A Regra de Sarrus é um método utilizado para calcular o determinante de uma matriz 3×3. Ela consiste em multiplicar os elementos da diagonal principal da matriz, somar o resultado com o produto dos elementos das diagonais secundárias e subtrair o resultado da soma dos produtos das diagonais secundárias pelos elementos da diagonal principal. Existem três tipos de determinantes que podem ser calculados utilizando a Regra de Sarrus: determinantes positivos, determinantes negativos e determinantes nulos. Cada um desses tipos pode ser determinado a partir do valor resultante da aplicação da regra.
Qual é a explicação da regra de Sarrus para determinantes de matrizes 3×3?
A regra de Sarrus é uma técnica utilizada para calcular determinantes de matrizes 3×3. Ela consiste em multiplicar os elementos das diagonais principais da matriz e subtrair o produto dos elementos das diagonais secundárias. Para aplicar a regra de Sarrus, basta escrever os elementos da matriz em duas colunas adicionais à direita da matriz original e realizar as multiplicações conforme a regra.
Por exemplo, para calcular o determinante da matriz 3×3:
$$
begin{bmatrix}
a & b & c \
d & e & f \
g & h & i \
end{bmatrix}
$$
Aplicamos a regra de Sarrus da seguinte forma:
$(a * e * i) + (b * f * g) + (c * d * h) – (c * e * g) – (b * d * i) – (a * f * h)$
Dessa forma, obtemos o determinante da matriz 3×3 utilizando a regra de Sarrus. É importante lembrar que essa técnica só é aplicável a matrizes de ordem 3×3 e não pode ser utilizada em matrizes de ordem superior.
Regra Sarrus: o que consiste e tipos de determinantes
Fatores que influenciam a formação de uma matriz.
Para compreender a formação de uma matriz, é importante considerar diversos fatores que influenciam esse processo. Dentre os principais fatores, podemos destacar a ordem da matriz, o tipo de operação realizada e os valores dos elementos que a compõem.
A ordem da matriz é determinada pelo número de linhas e colunas que a compõem. Quanto maior for a ordem da matriz, mais complexa será a sua formação e manipulação. Além disso, o tipo de operação realizada na matriz, como a adição, subtração, multiplicação ou inversão, também influencia diretamente na sua formação e resultado final.
Os valores dos elementos da matriz são fundamentais para determinar as propriedades e características da mesma. Por exemplo, uma matriz com valores iguais em todas as suas entradas será classificada de forma diferente de uma matriz com elementos distintos. Esses valores influenciam diretamente no cálculo dos determinantes e na aplicação de regras como a Regra de Sarrus.
A Regra de Sarrus é um método utilizado para calcular determinantes de matrizes de ordem 3×3. Consiste em realizar operações matemáticas específicas com os elementos da matriz, de forma a obter um resultado numérico que representa o determinante da mesma. Este método é útil para simplificar o cálculo de determinantes em matrizes de ordem 3×3, facilitando a resolução de sistemas lineares e outros problemas matemáticos.
A aplicação de métodos como a Regra de Sarrus torna o cálculo de determinantes mais simples e eficiente, contribuindo para a resolução de problemas matemáticos de forma mais rápida e precisa.
Propriedades dos determinantes: o que são e como podem ser utilizadas nos cálculos.
Propriedades dos determinantes são regras que nos ajudam a simplificar cálculos envolvendo determinantes de matrizes. Os determinantes são valores numéricos associados a matrizes quadradas que nos fornecem informações importantes sobre essas matrizes, como por exemplo se são invertíveis ou não.
As propriedades dos determinantes podem ser utilizadas nos cálculos para simplificar a resolução de sistemas lineares, calcular áreas de figuras geométricas, entre outras aplicações matemáticas. Algumas das propriedades mais comuns são a multiplicação de uma linha da matriz por um escalar, a troca de duas linhas, e a adição de um múltiplo de uma linha em outra linha.
Regra Sarrus: o que consiste e tipos de determinantes
A Regra Sarrus é um método utilizado para calcular determinantes de matrizes 3×3. Ela consiste em escrever a matriz original ao lado dela mesma, repetindo as duas primeiras colunas, e então calcular a soma dos produtos das diagonais descendentes e subtrair a soma dos produtos das diagonais ascendentes.
Existem diferentes tipos de determinantes, como determinantes nulos, determinantes positivos e determinantes negativos. O determinante nulo ocorre quando a matriz é singular, ou seja, não é invertível. Já os determinantes positivos indicam que a matriz é invertível, enquanto os determinantes negativos indicam que a matriz é invertível mas com uma mudança de orientação.
Entendendo os determinantes de matrizes de ordem 3: conceito, cálculo e propriedades.
Os determinantes de matrizes de ordem 3 são importantes conceitos da álgebra linear, utilizados em diversas áreas da matemática e da física. Para entender melhor o que são os determinantes de matrizes de ordem 3, é fundamental compreender o conceito de determinante, o cálculo desse valor e suas propriedades.
O determinante de uma matriz de ordem 3 é um número real associado à matriz, que fornece informações sobre a matriz e suas transformações lineares. Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3, utilizamos a regra de Sarrus, que consiste em somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das diagonais secundárias. Essa regra simplifica o cálculo do determinante e é muito útil em diversas situações.
As propriedades dos determinantes de matrizes de ordem 3 incluem a distributividade em relação à adição de matrizes, a multiplicação por um escalar, a troca de linhas ou colunas e a matriz transposta. Essas propriedades são fundamentais para o estudo e manipulação de matrizes de ordem 3 e são amplamente utilizadas em diversas aplicações práticas.
Portanto, compreender os determinantes de matrizes de ordem 3 é essencial para quem trabalha com álgebra linear e matrizes. A regra de Sarrus é uma ferramenta poderosa para calcular determinantes de forma rápida e precisa, facilitando o estudo e a aplicação desses conceitos em diversos contextos.
Regra Sarrus: o que consiste e tipos de determinantes
A regra de Sarrus é usada para calcular o resultado de determinantes de 3 × 3. Eles são usados para resolver equações lineares e saber se são compatíveis.
Sistemas compatíveis permitem obter a solução mais facilmente. Eles também são usados para determinar se conjuntos de vetores são linearmente independentes e formam a base do espaço vetorial.
Essas aplicações são baseadas na invertibilidade das matrizes. Se uma matriz é regular, seu determinante é diferente de 0. Se é singular, seu determinante é 0. Os determinantes só podem ser calculados em matrizes quadradas.
Para calcular matrizes de qualquer ordem, você pode usar o teorema de Laplace. Esse teorema nos permite simplificar as matrizes de altas dimensões, em somas de pequenos determinantes que decompomos da matriz principal.
Afirma que o determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos de cada linha ou coluna, pelo determinante de sua matriz anexada.
Isso reduz os determinantes para que um determinante do grau n se torne n determinante de n-1. Se aplicarmos esta regra sucessivamente, podemos obter determinantes da dimensão 2 (2 × 2) ou 3 (3 × 3), onde seu cálculo é muito mais fácil.
Regra de Sarrus
Pierre Frederic Sarrus era um matemático francês do século XIX. A maioria de seus tratados matemáticos é baseada em métodos de resolução de equações e cálculo de variações, dentro de equações numéricas.
Em um de seus tratados, ele resolveu um dos enigmas mais complexos da mecânica. Para resolver os problemas das peças articuladas, Sarrus introduziu a transformação de movimentos retilíneos alternativos, em movimentos circulares uniformes. Este novo sistema é conhecido como o mecanismo Sarrus.
A pesquisa mais famosa que ele deu a esse matemático foi na qual ele introduziu um novo método de cálculo de determinantes, no artigo “Novos métodos para a resolução de equações” (Novo método para resolver equações), publicado no 1833. Essa maneira de resolver equações lineares é conhecida como regra de Sarrus.
A regra de Sarrus permite calcular o determinante de uma matriz 3 × 3, sem usar o teorema de Laplace, introduzindo um método muito mais simples e intuitivo.Para verificar o valor da regra de Sarrus, adotamos qualquer matriz da dimensão 3:
O cálculo de seu determinante seria feito através do produto de suas principais diagonais, subtraindo o produto das diagonais inversas. Seria o seguinte:
A regra de Sarrus nos permite obter uma visão muito mais simples ao calcular as diagonais do determinante. Isso seria simplificado adicionando as duas primeiras colunas na parte de trás da matriz. Dessa forma, vê-se mais claramente quais são suas principais diagonais e quais são as inversas para o cálculo do produto.
Através desta imagem, podemos ver a aplicação da regra de Sarrus, incluímos as linhas 1 e 2, abaixo da representação gráfica da matriz inicial. Dessa forma, as principais diagonais são as três diagonais que aparecem primeiro.
As três diagonais inversas, por sua vez, são aquelas que aparecem primeiro nas costas.
Dessa forma, as diagonais aparecem de maneira mais visual, sem complicar a resolução do determinante, tentando descobrir quais elementos da matriz pertencem a cada diagonal.
Como aparece na imagem, escolhemos as diagonais e calculamos o produto resultante de cada função. As diagonais que aparecem em azul são as que se somam. Para a soma destes, subtraímos o valor das diagonais que aparecem em vermelho.
Para facilitar a compactação, podemos usar um exemplo numérico, em vez de usar termos e sub-termos algébricos.
Se usarmos uma matriz 3 × 3, por exemplo:
Para aplicar a regra de Sarrus e resolvê-la de uma maneira mais visual, devemos incluir as linhas 1 e 2, como as linhas 4 e 5, respectivamente. É importante manter a linha 1 na 4ª posição e a linha 2 na 5ª. Uma vez que se os trocarmos, a Regra de Sarrus não será eficaz.
Para calcular o determinante, nossa matriz seria a seguinte:
Para continuar com o cálculo, multiplicaremos os elementos das diagonais principais. Os descendentes que começam à esquerda terão um sinal positivo; enquanto as diagonais inversas, que são aquelas que começam à direita, carregam um sinal negativo.
Neste exemplo, os azuis iriam com sinal positivo e os vermelhos com sinal negativo.O cálculo final da Regra de Sarrus ficaria assim:
Tipos de determinantes
Determinante da dimensão 1
Se a dimensão da matriz é 1, a matriz é desta forma: A = (a)
Portanto, seu determinante seria o seguinte: det (A) = | A | = a
Em resumo, o determinante da matriz A é igual ao valor absoluto da matriz A, que neste caso é a.
Determinante da dimensão 2
Se formos para as matrizes da dimensão 2, obteremos matrizes do tipo:
Onde seu determinante é definido como:
A resolução desse determinante é baseada na multiplicação da diagonal principal, subtraindo o produto da diagonal inversa.
Como regra mnemônica, podemos usar o seguinte diagrama para lembrar seu determinante:
Determinante da dimensão 3
Se a dimensão da matriz for 3, a matriz resultante seria deste tipo:
O determinante dessa matriz seria resolvido através da regra de Sarrus, desta maneira:
Referências
- Jenny Olive (1998) Matemática: Guia de Sobrevivência de um Estudante. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: as 50 teorias mais expansivas da mente em matemática. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
- Awol Assen (2013) Um estudo sobre a computação dos determinantes de uma matriz 3 × 3. Publicação Acadêmica de Lap Lambert.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinantes e Matrizes. Publicação do passe
- Jesse Russell (2012) Regra de Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Introdução à álgebra linear. Editorial da ESIC.