É conhecido como números triangulares para que os números de sequência sejam obtidos fazendo um arranjo ou forma de pontos triangulares equilaterais. Os primeiros na sequência são: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
O primeiro número triangular é 1, o segundo é 3, porque é obtido adicionando uma linha de dois pontos ao anterior, para formar um triângulo equilátero com três elementos.
O terceiro é 6, que aparece ao adicionar uma linha de três pontos à disposição anterior, de forma que um triângulo de três pontos por lado seja formado. O 10 da sequência é obtido adicionando outra linha ao arranjo anterior, para formar um triângulo de quatro pontos por lado.
A fórmula que nos permite encontrar o elemento n da sequência triangular, conhecida como número triangular anterior, é:
T n = T n-1 + n
A lista dos seis primeiros números triangulares é obtida assim:
– Primeiro : 1
– Segundo : 1 + 2 = 3
– Terceiro : (1 +2) + 3 = 3 + 3 = 6
– Quarto : (1 + 2 + 3) + 4 = 6 + 4 = 10
– Quinta : (1 + 2 + 3 + 4) + 5 = 10 + 5 = 15
– Sexto : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 6 = 15 + 6 = 21
Propriedades dos números triangulares
1.- O n-ésimo número triangular Tn da sequência de números triangulares é metade de n multiplicado por n + 1:
T n = ½ n (n + 1)
2.- A soma do n-ésimo número triangular com o número triangular anterior, ou seja, o (n-1) -ésimo, é n ao quadrado:
T n + T n-1 = n 2
3.- A diferença do n-ésimo número triangular menos o n-ésimo número triangular menos um é n:
T n – T n-1 = n
4.- A soma dos primeiros n números triangulares é chamada número tetraédrico Sn e é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):
S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)
5.- Todo número natural N é o resultado da soma de três números triangulares:
N = Δ1 + Δ1 + Δ3
Essa última propriedade ou teorema foi descoberta pelo grande matemático Carl Friedrich Gauss em 1796, que ele escreveu em seu diário, colocando a admiração grega Eureka! o que significa “eu consegui”.
Essa foi a mesma palavra usada muito antes por Arquimedes grego, quando ele determinou o peso aparente de um corpo submerso.
Nesse relacionamento, o número zero é considerado triangular e pode haver repetição.
Manifestações
– Demonstração 1
Prove que o n- ésimo número triangular é:
T n = ½ n (n + 1)
É fácil deduzir a fórmula anterior, se percebermos que podemos adicionar um número igual de pontos ao arranjo triangular para formar um quadrilátero de pontos.
Como o número total de pontos na matriz quadrilateral é o número de linhas n multiplicado pelo número de colunas (n + 1) , a matriz triangular terá apenas metade dos pontos na matriz quadrilateral.
Aqui está ilustrado na figura 2.
– Demonstração 2
Prove que a soma do n- th triangular número com o n- th menos um número triangular é n ao quadrado:
T n + T n-1 = n 2
Já foi demonstrado que o número do triângulo n é dado por:
T n = ½ n (n + 1)
Portanto, o número triangular anterior é:
T n-1 = ½ (n-1) ((n-1) + 1) = ½ n (n – 1)
A soma de ambos permanece:
T n + T n-1 = ½ n (n + 1) + ½ n (n – 1)
O fator comum ½ n é usado para obter:
T n + T n-1 = ½ n [(n + 1) + (n – 1)] = ½ n [n + 1 + n – 1]
E imediatamente a expressão dentro do suporte é simplificada:
T n + T n-1 = ½ n [2 n] = ½ 2 n ⋅ n
Agora, lembrando que ½ vezes 2 é 1 e que n vezes n é n ao quadrado, temos:
T n + T n-1 = n 2
Essa propriedade também pode ser demonstrada na forma geométrica, basta que o triângulo seja concluído para formar um quadrado, como mostra a figura 3.
– Demonstração 3
A diferença do número triangular de ordem n menos o número triangular de ordem n-1 é n:
T n – T n-1 = n
Isso pode ser provado simplesmente lembrando que o número triangular a seguir é obtido do número anterior usando a fórmula:
T n = T n-1 + n
E a partir daí é evidente que T n – T n-1 = n. Também é fácil visualizá-lo graficamente, como mostra a figura 4.
– Demonstração 5
A soma dos primeiros n números triangulares S n é igual a um sexto do produto de n multiplicado por (n + 1) e multiplicado por (n + 2):
S n = ⅙ n (n + 1) (n + 2)
Vamos usar o número triangular de ordem n: T n = ½ n (n + 1) . A soma dos primeiros n números triangulares será denotada por S n
Por exemplo, S 1 significa a soma do primeiro número triangular, que sem dúvida será 1.
Agora vamos ver se a fórmula que estamos tentando testar é válida para n = 1:
S 1 = ⅙ 1⋅2⋅3 = 1
A fórmula para n = 1 é efetivamente verificada. É fácil ver que a soma dos n + 1 primeiros números triangulares será a soma do primeiro n mais o próximo número triangular:
S n + 1 = S n + T n + 1
Agora, suponha que a fórmula de S n seja n, substituí-la na expressão anterior e adicionar o número triangular da ordem n + 1 :
S n + 1 = [⅙ n (n + 1) (n + 2)] + [½ (n + 1) (n + 2)]
Vamos ver passo a passo o que você obtém:
-Executamos a soma das duas expressões fracionárias:
S n + 1 = [2 n (n + 1) (n + 2) + 6 (n + 1) (n + 2)] / 12
-O fator comum é removido do numerador 2 (n + 1) (n + 2) e simplificado:
S n + 1 = 2 (n + 1) (n + 2) [n +3] / 12 = (n + 1) (n + 2) (n +3) / 6
O resultado anterior concorda com a fórmula de S n se n for substituído por n + 1, que foi mostrado por indução com a fórmula da soma dos primeiros n termos triangulares.
Número tetraédrico
O resultado assim obtido é chamado de número tetraédrico de ordem n , porque é como acumular camadas triangulares que formam um tetraedro, como mostrado na animação a seguir.
Referências
- Camacho J. Aparência inesperada de números triangulares. Recuperado de: masscience.com
- Claudio. Números triangulares. Recuperado de: simplesmente números. Blogspot. com
- Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Número triangular. Recuperado de: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Número tretraédrico. Recuperado de: en.wikipedia.com