- Somar ou subtrair monômios só é possível quando a parte literal é idêntica; com frações, iguale denominadores antes de operar os coeficientes.
- Agrupar termos semelhantes, fatorar (fator comum, agrupamento, casos notáveis) e usar MMC simplifica as contas e evita erros.
- Na multiplicação, some expoentes de mesma base; na divisão por monômio, subtraia expoentes e divida coeficientes termo a termo.
Neste guia completo, você vai dominar como somar e subtrair frações com monômios, entendendo quando é permitido combinar termos e como tratar corretamente os coeficientes fracionários. Ao longo do texto, integramos definições essenciais de expressões algébricas, monômios, polinômios e técnicas de simplificação para que tudo faça sentido de ponta a ponta. O ponto-chave é reconhecer termos semelhantes e operar com os coeficientes (inclusive fracionários) sem perder a parte literal.
Não vamos ficar apenas nas regras: você verá exemplos passo a passo, situações típicas de prova e erros comuns que derrubam muita gente. Além de somar e subtrair monômios com frações, revisaremos multiplicação, divisão por monômio e alguns casos de fatoração, pois essas ferramentas ajudam a reduzir expressões antes de trabalhar com as frações.
O que são expressões algébricas
Uma expressão algébrica é qualquer combinação de números, letras (variáveis) e operações como soma, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. As letras representam valores desconhecidos e por isso são chamadas de variáveis, enquanto os números que as acompanham multiplicando-as são os coeficientes.
Quando você vê algo como 3x, entenda que há uma multiplicação implícita entre 3 e x. Entre coeficiente e parte literal, a operação é sempre multiplicação, mesmo que não apareça o símbolo “×”. Isso é fundamental para interpretar corretamente qualquer expressão.
Exemplos simples de expressões algébricas: a) x + 5; b) b2 – 4ac. Ambas misturam números, letras e operações, e o valor final depende de quais números atribuímos às letras.
Para calcular o valor numérico de uma expressão, substituímos cada variável por um número e efetuamos as operações respeitando a hierarquia de prioridades. Se P = 2b + 2h indica o perímetro de um retângulo, ao substituir b e h por valores concretos, obtemos o perímetro. Simples e direto.
Monômios e polinômios
Chamamos de monômio toda expressão onde aparece apenas multiplicação entre um coeficiente e uma parte literal (formada por variáveis com expoentes). Exemplos: 3ab, 10xy2z3 e bh (quando não há número explícito, o coeficiente é 1).
Dois monômios são semelhantes quando possuem a mesma parte literal, isto é, as mesmas letras e os mesmos expoentes em cada letra. Por exemplo, 4xy e 30xy são semelhantes; já 4xy e 30x2y3 não são, pois a parte literal difere nos expoentes.
Quando somamos ou subtraímos monômios, só podemos combinar os que são semelhantes, operando nos coeficientes e repetindo a parte literal. Essa regra é o coração do assunto e vale tanto para coeficientes inteiros quanto fracionários.
Um polinômio, por sua vez, é a soma (ou subtração) de monômios não necessariamente semelhantes. Exemplos: 2xy + 3x2y − xy3; a + b; 3abc + ab + ac + 5bc. Em polinômios, a simplificação também passa por identificar e somar termos semelhantes.
Como somar e subtrair monômios com frações nos coeficientes
Para somar ou subtrair monômios, a condição indispensável é que sejam semelhantes (mesma parte literal). Quando os coeficientes são frações, basta reduzir ao mesmo denominador (usar frações equivalentes), somar/subtrair os numeradores e manter a parte literal.
Exemplo 1 (adição com frações): 1by/2 + 15by/6. Primeiro, encontramos o MMC(2, 6) = 6. Reduzindo: 1by/2 = 3by/6 e 15by/6 já está sobre 6. Somando numeradores: (3by + 15by)/6 = 18by/6 = 3by. Como as partes literais coincidem (by), a operação é válida.
Exemplo 2 (subtração com frações e inteiro): (25x)/3 − 42x. Trazemos ambos ao mesmo denominador: 42x = (126x)/3. Logo, (25x)/3 − (126x)/3 = −(101x)/3. Note que apenas os coeficientes foram operados; a parte literal x permanece a mesma.
Exemplo 3 (sem frações, mas com semelhança): 12by − 7by = (12 − 7)by = 5by. De novo, a parte literal idêntica permite somar os coeficientes diretamente.
Exemplo 4 (com inteiros positivos e negativos): −102ax2 + 202ax2 = (−102 + 202)ax2 = 100ax2. Quando a parte literal coincide, operar os coeficientes é imediato.
Exemplo 5 (soma direta): 32cz3 + 24cz3 = (32 + 24)cz3 = 56cz3. Termos semelhantes sempre resultam num único monômio com a mesma parte literal.
Exemplo 6 (agrupamento e evidência): 3ax + 5bx − 12ax − 15bx + 4x. Agrupando semelhantes: (3ax − 12ax) + (5bx − 15bx) + 4x = −9ax − 10bx + 4x. Colocando x em evidência: x(−9a − 10b + 4). Esse passo de fatorar ajuda a organizar a expressão para operações futuras.
Soma e subtração de polinômios
Para somar polinômios, somamos termo a termo, respeitando os semelhantes; para subtrair, distribuímos o sinal de menos e, em seguida, combinamos os termos. O cuidado central é não misturar partes literais diferentes e não esquecer de inverter os sinais na subtração.
Exemplo (soma): (2x2 + 3xy + y2) + (7x2 − 5xy − y2) = (2 + 7)x2 + (3 − 5)xy + (1 − 1)y2 = 9x2 − 2xy. Note como y2 se anulou.
Exemplo (subtração): (5ab − 3bc + a2) − (ab + 9bc − a3) = 5ab − 3bc + a2 − ab − 9bc + a3. Agrupando: (5 − 1)ab + (−3 − 9)bc + a2 + a3 = 4ab − 12bc + a2 + a3. O sinal “−” antes do segundo parêntese inverteu todos os sinais internos.
Multiplicação e divisão com parte literal
Na multiplicação algébrica, distribuímos termo a termo e aplicamos as leis de expoentes na parte literal: para mesma base, multiplicar significa somar os expoentes. Na divisão por monômio, dividimos coeficientes e, na parte literal, subtraímos os expoentes quando a base é a mesma.
Exemplo (multiplicação): (3x2 + 4xy)(2x + 3) = 3x2·2x + 3x2·3 + 4xy·2x + 4xy·3 = 6x3 + 9x2 + 8x2y + 12xy. Repare na soma de expoentes na multiplicação x2·x = x3.
Exemplo (divisão por monômio): (18x4 + 24x3 − 6x2 + 9x) ÷ 3x = 6x3 + 8x2 − 2x + 3. Dividimos os coeficientes por 3 e subtraímos 1 do expoente de x em cada termo.
Fatoração essencial para simplificar
Fatorar é reescrever uma expressão como produto de fatores, o que frequentemente reduz o trabalho antes de somar ou subtrair. Conhecer os padrões de fatoração acelera muito as contas e evita erros.
Casos úteis de fatoração: Fator comum: ax + bx = x(a + b). Agrupamento: ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b). Esses dois já resolvem muita coisa prática.
Casos notáveis: Trinômio quadrado perfeito (adição): a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. Trinômio quadrado perfeito (diferença): a2 − 2ab + b2 = (a − b)2. Diferença de quadrados: (a + b)(a − b) = a2 − b2.
Também vale conhecer: Cubo perfeito (soma): a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3. Cubo perfeito (diferença): a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3. Esses padrões surgem o tempo todo em exercícios de simplificação e preparação para operações com frações em coeficientes.
Cálculo numérico de expressões
Quando valores são dados para as variáveis, basta substituir e calcular. Se a = 4 e b = −6, então, por exemplo, 3a + 5b = 3·4 + 5·(−6) = 12 − 30 = −18.
Outro exemplo simples: com a = 4 e b = −6, temos a2 − b = 16 − (−6) = 22. O cuidado é sempre respeitar sinais e parênteses para não errar no positivo/negativo.
Mais um: 10ab + 5a2 − 3b = 10·4·(−6) + 5·16 − 3·(−6) = −240 + 80 + 18 = −142. Perceba como a ordem das operações e o domínio de sinais são decisivos.
Uma fórmula aplicada com frequência é o perímetro do retângulo: P = 2b + 2h. Ao substituir b e h por números, calcule 2b e 2h e some. Entre o coeficiente 2 e a variável, a multiplicação é implícita, por isso escrevemos 2b e 2h sem o símbolo “×”.
Exemplos guiados de soma e subtração com monômios
Vamos retomar a ideia central de combinar monômios semelhantes com frações. O procedimento é sempre: igualar denominadores, somar/subtrair numeradores e preservar a parte literal.
Exemplo A: 1by/2 + 15by/6. MMC(2, 6) = 6. Reescrevendo: 3by/6 + 15by/6 = 18by/6 = 3by. Somente foi possível somar porque ambos tinham parte literal by.
Exemplo B: (25x)/3 − 42x. Tornando 42x uma fração de denominador 3: (25x)/3 − (126x)/3 = −(101x)/3. Em geral, expressões mistas (inteiro e fração) pedem esse ajuste de base.
Exemplo C: 24aw + 6x − 12aw − 6x. Agrupando: (24aw − 12aw) + (6x − 6x) = 12aw + 0 = 12aw. Atenção para não misturar aw com x, pois as partes literais são diferentes.
Exemplo D: 15ax + 6ax = (15 + 6)ax = 21ax. Novamente, a parte literal idêntica autoriza a soma direta dos coeficientes.
Exemplos guiados com polinômios
Considere (2x2 + 3xy + y2) + (7x2 − 5xy − y2). Agrupando semelhantes: x2: (2 + 7) = 9; xy: (3 − 5) = −2; y2: (1 − 1) = 0. Resultado: 9x2 − 2xy.
Agora a subtração: (5ab − 3bc + a2) − (ab + 9bc − a3) = 5ab − 3bc + a2 − ab − 9bc + a3. Combinando: 4ab − 12bc + a2 + a3. O cuidado com o sinal negativo à frente do parêntese é indispensável.
Outro ponto prático: às vezes convém fatorar antes de somar/subtrair, pois a expressão pode “encolher”. Fatores comuns e agrupamento frequentemente reduzem o número de termos, evitando tanto erro quanto trabalho extra.
Divisão de polinômio por monômio
Seja o polinômio 18x4 + 24x3 − 6x2 + 9x e o monômio 3x. Dividimos cada termo: 18x4/3x = 6x3; 24x3/3x = 8x2; −6x2/3x = −2x; 9x/3x = 3. Resultado: 6x3 + 8x2 − 2x + 3. Em todos os termos, subtraímos 1 do expoente de x, já que dividimos por x.
Essa técnica de “dividir termo a termo” funciona bem quando o divisor é um monômio. Em polinômios mais complexos, outros métodos podem ser necessários, mas aqui o foco é dominar o caso direto que aparece com frequência em exercícios básicos e intermediários.
Rotas de simplificação via fatoração
Antes de somar ou subtrair frações em coeficientes, vale simplificar a expressão. Extrair fator comum, agrupar ou reconhecer quadrados e cubos perfeitos pode eliminar frações e reduzir o risco de erro.
Relembre a lista prática: fator comum em evidência (ax + bx = x(a + b)), agrupamento (ax + bx + ay + by = (x + y)(a + b)), TCP de adição e de diferença, diferença de dois quadrados e cubos perfeitos. Esses casos não são “firulas”, são atalhos legítimos para tornar as contas mais limpas.
Erros comuns e como evitá-los
Misturar termos não semelhantes é o tropeço número um. Se as partes literais diferem (letras ou expoentes), não some nem subtraia como se fossem iguais; primeiro tente fatorar ou apenas deixe-os separados.
Outro equívoco recorrente é esquecer o MMC ao somar/subtrair frações nos coeficientes. Sem denominadores iguais, a soma de numeradores não é válida. Faça o MMC, ajuste as frações e só então combine.
Também é comum perder o sinal na subtração com parênteses. Um “−” antes de um parêntese inverte todos os sinais lá dentro; distribua corretamente antes de agrupar semelhantes.
Por fim, fique atento às leis de expoentes. Na multiplicação de mesma base, some os expoentes; na divisão, subtraia. Não confunda as regras, especialmente quando a parte literal aparece com expoentes diferentes.
Mais exemplos práticos para treinar
1) Dadas as expressões 8xy + 3xyz − 4xyz + 2xy, agrupe semelhantes: (8xy + 2xy) + (3xyz − 4xyz) = 10xy − xyz. Esse formato já está reduzido.
2) Para a expressão a + b + ab + 5b + 3ab + 9a − 5c, junte semelhantes: (a + 9a) + (b + 5b) + (ab + 3ab) − 5c = 10a + 6b + 4ab − 5c. Termos com a mesma parte literal aparecem somados nos coeficientes.
3) Em x3 + 10x2 + 5x − 8x2 − x3, cancele e combine: (x3 − x3) + (10x2 − 8x2) + 5x = 2x2 + 5x. Cancelamentos são “ouro” na simplificação.
4) Se A = x − 2y, B = 2x + y e C = y + 3, então: A + B = (x − 2y) + (2x + y) = 3x − y; B − C = (2x + y) − (y + 3) = 2x − 3; A·C = (x − 2y)(y + 3) = xy + 3x − 2y2 − 6y. Organizar por semelhança e aplicar distributiva diminui erros.
5) Um exemplo de polinômio dividido por monômio já visto: (18x4 + 24x3 − 6x2 + 9x)/3x = 6x3 + 8x2 − 2x + 3. Divida coeficientes e ajuste expoentes com cuidado.
Dicas finais para estudar melhor
Tenha um “checklist mental” ao olhar uma expressão: 1) posso agrupar termos semelhantes? 2) há fator comum para evidenciar? 3) o MMC simplifica a soma de frações nos coeficientes? Essa sequência evita que você tente somar o que não deve.
Sempre que surgir a dúvida “posso somar?”, compare a parte literal. Se for idêntica, some/subtraia coeficientes; se não, pare e reavalie. Em muitos casos, só depois de fatorar é que a semelhança aparece.
Por último, treine com variações que incluam frações, números negativos e expoentes. A diversidade de exercícios fortalece o raciocínio e reduz o nervosismo na hora da prova.
Com tudo o que vimos — expressões algébricas, monômios e polinômios, regras de soma e subtração com frações nos coeficientes, multiplicação, divisão por monômio e fatoração — você tem agora um mapa claro do tema. Quando identificar termos semelhantes, igualar denominadores e operar só os coeficientes, a parte literal deixa de ser um obstáculo e passa a ser um guia.
