Números racionais: propriedades, exemplos e operações

Números racionais: propriedades, exemplos e operações

Os  números racionais  são todos os números que podem ser obtidos como a divisão de dois números inteiros. Exemplos de números racionais são: 3/4, 8/5, -16/3 e os que aparecem na figura a seguir. Em um número racional, o quociente é indicado, sendo possível fazê-lo posteriormente, se necessário.

A figura mostra qualquer objeto redondo por conveniência. Se queremos dividi-lo em 2 partes iguais, como à direita, temos duas metades e cada uma vale 1/2.

Ao dividi-lo em 4 partes iguais, obteremos 4 peças e cada uma vale 1/4, como na imagem ao centro. E se tiver que ser dividido em 6 partes iguais, cada parte valerá 1/6, o que vemos na imagem à esquerda.

Obviamente, também podemos dividi-lo em duas partes desiguais, por exemplo, podemos manter 3/4 partes e economizar 1/4 parte. Outras divisões também são possíveis, como 4/6 partes e 2/6 partes. O importante é que a soma de todas as partes seja 1.

Dessa maneira, é evidente que com números racionais você pode dividir, contar e distribuir coisas como comida, dinheiro, terra e todos os tipos de objetos em frações. E assim o número de operações que podem ser feitas com os números é expandido.

Os números racionais também podem ser expressos na forma decimal, como pode ser visto nos seguintes exemplos:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333 …

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Posteriormente, indicamos como ir de um formulário para outro com exemplos.

Propriedades de números racionais

Os números racionais, cujo conjunto iremos denotar com a letra Q, têm as seguintes propriedades:

-Q inclui números naturais N e números inteiros Z.

Tendo em conta que qualquer número a pode ser expresso como quociente entre si e 1, é fácil ver que entre os números racionais também existem naturais e inteiros.

Assim, o número natural 3 pode ser escrito como uma fração e também -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = – (5/1)

Dessa maneira, Q é um conjunto numérico que engloba um número maior de números, algo muito necessário, pois os números “redondos” não são suficientes para descrever todas as operações possíveis a serem realizadas.

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– Números racionais podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos, resultando em um número racional: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 – 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

– Entre cada par de números racionais, você sempre pode encontrar outro número racional. De fato, entre dois números racionais, existem números racionais infinitos. 

Por exemplo, entre os números racionais 1/4 e 1/2 estão os números racionais 3/10, 7/20, 2/5 (e muitos mais), que podem ser verificados expressando-os como decimais.

– Qualquer número racional pode ser expresso como: i) um número inteiro ou ii) um decimal limitado (estrito) ou periódico: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-O mesmo número pode ser representado por frações equivalentes infinitas e todas elas pertencem a Q. Vamos ver este grupo:

Todos representam o decimal 0,428571 …

-De todas as frações equivalentes que representam o mesmo número, a fração irredutível, a mais simples de todas, é o representante canônico desse número. O representante canônico do exemplo anterior é 3/7.

Exemplos de números racionais

– Frações próprias, aquelas em que o numerador é menor que o denominador:

-Frações impróprias, cujo numerador é maior que o denominador:

-Números naturais e números inteiros:

-Frações equivalentes:

Representação decimal de um número racional

Quando o numerador é dividido pelo denominador, a forma decimal do número racional é encontrada. Por exemplo:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111 …

11/6 = 0,545454…

Nos dois primeiros exemplos, o número de casas decimais é limitado. Isso significa que quando a divisão é finalmente feita, um restante 0 é obtido.

Por outro lado, nos dois seguintes, o número de casas decimais é infinito e, portanto, as reticências são colocadas. No último caso, há um padrão em decimais. No caso da fração 1/9, o número 1 é repetido indefinidamente, enquanto em 6/11 é 54.

Quando isso acontece, o decimal é considerado periódico e é denotado por um sotaque circunflexo como este:

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Transformar um decimal em uma fração

Se for um número decimal limitado, a vírgula é simplesmente removida e o denominador se torna a unidade seguida por tantos zeros quantos houver números no número decimal. Por exemplo, para transformar o decimal 1,26 em uma fração, ele é escrito assim:

1,26 = 126/100

Em seguida, a fração resultante é simplificada ao máximo:

126/100 = 63/50

Se o decimal for ilimitado, o período será identificado primeiro. Em seguida, siga estas etapas para encontrar a fração resultante:

-O numerador é a subtração entre o número (sem vírgula ou acento circunflexo) e a parte que não possui o acento circunflexo.

-O denominador é um número inteiro com 9 quantos números sob o circunflexo e 0 como existem dígitos na parte decimal que não estão abaixo do circunflexo.

Vamos seguir este procedimento para transformar o número decimal 0,428428428 … em uma fração.

-Primeiro, o período é identificado, que é a sequência que se repete: 428.

-Em seguida, a operação é feita para subtrair o número sem vírgula ou acento: 0428 da parte que não possui um circunflexo, que é 0. Isso deixa 428 – 0 = 428.

-O denominador é construído, sabendo que existem 3 algarismos abaixo do circunflexo e todos eles estão abaixo do circunflexo. Portanto, o denominador é 999.

-Finalmente, a fração é formada e simplificada, se possível:

0,428 = 428/999

Não é possível simplificar ainda mais.

Operações com números racionais

– Adição e subtração

Frações com o mesmo denominador

Quando as frações têm o mesmo denominador, é muito fácil adicioná-las e / ou subtraí-las, porque os numeradores são simplesmente adicionados algebricamente, deixando a soma dos adendos como o denominador do resultado. Finalmente, se possível, é simplificado.

Exemplo

Execute a seguinte adição algébrica e simplifique o resultado:

A fração resultante já é irredutível.

Frações com denominador diferente

Nesse caso, os adendos são substituídos por frações equivalentes com o mesmo denominador e, em seguida, o procedimento já descrito é seguido. 

Exemplo

Adicione algebricamente os seguintes números racionais, simplificando o resultado:

Os passos são:

-Determine o múltiplo menos comum (lcm) dos denominadores 5, 8 e 3:

lcm (5,8,3) = 120

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Este será o denominador da fração resultante sem simplificação.

-Para cada fração: divida o lcm pelo denominador e multiplique pelo numerador. O resultado desta operação é colocado, com seu respectivo sinal, no numerador da fração. Dessa maneira, é obtida uma fração equivalente ao original, mas com o cm3 como denominador.

Por exemplo, para a primeira fração, o numerador é construído assim: (120/5) x 4 = 96 e obtemos:

O mesmo procedimento é seguido para as frações restantes:

Finalmente, as frações equivalentes são substituídas sem esquecer o sinal e os numeradores são adicionados algebricamente:

(4/5) + (14/8) – (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) – (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

– Multiplicação e divisão

A multiplicação e a divisão são feitas seguindo as regras mostradas abaixo:

De qualquer forma, é importante lembrar que a multiplicação é comutativa, o que significa que a ordem dos fatores não altera o produto. Isso não acontece com a divisão, portanto, é preciso ter cuidado em respeitar a ordem entre dividendo e divisor.

Exemplo 1

Realize as seguintes operações e simplifique o resultado:

a) (5/3) x (15/8)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Responda para

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Resposta b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Exemplo 2     

Luisa custava US $ 45. Ele passou a décima parte comprando um livro e 2/5 partes do que restava em uma camiseta. Quanto dinheiro resta à Luisa? Expresse o resultado em uma fração irredutível.

Solução

O custo do livro (1/10) x R $ 45 = 0,1 x R $ 45 = R $ 4,5

Portanto, Luisa ficou com:

45 – 4,5 $ = 40,5 $

Com esse dinheiro, Luisa foi à loja de roupas e comprou a camisa, cujo preço é:

(2/5) x R $ 40,5 = R $ 16,2

Agora Luisa tem em seu portfólio:

40,5 – $ 16,2 = $ 24,3

Para expressá-lo em fração, está escrito assim:

24,3 = 243/10

O que é irredutível.

Referências

  1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
  2. Carena, M. 2019. Manual de Matemática. Universidade Nacional do Litoral.
  3. Figuera, J. 2000. Matemática 8. Ediciones Co-Bo.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Números racionais. Recuperado de: Summitnet.uoc.edu.
  6. Números racionais. Recuperado de: webdelprofesor.ula.ve.

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