Análise Dimensional: Técnicas, Princípios e Exercícios

A análise dimensional é uma ferramenta amplamente utilizada em diferentes ramos da ciência e engenharia para compreender melhor os fenômenos que envolvem a presença de diferentes quantidades físicas. As magnitudes têm dimensões e a partir delas derivam as diferentes unidades de medida.

A origem do conceito de dimensão é encontrada no matemático francês Joseph Fourier, que o cunhou. Fourier também entendeu que, para que duas equações sejam comparáveis, elas devem ser homogêneas em relação às suas dimensões. Ou seja, você não pode adicionar metros com quilogramas.

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Assim, a análise dimensional é responsável pelo estudo das magnitudes, dimensões e homogeneidade das equações físicas. Portanto, é freqüentemente usado para verificar relacionamentos e cálculos, ou para construir hipóteses sobre questões complicadas que podem ser testadas experimentalmente posteriormente.

Dessa forma, a análise dimensional é uma ferramenta perfeita para detectar erros nos cálculos ao verificar a congruência ou incongruência das unidades utilizadas neles, com foco especial nas unidades dos resultados finais.

Além disso, a análise dimensional é usada para projetar experimentos sistemáticos. Permite reduzir o número de experimentos necessários, além de facilitar a interpretação dos resultados obtidos.

Uma das bases fundamentais da análise dimensional é que é possível representar qualquer quantidade física como um produto das potências de uma quantidade menor, conhecidas como quantidades fundamentais das quais derivam as demais.

Magnitudes fundamentais e fórmula dimensional

Na física, os fundamentos são considerados aqueles que permitem que outros se expressem com base neles. Por convenção, foram escolhidos: comprimento (L), tempo (T), massa (M), intensidade da corrente elétrica (I), temperatura (θ), intensidade da luz (J) e quantidade de substância (N).

Pelo contrário, o restante é considerado quantidades derivadas. Alguns deles são: área, volume, densidade, velocidade, aceleração, entre outros.

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É definida como uma fórmula dimensional para a igualdade matemática que apresenta a relação entre uma magnitude derivada e uma magnitude fundamental.

Técnicas de análise dimensional

Existem várias técnicas ou métodos de análise dimensional. Dois dos mais importantes são os seguintes:

Método Rayleigh

Rayleigh, que esteve com Fourier um dos precursores da análise dimensional, desenvolveu um método direto e muito simples que permite obter elementos sem dimensão. Neste método, as seguintes etapas são seguidas:

1- A função potencial de caractere da variável dependente é definida.

2- Cada variável é alterada por suas dimensões correspondentes.

3- As equações da condição de homogeneidade são estabelecidas.

4- As np desconhecidas são corrigidas.

5- Os expoentes que foram calculados e fixados na equação de potencial são substituídos.

6- Os grupos de variáveis ​​são movidos para definir os números sem dimensão.

Método de Buckingham

Este método é baseado no teorema de Buckingham ou pi, que afirma o seguinte:

Se houver uma relação dimensional homogênea entre um número “n” de quantidades físicas ou variáveis ​​em que diferentes dimensões “p” são incluídas, também existe uma relação dimensionalmente homogênea entre n-p, grupos sem dimensão independentes.

Princípio da homogeneidade dimensional

O princípio de Fourier, também conhecido como princípio da homogeneidade dimensional, afeta a estruturação adequada de expressões que ligam magnitudes físicas algebricamente.

É um princípio que possui consistência matemática e afirma que a única opção é subtrair ou adicionar quantidades físicas da mesma natureza entre si. Portanto, não é possível adicionar uma massa com um comprimento nem um tempo com uma superfície, etc.

Da mesma forma, o princípio afirma que, para que as equações físicas estejam corretas no nível dimensional, os termos totais dos membros dos dois lados da igualdade devem ter a mesma dimensão. Este princípio garante a consistência das equações físicas.

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Princípio da semelhança

O princípio da similaridade é uma extensão do caráter de homogeneidade no nível dimensional das equações físicas. É afirmado da seguinte forma:

As leis físicas permanecem inalteradas diante da alteração das dimensões (tamanho) de um evento físico no mesmo sistema de unidades, sejam elas mudanças de natureza real ou imaginária.

A aplicação mais clara do princípio de similaridade ocorre na análise das propriedades físicas de um modelo feito em uma escala menor, para subsequentemente usar os resultados no objeto em tamanho real.

Essa prática é fundamental em áreas como projeto e fabricação de aviões e navios e em grandes obras hidráulicas.

Aplicações

Entre as muitas aplicações da análise dimensional, as listadas abaixo podem ser destacadas.

– Localize possíveis erros nas operações executadas

– Solucione problemas cuja resolução apresente alguma dificuldade matemática intransponível.

– Projetar e analisar modelos de pequena escala.

– Faça observações sobre como as possíveis mudanças influenciam um modelo.

Além disso, a análise dimensional é usada com bastante frequência no estudo da mecânica dos fluidos.

A relevância da análise dimensional na mecânica dos fluidos deve-se à dificuldade em estabelecer equações em certos fluxos, bem como à dificuldade em resolvê-los, tornando impossível o alcance de relações empíricas. Por esse motivo, é necessário ir para o método experimental.

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Encontre a equação dimensional de velocidade e aceleração.

Solução

Como v = s / t, é verdade que: [v] = L / T = L ∙ T -1

Da mesma forma:

a = v / t

[a] = L / T2 2 = L ∙ T -2

2º exercício

Determine a equação dimensional da quantidade de movimento.

Solução

Como a quantidade de movimento é o produto entre massa e velocidade, é verdade que p = m ∙ v

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Por tanto:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T -2

Referências

  1. Análise dimensional (nd). Na Wikipedia Recuperado em 19 de maio de 2018, em es.wikipedia.org.
  2. Análise dimensional (nd). Na Wikipedia Recuperado em 19 de maio de 2018, em en.wikipedia.org.
  3. Langhaar, HL (1951), Análise Dimensional e Teoria de Modelos , Wiley.
  4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005).Física e Química . Everest
  5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002).Compreender a física . Birkhäuser

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