Função homográfica: como representar graficamente, exercícios resolvidos

A função homographic ou ng racional é um tipo de função matemática consiste de divisão polinomiais dois componentes. Ele obedece à forma P (x) / Q (x), onde Q (x) não pode assumir a forma nula.

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Por exemplo, a expressão (2x – 1) / (x + 3) corresponde a uma função homogênea com P (x) = 2x – 1 e Q (x) = x + 3.

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Fonte: pixabay.com

As funções homográficas constituem uma seção de estudo das funções analíticas, sendo tratadas a partir da abordagem gráfica e do estudo de domínio e classificação. Isso se deve às restrições e fundamentos que devem ser aplicados em suas resoluções.

O que é uma função homográfica?

São expressões racionais de uma única variável, embora isso não signifique que não exista expressão semelhante para duas ou mais variáveis, onde já estaria na presença de corpos no espaço que obedecem aos mesmos padrões da função homográfica no plano.

Eles têm raízes reais em alguns casos, mas a existência de assíntotas verticais e horizontais é sempre mantida, bem como intervalos de crescimento e diminuição. Geralmente, apenas uma dessas tendências está presente, mas há expressões capazes de mostrar ambas em seu desenvolvimento.

Seu domínio é restrito pelas raízes do denominador, porque não há divisão entre zero e números reais.

Função Homográfica Mista

São muito frequentes no cálculo, especialmente diferencial e integral, sendo necessário derivar e antiderivar sob fórmulas particulares. Alguns dos mais comuns são classificados abaixo.

Enésima raiz da função homóloga

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Exclui todos os elementos do domínio que tornam o argumento negativo. As raízes presentes em cada polinômio mostram valores zero quando avaliadas.

Esses valores são aceitos pelo radical, embora a restrição fundamental da função homográfica deva ser considerada. Onde Q (x) não pode receber valores nulos.

As soluções de intervalo devem ser interceptadas:

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Para obter a solução de interseções, você pode usar o método de sinais, entre outros.

Logaritmo da função homóloga

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Também é comum encontrar as duas expressões em uma, entre outras combinações possíveis.

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Como representar graficamente uma função homográfica?

As funções homográficas correspondem graficamente às hipérbolas no plano. Quais são transportados horizontal e verticalmente de acordo com os valores que definem os polinômios.

Existem vários elementos que devemos definir para representar graficamente uma função racional ou homóloga.

Raízes

O primeiro serão as raízes ou zeros das funções P e Q.

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Os valores obtidos serão indicados no eixo x do gráfico. Indicando as interseções do gráfico com o eixo.

Assíntota vertical

Eles correspondem a linhas verticais, que demarcam o gráfico de acordo com as tendências que apresentam. Eles tocam o eixo x nos valores que zeram o denominador e nunca serão tocados pelo gráfico da função homográfica.

Assíntota horizontal

Representado por uma linha de ponto horizontal, demarca um limite para o qual a função não será definida no ponto exato. As tendências serão observadas antes e depois dessa linha.

Para calculá-lo, devemos recorrer a um método semelhante ao método L’Hopital, usado para resolver limites de funções racionais que tendem ao infinito. Os coeficientes das potências mais altas devem ser tomados no numerador e no denominador da função.

Por exemplo, a expressão a seguir possui uma assíntota horizontal em y = 2/1 = 2.

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Intervalo de crescimento

Os valores das ordenadas terão tendências marcadas no gráfico devido às assíntotas. No caso de crescimento, a função aumentará em valores à medida que os elementos do domínio forem avaliados da esquerda para a direita.

Diminuir intervalo

Os valores das ordenadas diminuirão à medida que os elementos do domínio forem avaliados da esquerda para a direita.

Os saltos encontrados nos valores não serão levados em consideração à medida que aumentam ou diminuem. Isso ocorre quando o gráfico está próximo de uma assíntota vertical ou horizontal, onde os valores podem variar do infinito ao infinito negativo e vice-versa.

Interseção com Y

Ao zerar o valor de x, a interseção com o eixo das ordenadas é encontrada. Este é um dado muito útil para obter o gráfico da função racional.

Exemplos

Defina o gráfico das seguintes expressões, encontre suas raízes, assíntotas verticais e horizontais, intervalos de crescimento e diminuição e interseção com o eixo das ordenadas.

Exercício 1

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A expressão não tem raízes, porque tem um valor constante no numerador. A restrição a aplicar será x diferente de zero . Com assíntota horizontal em y = 0 e assíntota vertical em x = 0. Não há pontos de interseção com o eixo y.

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Observa-se que não há intervalos de crescimento, mesmo com o salto de menos para mais infinito do que em x = 0.

O intervalo de diminuição é

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Exercício 1.2

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2 polinômios são observados como na definição inicial, então proceda de acordo com as etapas estabelecidas.

A raiz encontrada é x = 7/2, que resulta da equalização da função para zero.

A assíntota vertical está em x = – 4, que é o valor excluído do domínio pela condição de função racional.

A assíntota horizontal está em y = 2, após dividir 2/1, os coeficientes das variáveis ​​de grau 1.

Tem uma interseção com as ordenadas em y = – 7/4. Valor encontrado após equalizar x a zero.

A função está em constante crescimento, com um salto de mais para menos infinito em torno da raiz x = -4.

Seu intervalo de crescimento é (-∞, – 4) U (- 4, ∞).

Quando o valor de x se aproxima de menos infinito, a função leva valores próximos a 2. O mesmo acontece quando x se aproxima de mais ao infinito.

A expressão se aproxima de mais infinito quando é avaliada em – 4 à esquerda, e menos infinita quando é avaliada em – 4 à direita.

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Exercício 2

O gráfico da seguinte função homóloga é observado:

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Descreva seu comportamento, raízes, assíntotas verticais e horizontais, intervalos de crescimento e diminuição e interseção com o eixo das ordenadas.

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O denominador da expressão nos diz ao fatorar a diferença de quadrados (x + 1) (x – 1) os valores das raízes. Dessa maneira, as duas assíntotas verticais podem ser definidas como:

x = -1 yx = 1

A assíntota horizontal corresponde ao eixo da abcissa, porque a maior potência está no denominador.

Sua única raiz é definida por x = -1/3.

A expressão sempre diminui da esquerda para a direita. Ele se aproxima de zero quando tendendo a infinitos. A menos que seja infinito ao se aproximar de -1 à esquerda. Um mais infinito ao se aproximar de -1 à direita. Menos infinito ao se aproximar de 1 à esquerda e mais infinito ao se aproximar de 1 à direita.

Referências

  1. Aproximação com o Rational Functions. Donald J. Newman American Mathematics Soc., 31 de dezembro 1979
  2. Funções Racionais Ortogonais. UNIVERSIDADE DE LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 de fevereiro 1999
  3. Aproximação racional de funções reais. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 de março 2011
  4. Funções Algébricas. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1º de janeiro 2004
  5. Revista da Sociedade Espanhola de Matemática, Volumes 5-6. Sociedade Espanhola de Matemática, Madri 1916

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