A função homográfica é um tipo de função racional que pode ser representada graficamente por meio de uma reta, uma hipérbole ou uma combinação dessas duas formas. Neste artigo, vamos explorar como representar graficamente uma função homográfica e resolver alguns exercícios práticos para compreender melhor seu funcionamento e suas características. Vamos abordar as transformações gráficas, os pontos singulares e as assíntotas, além de discutir alguns conceitos importantes para a compreensão da função homográfica.
Análise de funções lineares e exponenciais por meio de gráficos.
Quando analisamos funções lineares e exponenciais por meio de gráficos, podemos observar características específicas de cada tipo de função. As funções lineares são representadas por retas no plano cartesiano, com um crescimento constante, enquanto as funções exponenciais apresentam um crescimento acelerado à medida que x aumenta.
Para as funções lineares, o gráfico é uma reta com inclinação constante, representando a relação direta entre x e y. Já as funções exponenciais têm um comportamento de crescimento ou decrescimento exponencial, mostrando uma curva acentuada no gráfico.
A análise desses gráficos nos permite visualizar o comportamento das funções em diferentes intervalos, identificar pontos de máximo e mínimo, e compreender a relação entre as variáveis x e y. Além disso, podemos utilizar os gráficos para fazer previsões e extrapolar dados, conforme a necessidade do problema.
Função homográfica: como representar graficamente, exercícios resolvidos.
A função homográfica é uma função racional da forma f(x) = (ax + b) / (cx + d), onde a, b, c e d são constantes reais. Para representar graficamente uma função homográfica, devemos analisar o comportamento da função nos intervalos e nos pontos singulares.
Para resolver exercícios envolvendo funções homográficas, é importante identificar os pontos de interseção com os eixos coordenados, as assíntotas verticais e horizontais, e os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Além disso, podemos determinar o comportamento da função em relação aos limites de x e y.
Já a representação gráfica de funções homográficas requer atenção aos pontos singulares e às assíntotas da função. Com a prática e o conhecimento adequado, podemos resolver exercícios e interpretar corretamente os gráficos das diferentes funções matemáticas.
Relação entre grandezas variáveis de forma linear: a proporcionalidade na função afim.
Relação entre grandezas variáveis de forma linear: a proporcionalidade na função afim.
A proporcionalidade na função afim é uma relação matemática que descreve a relação entre duas grandezas variáveis de forma linear. Isso significa que, quando uma grandeza aumenta ou diminui, a outra também aumenta ou diminui de forma proporcional. Em outras palavras, se uma grandeza é o dobro da outra, a relação entre elas é de proporção.
Na função afim, a relação entre as grandezas é representada por uma equação do tipo y = mx + b, onde y é a variável dependente, x é a variável independente, m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O coeficiente angular m representa a inclinação da reta que representa a função no plano cartesiano.
Para representar graficamente a função afim, basta plotar os pontos que satisfazem a equação e traçar uma reta que os interliga. Essa reta é chamada de gráfico da função afim e representa a relação de proporcionalidade entre as grandezas.
A função homográfica, por sua vez, é uma função racional que pode ser representada graficamente por uma curva chamada de hipérbole. Essa curva possui duas assíntotas, que são retas que a curva se aproxima infinitamente, mas nunca cruza.
Para resolver exercícios envolvendo funções homográficas, é necessário encontrar os pontos de interseção da curva com os eixos x e y, calcular as assíntotas e determinar o comportamento da curva para valores grandes de x. Com essas informações, é possível desenhar o gráfico da função homográfica e visualizar sua forma.
Ambas as funções podem ser representadas graficamente, facilitando a visualização e compreensão de suas características.
Estudo completo de função linear em uma abordagem simplificada e acessível.
Função homográfica: A função homográfica é uma função racional da forma f(x) = (ax + b) / (cx + d), onde a, b, c e d são constantes reais e c e d não podem ser ambos iguais a zero. Para representar graficamente uma função homográfica, é importante observar o comportamento da função em relação aos valores de a, b, c e d. Por exemplo, se a = 1, b = 0, c = 2 e d = 1, a função será f(x) = (x) / (2x + 1).
Para representar graficamente essa função, podemos começar encontrando o domínio e a imagem da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida, enquanto a imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Em seguida, podemos determinar os pontos de interseção da função com os eixos x e y. Para encontrar o ponto de interseção com o eixo x, basta igualar f(x) a zero e resolver para x. Já para encontrar o ponto de interseção com o eixo y, basta substituir x por zero na função.
Além disso, podemos verificar se a função é crescente ou decrescente em determinados intervalos, analisando o sinal da função. Para isso, basta observar se o coeficiente de x no numerador é positivo ou negativo.
Por fim, podemos resolver alguns exercícios práticos envolvendo a representação gráfica de funções homográficas. Por exemplo, podemos determinar o comportamento da função em um determinado intervalo, encontrar pontos de máximo ou mínimo, ou até mesmo identificar assíntotas verticais e horizontais.
Comparação entre funções afim e quadrática em gráfico: semelhanças e diferenças.
As funções afim e quadrática são dois tipos de funções matemáticas que podem ser representadas graficamente. Ambas são importantes para o estudo da álgebra e da geometria, e possuem características distintas que as tornam únicas.
Uma função afim é representada por uma reta no plano cartesiano, com uma inclinação constante. Sua equação geral é dada por y = ax + b, onde “a” representa a inclinação da reta e “b” é o coeficiente linear. Já uma função quadrática é representada por uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Sua equação geral é y = ax² + bx + c, onde “a” determina a abertura da parábola.
Uma semelhança entre essas duas funções é que ambas possuem um gráfico que pode ser representado no plano cartesiano. No entanto, as diferenças são evidentes: enquanto a função afim é uma reta com inclinação constante, a função quadrática é uma parábola com concavidade variável.
Ao representar graficamente essas funções, é possível visualizar suas propriedades e entender melhor seu comportamento no plano cartesiano.
Função homográfica: como representar graficamente, exercícios resolvidos
A função homographic ou ng racional é um tipo de função matemática consiste de divisão polinomiais dois componentes. Ele obedece à forma P (x) / Q (x), onde Q (x) não pode assumir a forma nula.
Por exemplo, a expressão (2x – 1) / (x + 3) corresponde a uma função homogênea com P (x) = 2x – 1 e Q (x) = x + 3.
As funções homográficas constituem uma seção de estudo das funções analíticas, sendo tratadas a partir da abordagem gráfica e do estudo de domínio e classificação. Isso se deve às restrições e fundamentos que devem ser aplicados em suas resoluções.
O que é uma função homográfica?
São expressões racionais de uma única variável, embora isso não signifique que não exista expressão semelhante para duas ou mais variáveis, onde já estaria na presença de corpos no espaço que obedecem aos mesmos padrões da função homográfica no plano.
Eles têm raízes reais em alguns casos, mas a existência de assíntotas verticais e horizontais é sempre mantida, bem como intervalos de crescimento e diminuição. Geralmente, apenas uma dessas tendências está presente, mas há expressões capazes de mostrar ambas em seu desenvolvimento.
Seu domínio é restrito pelas raízes do denominador, porque não há divisão entre zero e números reais.
Função Homográfica Mista
São muito frequentes no cálculo, especialmente diferencial e integral, sendo necessário derivar e antiderivar sob fórmulas particulares. Alguns dos mais comuns são classificados abaixo.
Enésima raiz da função homóloga
Exclui todos os elementos do domínio que tornam o argumento negativo. As raízes presentes em cada polinômio mostram valores zero quando avaliadas.
Esses valores são aceitos pelo radical, embora a restrição fundamental da função homográfica deva ser considerada. Onde Q (x) não pode receber valores nulos.
As soluções de intervalo devem ser interceptadas:
Para obter a solução de interseções, você pode usar o método de sinais, entre outros.
Logaritmo da função homóloga
Também é comum encontrar as duas expressões em uma, entre outras combinações possíveis.
Como representar graficamente uma função homográfica?
As funções homográficas correspondem graficamente às hipérbolas no plano. Quais são transportados horizontal e verticalmente de acordo com os valores que definem os polinômios.
Existem vários elementos que devemos definir para representar graficamente uma função racional ou homóloga.
Raízes
O primeiro serão as raízes ou zeros das funções P e Q.
Os valores obtidos serão indicados no eixo x do gráfico. Indicando as interseções do gráfico com o eixo.
Assíntota vertical
Eles correspondem a linhas verticais, que demarcam o gráfico de acordo com as tendências que apresentam. Eles tocam o eixo x nos valores que zeram o denominador e nunca serão tocados pelo gráfico da função homográfica.
Assíntota horizontal
Representado por uma linha de ponto horizontal, demarca um limite para o qual a função não será definida no ponto exato. As tendências serão observadas antes e depois dessa linha.
Para calculá-lo, devemos recorrer a um método semelhante ao método L’Hopital, usado para resolver limites de funções racionais que tendem ao infinito. Os coeficientes das potências mais altas devem ser tomados no numerador e no denominador da função.
Por exemplo, a expressão a seguir possui uma assíntota horizontal em y = 2/1 = 2.
Intervalo de crescimento
Os valores das ordenadas terão tendências marcadas no gráfico devido às assíntotas. No caso de crescimento, a função aumentará em valores à medida que os elementos do domínio forem avaliados da esquerda para a direita.
Diminuir intervalo
Os valores das ordenadas diminuirão à medida que os elementos do domínio forem avaliados da esquerda para a direita.
Os saltos encontrados nos valores não serão levados em consideração à medida que aumentam ou diminuem. Isso ocorre quando o gráfico está próximo de uma assíntota vertical ou horizontal, onde os valores podem variar do infinito ao infinito negativo e vice-versa.
Interseção com Y
Ao zerar o valor de x, a interseção com o eixo das ordenadas é encontrada. Este é um dado muito útil para obter o gráfico da função racional.
Exemplos
Defina o gráfico das seguintes expressões, encontre suas raízes, assíntotas verticais e horizontais, intervalos de crescimento e diminuição e interseção com o eixo das ordenadas.
Exercício 1
A expressão não tem raízes, porque tem um valor constante no numerador. A restrição a aplicar será x diferente de zero . Com assíntota horizontal em y = 0 e assíntota vertical em x = 0. Não há pontos de interseção com o eixo y.
Observa-se que não há intervalos de crescimento, mesmo com o salto de menos para mais infinito do que em x = 0.
O intervalo de diminuição é
ID: (-∞; o) U (0, ∞)
Exercício 1.2
2 polinômios são observados como na definição inicial, então proceda de acordo com as etapas estabelecidas.
A raiz encontrada é x = 7/2, que resulta da equalização da função para zero.
A assíntota vertical está em x = – 4, que é o valor excluído do domínio pela condição de função racional.
A assíntota horizontal está em y = 2, após dividir 2/1, os coeficientes das variáveis de grau 1.
Tem uma interseção com as ordenadas em y = – 7/4. Valor encontrado após equalizar x a zero.
A função está em constante crescimento, com um salto de mais para menos infinito em torno da raiz x = -4.
Seu intervalo de crescimento é (-∞, – 4) U (- 4, ∞).
Quando o valor de x se aproxima de menos infinito, a função leva valores próximos a 2. O mesmo acontece quando x se aproxima de mais ao infinito.
A expressão se aproxima de mais infinito quando é avaliada em – 4 à esquerda, e menos infinita quando é avaliada em – 4 à direita.
Exercício 2
O gráfico da seguinte função homóloga é observado:
Descreva seu comportamento, raízes, assíntotas verticais e horizontais, intervalos de crescimento e diminuição e interseção com o eixo das ordenadas.
O denominador da expressão nos diz ao fatorar a diferença de quadrados (x + 1) (x – 1) os valores das raízes. Dessa maneira, as duas assíntotas verticais podem ser definidas como:
x = -1 yx = 1
A assíntota horizontal corresponde ao eixo da abcissa, porque a maior potência está no denominador.
Sua única raiz é definida por x = -1/3.
A expressão sempre diminui da esquerda para a direita. Ele se aproxima de zero quando tendendo a infinitos. A menos que seja infinito ao se aproximar de -1 à esquerda. Um mais infinito ao se aproximar de -1 à direita. Menos infinito ao se aproximar de 1 à esquerda e mais infinito ao se aproximar de 1 à direita.
Referências
- Aproximação com o Rational Functions. Donald J. Newman American Mathematics Soc., 31 de dezembro 1979
- Funções Racionais Ortogonais. UNIVERSIDADE DE LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 de fevereiro 1999
- Aproximação racional de funções reais. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 de março 2011
- Funções Algébricas. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1º de janeiro 2004
- Revista da Sociedade Espanhola de Matemática, Volumes 5-6. Sociedade Espanhola de Matemática, Madri 1916