Álgebra booleana: história, teoremas e postulados, exemplos

A álgebra booleana ou álgebra booleana é notação algébrica utilizado para o tratamento de variáveis binárias. Abrange os estudos de qualquer variável que possua apenas 2 resultados possíveis, complementares e exclusivos entre si. Por exemplo, as variáveis ​​cuja única possibilidade é verdadeira ou falsa, certa ou errada, ativar ou desativar são a base do estudo da álgebra booleana.

A álgebra booleana forma a base da eletrônica digital, o que a torna bastante presente nos tempos contemporâneos. É governado pelo conceito de portas lógicas, onde as operações conhecidas na álgebra tradicional são significativamente afetadas.

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Fonte: pexels.com

História

A álgebra booleana foi introduzida em 1854 pelo matemático inglês George Boole (1815 – 1864), que era um estudioso autodidata da época. A preocupação deles surgiu de uma disputa entre Augustus De Morgan e William Hamilton, sobre os parâmetros que definem esse sistema lógico.

George Boole argumentou que a definição dos valores numéricos 0 e 1 corresponde, no campo da lógica, à interpretação Nothing e Universe, respectivamente.

A intenção de George Boole era definir, através das propriedades da álgebra, as expressões da lógica proposicional necessária para lidar com variáveis ​​binárias.

Em 1854, as seções mais significativas da álgebra booleana são publicadas no livro ” Uma investigação das leis do pensamento nas quais as teorias matemáticas da lógica e da probabilidade se baseiam”.

Este título curioso seria resumido mais tarde como ” As leis do pensamento”. O título ganhou fama devido à atenção imediata que teve por parte da comunidade matemática da época.

Em 1948, Claude Shannon o aplicou no projeto de circuitos de comutação elétrica flip-flop. Isso serviu de introdução à aplicação da álgebra booleana em todo o esquema eletrônico-digital.

Estrutura

Os valores elementares nesse tipo de álgebra são 0 e 1, que correspondem a FALSE e TRUE, respectivamente. As operações fundamentais na álgebra booleana são 3:

– E operação ou conjunção. Representado por um período (.). Sinônimo do produto.

– Operação ou disjunção. Representado por uma cruz (+), sinônimo da soma.

– NÃO operação ou negação. Representado pelo prefixo NOT (NOT A). Também é conhecido como complemento.

Se em um conjunto A2 leis de composição interna denotadas como produto e soma (. +) São definidas, diz-se que a lista restrita (A. +) é uma álgebra booleana se, e somente se, a lista restrita atender à condição de uma mira Distributivo

Para definir uma rede de distribuição, as condições de distribuição entre as operações fornecidas devem ser atendidas:

. É distributivo em relação à soma + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ é distributivo em relação ao produto.a + (b. c) = (a + b). (a + c)

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Os elementos que compõem o conjunto A devem ser binários, possuindo assim valores universais ou nulos.

Aplicações

Seu maior cenário de aplicação é o ramo digital, onde serve para estruturar os circuitos que compõem as operações lógicas envolvidas. A arte da simplicidade de circuitos em favor da otimização de processos é o resultado da correta aplicação e prática da álgebra booleana.

Desde o desenvolvimento de painéis elétricos, passando pela transmissão de dados, até a programação em diferentes idiomas, podemos encontrar frequentemente álgebra booleana em todos os tipos de aplicações digitais.

Variáveis ​​booleanas são muito comuns na estrutura de programação. Dependendo da linguagem de programação usada, haverá operações de código estrutural que usam essas variáveis. Os condicionais e argumentos de cada idioma suportam variáveis ​​booleanas para definir os processos.

Postulados

Existem teoremas que governam as leis lógicas estruturais da álgebra booleana. Da mesma forma, eles postulam para conhecer os possíveis resultados em diferentes combinações de variáveis ​​binárias, dependendo da operação executada.

Soma (+)

O operador OR cujo elemento lógico é a união (U) é definido para variáveis ​​binárias da seguinte maneira:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produto (.)

O operador AND cujo elemento lógico é a interseção (∩) é definido para variáveis ​​binárias da seguinte maneira:

0 0 = 0

0 1 = 0

1 0 = 0

1 1 = 1

Oposto (NÃO)

O operador NOT cujo elemento lógico é o complemento (X) ‘é definido para variáveis ​​binárias da seguinte maneira:

NÃO 0 = 1

NÃO 1 = 0

Muitos dos postulados diferem de seus equivalentes na álgebra convencional. Isto é devido ao domínio das variáveis. Por exemplo, a adição de elementos do universo na álgebra booleana (1 + 1) não pode produzir o resultado convencional de 2, porque não pertence aos elementos do conjunto binário.

Teoremas

Regra de zero e unidade

Toda operação simples envolvendo um elemento com variáveis ​​binárias é definida:

0 + A = A

1 + A = 1

0 A = 0

1 A = A

Potências iguais ou idempotência

Operações entre variáveis ​​iguais são definidas como:

A + A = A

A. A = A

Complementação

Toda operação entre uma variável e seu complemento é definida como:

A + NÃO A = 1

A. NÃO A = 0

Involução ou negação dupla

Qualquer dupla negação será considerada como a variável natural.

NÃO (NÃO A) = A

Comutativo

A + B = B + A; Comutatividade da soma.

A. B = B. A; Comutatividade do produto.

Associativo

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associatividade da soma.

A. (B. C) = (A.B). C = A. B. C; Associatividade do Produto

Distributivo

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distribuição da soma em relação ao produto.

A. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distribuição do produto em relação à soma.

Leis de absorção

Existem muitas leis de absorção entre várias referências, algumas das mais conhecidas são:

A. (A + B) = A

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A. (NÃO A + B) = A. B

NÃO A (A + B) = NÃO A. B

(A + B). (A + NÃO B) = A

A + A. B = A

A + NÃO A. B = A + B

NÃO A + A. B = NÃO A + B

A. B + A. NÃO B = A

Teorema de Morgan

São leis de transformação, que lidam com pares de variáveis ​​que interagem entre as operações definidas da álgebra booleana (+.).

NÃO (A. B) = NÃO A + NÃO B

NÃO (A + B) = NÃO A. NÃO B

A + B = NÃO (NÃO A + NÃO B)

A. B = NÃO (NÃO A. NÃO B)

Dualidade

Todos os postulados e teoremas possuem o poder da dualidade. Isso implica que, ao trocar as variáveis ​​e operações, a proposição resultante seja verificada. Ou seja, ao trocar 0 por 1 e AND por OR ou vice-versa; é criada uma expressão que também será completamente válida.

Por exemplo, se o postulado for tomado

1 0 = 0

E a dualidade é aplicada

0 + 1 = 1

Outro postulado perfeitamente válido é obtido.

Mapa de Karnaugh

O mapa de Karnaugh é um diagrama usado na álgebra booleana para simplificar funções lógicas. Consiste em um arranjo bidimensional semelhante às tabelas da verdade da lógica proposicional. Os dados das tabelas verdadeiras podem ser refletidos diretamente no mapa de Karnaugh.

O mapa de Karnaugh pode abrigar processos de até 6 variáveis. Para funções com maior número de variáveis, recomenda-se o uso de software para simplificar o processo.

Proposto em 1953 por Maurice Karnaugh, foi estabelecido como uma ferramenta fixa no campo da álgebra booleana, porque sua implementação sincroniza a potencialidade humana com a necessidade de simplificar expressões booleanas, um aspecto fundamental na fluidez dos processos digitais.

Exemplos

A álgebra booleana serve para reduzir as portas lógicas em um circuito, onde a prioridade é trazer a complexidade ou o nível do circuito para a menor expressão possível. Isto é devido ao atraso computacional que cada porta implica.

No exemplo a seguir, observaremos a simplificação de uma expressão lógica para sua expressão mínima, usando os teoremas e postulados da álgebra booleana.

NÃO (AB + A + B). NÃO (A + NÃO B)

NÃO [A (B + 1) + B]. NÃO (A + NÃO B); Fatore o A com fator comum.

NÃO [A (1) + B]. NÃO (A + NÃO B); Pelo teorema A + 1 = 1.

NÃO (A + B). NÃO (A + NÃO B); pelo teorema A. 1 = A

(NÃO A. NÃO B). [NÃO A. NÃO (NÃO B)];

Pelo teorema de Morgan, NOT (A + B) = NÃO A. NÃO B

(NÃO A. NÃO B). (NÃO A. B); Para o teorema da dupla negação NOT (NOT A) = A

NÃO A. NÃO B. NÃO A. B; Agrupamento algébrico.

NÃO A. NÃO A. NÃO B. B; Comutatividade do produto A. B = B. Um

NÃO A. NÃO B. B; Pelo teorema A. A = A

NÃO A. 0; Pelo teorema A. NÃO A = 0

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0; Pelo teorema A. 0 = 0

A. B. C + NÃO A + A. NÃO B. C

A. C. (B + NÃO B) + NÃO A; Factoring (A. C) com fator comum.

A. C. (1) + NÃO A; Pelo teorema A + NÃO A = 1

A. C + NÃO A; Pela regra do teorema de zero e unidade 1. A = A

NÃO A + C ; Pela lei de Morgan A + NOT A. B = A + B

Para esta solução, a lei de Morgan deve ser estendida para definir:

NÃO (NÃO A). C + NÃO A = NÃO A + C

Porque NOT (NOT A) = A por involução.

Simplifique a função lógica

NÃO A. NÃO B. NÃO C + NÃO A. NÃO B. C + NÃO A. NÃO C até sua expressão mínima

NÃO A. NÃO B. (NÃO C + C) + NÃO A. NÃO C; Factoring (NÃO A. NÃO B) com fator comum

NÃO A. NÃO B. (1) + NÃO A. NÃO C; Pelo teorema A + NÃO A = 1

(NÃO A. NÃO B) + (NÃO A. NÃO C); Pela regra do teorema de zero e unidade 1. A = A

NÃO A (NÃO B + NÃO C); Faturando NÃO A com um fator comum

NÃO A. NÃO (B. C); Pelas leis de Morgan NOT (A. B) = NÃO A + NÃO B

NOT [A + (B. C)] Pelas leis de Morgan NOT (A. B) = NÃO A + NOT B

Qualquer uma das 4 opções em negrito representa uma possível solução para reduzir o nível do circuito

Simplifique a função lógica para sua expressão mínima

(A. NÃO B. C + A. NÃO B. B. D + NÃO A. NÃO B). C

(A. NÃO B. C + A. 0. D + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A. NÃO A = 0

(A. NÃO B. C + 0 + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A. 0 = 0

(A. NÃO B. C + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A + 0 = A

A. NÃO B. C. C + NÃO A. NÃO B. C; Pela distributividade do produto em relação à soma

A. NÃO B. C + NÃO A. NÃO B. C; Pelo teorema A. A = A

NÃO B. C (A + NÃO A) ; Factoring (NÃO B. C) com fator comum

NÃO B. C (1); Pelo teorema A + NÃO A = 1

NÃO B. C; Pela regra do teorema de zero e unidade 1. A = A

Referências

  1. Álgebra booleana e suas aplicações J. Eldon Whitesitt. Continental Editora, 1980.
  2. Matemática e Engenharia em Ciência da Computação. Christopher J. Van Wyk. Instituto de Ciências da Computação e Tecnologia. Bureau Nacional de Padrões. Washington, DC 20234
  3. Matemática para Ciência da Computação. Eric Lehman Google Inc.
    F Thomson Leighton Departamento de Matemática e Laboratório de Ciência da Computação e IA, Instituto de Tecnologia de Massachusetts; Akamai Technologies.
  4. Elementos de análise abstrata. Médico O’Searcoid PhD. Departamento de Matemática. Faculdade universitária de Dublin, Beldfield, Dublind.
  5. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, Nova Iorque, Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.

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