Congruência é um conceito fundamental na geometria que se refere à igualdade de forma e tamanho entre duas figuras. Neste contexto, as figuras congruentes são aquelas que têm todos os lados e ângulos correspondentes iguais. Existem diferentes critérios para determinar a congruência entre figuras, como o critério Lado-Angulo-Lado (LAL), o critério Lado-Lado-Lado (LLL), o critério Ângulo-Lado-Ângulo (ALA) e o critério Ângulo-Angulo (AA). Para melhor compreensão do tema, serão apresentados exemplos e propostos exercícios práticos que ajudarão a consolidar o conhecimento sobre congruência de figuras.
Descubra os 4 casos de congruência entre triângulos de forma simples e clara.
A congruência entre triângulos é um conceito fundamental na geometria, que indica que dois triângulos são iguais em forma e tamanho. Existem quatro casos principais de congruência entre triângulos: LLL, LAL, ALA e AAS.
O primeiro caso, LLL (lado-lado-lado), ocorre quando os três lados de um triângulo são iguais em comprimento aos três lados de outro triângulo. Isso significa que os dois triângulos são congruentes.
O segundo caso, LAL (lado-ângulo-lado), acontece quando dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais aos dois lados e o ângulo correspondente do outro triângulo. Nesse caso, os triângulos também são congruentes.
O terceiro caso, ALA (ângulo-lado-ângulo), ocorre quando dois ângulos e o lado entre eles de um triângulo são iguais aos dois ângulos e o lado correspondente do outro triângulo. Mais uma vez, os triângulos são congruentes.
O último caso, AAS (ângulo-ângulo-lado), acontece quando dois ângulos e um lado não incluído entre eles de um triângulo são iguais aos dois ângulos e o lado correspondente do outro triângulo. Nesse caso, os triângulos são congruentes.
É importante compreender esses quatro casos de congruência entre triângulos para resolver problemas de geometria e identificar figuras congruentes em diferentes situações.
Quais os critérios para determinar a congruência entre figuras geométricas?
A congruência entre figuras geométricas é determinada por critérios específicos que garantem que duas ou mais figuras possuem a mesma forma e tamanho. Para que duas figuras sejam consideradas congruentes, é necessário que atendam a alguns critérios fundamentais.
Um dos critérios para determinar a congruência entre figuras geométricas é o critério dos lados, que consiste em verificar se todos os lados correspondentes das figuras têm o mesmo comprimento. Se os lados de duas figuras tiverem o mesmo comprimento, então elas são consideradas congruentes nesse aspecto.
Outro critério importante é o critério dos ângulos, que consiste em verificar se todos os ângulos correspondentes das figuras têm a mesma medida. Se os ângulos de duas figuras tiverem a mesma medida, então elas são consideradas congruentes nesse aspecto.
Além disso, o critério da hipotenusa e catetos é utilizado para determinar a congruência de triângulos retângulos, onde é verificado se a hipotenusa e os catetos correspondentes têm o mesmo comprimento.
Para exemplificar, se dois triângulos possuem todos os lados congruentes, então eles são congruentes. Da mesma forma, se dois quadrados possuem todos os ângulos congruentes, então eles são congruentes.
Para praticar a identificação de figuras congruentes, é possível realizar exercícios que envolvam a comparação de medidas de lados e ângulos de figuras geométricas. Desta forma, é possível aprimorar o entendimento sobre os critérios de congruência e aplicá-los de forma eficiente.
Ao verificar se esses elementos são congruentes entre as figuras, é possível determinar se elas são congruentes ou não.
Exemplo de congruência: entenda como funciona a congruência entre figuras geométricas.
A congruência entre figuras geométricas é um conceito importante na geometria, que significa que duas ou mais figuras possuem a mesma forma e tamanho. Quando duas figuras são congruentes, isso significa que elas podem ser sobrepostas de forma a coincidirem perfeitamente, sem que haja distorção ou mudança em suas dimensões.
Para que duas figuras sejam consideradas congruentes, é necessário que elas tenham os mesmos ângulos e medidas de lados. Existem alguns critérios que podem ser utilizados para determinar a congruência entre figuras, como o Critério de Lado-Angulo-Lado (LAL), o Critério de Lado-Lado-Lado (LLL) e o Critério de Ângulo-Lado-Angulo (ALA).
Um exemplo simples de congruência é o de dois triângulos que possuem todos os lados e ângulos iguais. Nesse caso, os triângulos são congruentes e podem ser sobrepostos sem que haja qualquer tipo de discrepância.
Para praticar o conceito de congruência, é possível realizar exercícios que envolvam a identificação de figuras congruentes, utilizando os critérios mencionados anteriormente. Dessa forma, é possível aprimorar o entendimento sobre como funciona a congruência entre figuras geométricas.
Critérios de congruência de triângulos: como identificar triângulos congruentes?
A congruência de triângulos é um conceito importante na geometria que indica quando dois triângulos são considerados iguais em forma e tamanho. Para identificar triângulos congruentes, existem critérios específicos que precisam ser observados.
Os critérios de congruência de triângulos são:
- LLL (Lado-Lado-Lado): Dois triângulos são congruentes se os três lados de um triângulo forem iguais aos três lados correspondentes do outro triângulo.
- LAL (Lado-Angulo-Lado): Dois triângulos são congruentes se um lado e o ângulo formado por outros dois lados de um triângulo forem iguais aos correspondentes do outro triângulo.
- AA (Ângulo-Angulo): Dois triângulos são congruentes se dois ângulos de um triângulo forem iguais aos dois ângulos correspondentes do outro triângulo.
- RHS (Retângulo-Hipotenusa-Segmento): Dois triângulos retângulos são congruentes se a hipotenusa e um segmento determinado por ela forem iguais nos dois triângulos.
Para determinar se dois triângulos são congruentes, é importante observar se os critérios acima são atendidos. Caso contrário, os triângulos não são considerados congruentes.
Por exemplo, se temos um triângulo ABC e um triângulo DEF, e sabemos que AB = DE, BC = EF e AC = DF, então podemos afirmar que os triângulos são congruentes pelo critério LLL.
Os critérios de congruência de triângulos são úteis para resolver problemas geométricos e identificar padrões em figuras. Praticar a identificação de triângulos congruentes através de exercícios é essencial para consolidar o entendimento desses critérios.
Congruência: figuras congruentes, critérios, exemplos, exercícios
A congruência na geometria diz que, se duas figuras planas têm a mesma forma e dimensões, elas são congruentes. Por exemplo, dois segmentos são congruentes quando seus comprimentos são iguais. Da mesma forma, os ângulos congruentes têm a mesma medida, embora não estejam orientados da mesma maneira no plano.
O termo “congruência” vem do latim congruentia , cujo significado é correspondência. Assim, duas figuras congruentes correspondem exatamente uma à outra.
Por exemplo, se sobrepormos os dois quadriláteros da imagem, descobriremos que eles são congruentes, pois o arranjo de seus lados é idêntico e eles medem o mesmo.
Ao colocar os quadriláteros ABCD e A’B’C’D ‘em cima um do outro, os números corresponderão exatamente. Os lados coincidentes são chamados lados homólogos ou correspondentes e o símbolo ≡ é usado para expressar congruência. Então podemos afirmar que ABCD ≡ A’B’C’D ‘.
Critérios de congruência
As seguintes características são comuns aos polígonos congruentes:
-Forma e tamanho iguais.
Medidas -Identical de seus ângulos.
-A mesma medida em cada um dos seus lados.
No caso de dois polígonos em questão serem regulares, ou seja, que todos os lados e ângulos internos tenham a mesma medida, a congruência é garantida quando qualquer uma das seguintes condições for atendida:
-Os lados são congruentes
-Os apotemas têm a mesma medida
-O raio de cada polígono mede o mesmo
O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro e um dos lados, enquanto o raio corresponde à distância entre o centro e um vértice ou canto da figura.
Os critérios de consistência são freqüentemente usados porque muitas peças e peças de todos os tipos são produzidas em massa e devem ter a mesma forma e medidas. Dessa forma, eles podem ser facilmente substituídos quando necessário, por exemplo, porcas, parafusos, chapas ou pedras de pavimentação no chão da rua.
Congruência, identidade e semelhança
Existem conceitos geométricos relacionados à congruência, por exemplo figuras idênticas e figuras semelhantes , que não implicam necessariamente que as figuras sejam congruentes.
Observe que as figuras congruentes são idênticas; no entanto, os quadriláteros da figura 1 podem ser orientados diferentemente no plano e ainda permanecer congruentes, pois a orientação diferente não altera o tamanho de seus lados ou ângulos. Nesse caso, eles não seriam mais idênticos.
O outro conceito é o da semelhança das figuras: duas figuras planas são semelhantes se tiverem a mesma forma e seus ângulos internos medem o mesmo, embora o tamanho das figuras possa ser diferente. Se for esse o caso, os números não são congruentes.
Exemplos de congruência
– congruência de ângulos
Como indicamos no início, os ângulos congruentes têm a mesma medida. Existem várias maneiras de obter ângulos congruentes:
Exemplo 1
Duas linhas com um ponto em comum definem dois ângulos, chamados ângulos opostos ao vértice . Esses ângulos têm a mesma medida, portanto são congruentes.
Exemplo 2
Existem duas linhas paralelas mais uma linha t que cruza as duas. Como no exemplo anterior, quando essa linha cruza os paralelos, gera ângulos congruentes, um em cada linha do lado direito e dois outros no lado esquerdo. A figura mostra α e α 1 , à direita da linha t , que são congruentes.
Exemplo 3
Em um paralelogramo, existem quatro ângulos interiores, que são congruentes dois a dois. Eles são aqueles entre vértices opostos, como mostra a figura a seguir, na qual os dois ângulos verdes são congruentes, bem como os dois ângulos vermelhos.
– Congruência de triângulos
Dois triângulos de forma idêntica e tamanho igual são congruentes. Para verificar isso, existem três critérios que podem ser examinados quanto à consistência:
– critério LLL : os três lados dos triângulos têm as mesmas medidas, portanto L 1 = L ‘ 1 ; L 2 = L ‘ 2 e L 3 = L’ 3.
– Critérios ALA e AAL : os triângulos têm dois ângulos interiores iguais e o lado entre esses ângulos tem a mesma medida.
– Critério LAL : dois dos lados são idênticos (correspondentes) e entre eles existe o mesmo ângulo.
Exercícios resolvidos
– Exercício 1
A figura a seguir mostra dois triângulos: ΔABC e ΔECF. AC = EF, AB = 6 e CF = 10. Além disso, os ângulos ACBAC e ∡FEC são congruentes e os ângulos ∡ACB e ∡FCB também são congruentes.
Portanto, o comprimento do segmento BE é igual a:
i) 5
ii) 3
iii) 4
iv) 2
(v) 6
Solução
Como os dois triângulos têm um lado de comprimento igual AC = EF entre os ângulos iguais ∡BAC = ∡CEF e ∡BCA = ∡CFE, pode-se dizer que os dois triângulos são congruentes pelo critério ALA.
Ou seja, ΔBAC ≡ ΔCEF, então você deve:
BA = CE = AB = 6
BC = CF = 10
AC = EF
Mas o segmento a ser calculado é BE = BC – EC = 10 – 6 = 4.
Portanto, a resposta correta é (iii).
– Exercício 2
Três triângulos são mostrados na figura abaixo. Sabe-se também que os dois ângulos indicados medem 80º cada e que os segmentos AB = PD e AP = CD. Encontre o valor do ângulo X indicado na figura.
Solução
Você deve aplicar as propriedades dos triângulos, que são detalhadas passo a passo.
Passo 1
Começando com o critério de congruência do triângulo LAL, pode-se afirmar que os triângulos BAP e PDC são congruentes:
ΔBAP ≡ ΔPDC
Passo 2
Isso nos leva a afirmar que BP = PC, portanto o triângulo ΔBPC é isósceles e ∡PCB = ∡PBC = X.
etapa 3
Se chamarmos o ângulo BPC γ, segue-se o seguinte:
2x + γ = 180º
Passo 4
E se chamamos os ângulos APB e DCP β e os ângulos ABP e DPC α, temos o seguinte:
α + β + γ = 180º (já que APB é um ângulo plano).
Etapa 5
Além disso, α + β + 80º = 180º pela soma dos ângulos internos do triângulo APB.
Etapa 6
Combinando todas essas expressões, você deve:
α + β = 100º
Etapa 7
E, por conseguinte:
γ = 80º.
Etapa 8
Por fim, segue-se que:
2X + 80º = 180º
Com X = 50º.
Referências
- Baldor, A. 1973. Geometria plana e espacial. Cultural da América Central.
- Fundação CK-12. Polígonos congruentes. Recuperado de: ck 12.org.
- Aprecie matemática. Definições: Raio (polígono). Recuperado de: enjolasmatematicas.com.
- Referência aberta de matemática. Teste de polígonos quanto à congruência. Recuperado de: mathopenref.com.
- Wikipedia. Congruência (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Zapata, F. Triângulos, história, elementos, classificação, propriedades. Recuperado de: lifeder.com.