplo, podemos afirmar que qualquer número triangular pode ser expresso como a metade de um número quadrado, ou seja, T(n) = (n*(n+1))/2 = (n^2+n)/2. Isso mostra como os números triangulares e quadrados estão interligados de forma elegante.

Portanto, podemos concluir que os números triangulares e quadrados possuem uma conexão matemática interessante, onde um pode ser relacionado ao outro através de expressões simples. Essa relação entre eles nos permite explorar padrões numéricos e propriedades matemáticas de forma mais profunda.

O que são números triangulares? Propriedades e demonstrações

O que são números triangulares? Propriedades e demonstrações

É conhecido como  números triangulares para que os números de sequência sejam obtidos fazendo um arranjo ou forma de pontos triangulares equilaterais. Os primeiros na sequência são:  1, 3, 6, 10, 15, 21, …

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O primeiro número triangular é 1, o segundo é 3, porque é obtido adicionando uma linha de dois pontos ao anterior, para formar um triângulo equilátero com três elementos.

O terceiro é 6, que aparece ao adicionar uma linha de três pontos à disposição anterior, de forma que um triângulo de três pontos por lado seja formado. O 10 da sequência é obtido adicionando outra linha ao arranjo anterior, para formar um triângulo de quatro pontos por lado.

A fórmula que nos permite encontrar o elemento n da sequência triangular, conhecida como número triangular anterior, é:

T n = T n-1 + n

A lista dos seis primeiros números triangulares é obtida assim:

Primeiro : 1

Segundo : 1 + 2 = 3

Terceiro :   (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6

Quarto : (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10

Quinta : (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15

Sexto : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21

Propriedades dos números triangulares

1.- O n-ésimo número triangular Tn da sequência de números triangulares é metade de n multiplicado por n + 1:

T n = ½ n (n + 1)

2.- A soma do n-ésimo número triangular com o número triangular anterior, ou seja, o (n-1) -ésimo, é n ao quadrado:

T n + T n-1 = n 2

3.- A diferença do n-ésimo número triangular menos o n-ésimo número triangular menos um é n:

T n – T n-1  = n

4.- A soma dos primeiros n números triangulares é chamada número tetraédrico Sn e é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):

S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

5.- Todo número natural N é o resultado da soma de três números triangulares:

N = Δ1 + Δ1 + Δ3

Essa última propriedade ou teorema foi descoberta pelo grande matemático Carl Friedrich Gauss em 1796, que ele escreveu em seu diário, colocando a admiração grega Eureka! o que significa “eu consegui”.

Essa foi a mesma palavra usada muito antes por Arquimedes grego, quando ele determinou o peso aparente de um corpo submerso.

Nesse relacionamento, o número zero é considerado triangular e pode haver repetição.

Manifestações

– Demonstração 1

Prove que o n- ésimo número triangular é:

T n = ½ n (n + 1)

É fácil deduzir a fórmula anterior, se percebermos que podemos adicionar um número igual de pontos ao arranjo triangular para formar um quadrilátero de pontos.

Como o número total de pontos na matriz quadrilateral é o número de linhas n multiplicado pelo número de colunas (n + 1) , a matriz triangular terá apenas metade dos pontos na matriz quadrilateral.

Aqui está ilustrado na figura 2.

– Demonstração 2

Prove que a soma do n- th triangular número com o n- th menos um número triangular é n ao quadrado:

T n + T n-1 = n 2

Já foi demonstrado que o número do triângulo n é dado por:

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T n = ½ n (n + 1)

Portanto, o número triangular anterior é:

T n-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n – 1)

A soma de ambos permanece:

T n + T n-1  = ½ n (n + 1) + ½ n (n – 1)

O fator comum ½ n é usado para obter:

T n + T n-1 = ½ n [(n + 1) + (n – 1)] = ½ n [n + 1 + n – 1]

E imediatamente a expressão dentro do suporte é simplificada:

T n + T n-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n

Agora, lembrando que ½ vezes 2 é 1 e que n vezes n é n ao quadrado, temos:

T n + T n-1 = n 2

Essa propriedade também pode ser demonstrada na forma geométrica, basta que o triângulo seja concluído para formar um quadrado, como mostra a figura 3.

– Demonstração 3

A diferença do número triangular de ordem n menos o número triangular de ordem n-1 é n:

T n – T n-1  = n

Isso pode ser provado simplesmente lembrando que o número triangular a seguir é obtido do número anterior usando a fórmula:

T n = T n-1  + n

E a partir daí é evidente que T n – T n-1  = n. Também é fácil visualizá-lo graficamente, como mostra a figura 4.

– Demonstração 5

A soma dos primeiros n números triangulares S n é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):

S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)

Vamos usar o número triangular de ordem n:  T n = ½ n (n + 1) . A soma dos primeiros n números triangulares será denotada por S n  

Por exemplo,  S 1 significa a soma do primeiro número triangular, que sem dúvida será 1.

Agora vamos ver se a fórmula que estamos tentando testar é válida para n = 1:

S 1 = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1

A fórmula para n = 1 é efetivamente verificada. É fácil ver que a soma dos n + 1 primeiros números triangulares será a soma do primeiro n mais o próximo número triangular:

S n + 1 = S n  + T n + 1

Agora, suponha que a fórmula de S n  seja n, substituí-la na expressão anterior e adicionar o número triangular da ordem n + 1 :

S n + 1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]

Vamos ver passo a passo o que você obtém:

-Executamos a soma das duas expressões fracionárias:

S n + 1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12 

-O fator comum é removido do numerador 2 (n + 1) (n + 2) e simplificado:

S n + 1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6

O resultado anterior concorda com a fórmula de S n se n for substituído por n + 1, que foi mostrado por indução com a fórmula da soma dos primeiros n termos triangulares.

Número tetraédrico

O resultado assim obtido é chamado de número tetraédrico de ordem n , porque é como acumular camadas triangulares que formam um tetraedro, como mostrado na animação a seguir.

Referências

  1. Camacho J. Aparência inesperada de números triangulares. Recuperado de: masscience.com
  2. Claudio. Números triangulares. Recuperado de: simplesmente números. Blogspot. com
  3. Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: es.wikipedia.com
  4. Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: en.wikipedia.com
  5. Wikipedia. Número tretraédrico. Recuperado de: en.wikipedia.com

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