A medição aproximada de figuras amorfas consiste em uma série de métodos usados para determinar a área ou perímetro das figuras geométricas que não são triângulos, quadrados, círculos, etc. Alguns são extensíveis a figuras tridimensionais.
Basicamente, a medição consiste em fazer uma treliça de alguma maneira regular, como retângulos, quadrados ou trapézios, que cobrem aproximadamente a superfície. A precisão da aproximação da área obtida por esses métodos aumenta com a finura ou densidade da rede.
As figuras 1 e 2 mostram várias figuras amorfas. Para calcular a área, uma treliça foi feita, consistindo em 2 x 2 quadrados, que por sua vez são subdivididos em vinte e cinco quadrados 2/5 x 2/5.
Adicionando as áreas dos quadrados principais e dos quadrados secundários, obtemos a área aproximada da figura amorfa.
Área sob uma curva
Muitas vezes, é necessário calcular aproximadamente a área sob uma curva entre dois valores-limite. Nesse caso, em vez de uma treliça quadrada, podem ser desenhadas faixas retangulares que cobrem aproximadamente a área sob a referida curva.
A soma de todas as faixas retangulares é chamada de soma ou soma de Riemann . A Figura 3 mostra uma partição do intervalo [a, b] sobre o qual a área sob a curva deve ser aproximada.
Suponha que desejamos calcular a área sob a curva dada pela função y = f (x), em que x pertence ao intervalo [a, b] dentro do qual queremos calcular a área. Para isso, é feita uma partição de n elementos dentro deste intervalo:
Partição = {x0 = a, x1, x2, …, xn = b}.
Então a área aproximada sob a curva dada por y = f (x) no intervalo [a, b] é obtida fazendo o seguinte somatório:
S = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k – x k-1 )
Onde t k está entre x k-1 e x k : x k-1 ≤ t k ≤ x k .
A Figura 3 mostra graficamente a soma de Riemann da curva y = f (x) no intervalo [x 0 , x 4 ]. Nesse caso, foi feita uma partição de quatro subintervalos e a soma representa a área total dos retângulos cinza.
Essa soma representa uma aproximação à área sob a curva f entre as abcissas x = x 0 ex x = x 4 .
A aproximação da área sob a curva melhora à medida que o número n de partições é maior e tende a ser exatamente a área sob a curva quando o número n de partições tende ao infinito.
Caso a curva seja representada por uma função analítica, os valores de f (t k ) são calculados avaliando essa função nos valores de t k . Mas se a curva não tiver uma expressão analítica, as seguintes possibilidades permanecem:
- Aproxime a curva por uma função, por exemplo, um polinômio.
- Tome as coordenadas cartesianas dos pontos onde a curva cruza com as linhas x = t k .
Intervalos regulares
Dependendo da escolha do valor tk no intervalo [x k , x k-1 ], a soma pode superestimar ou subestimar o valor exato da área sob a curva da função y = f (x). É mais aconselhável considerar o ponto tk em que a área ausente é aproximadamente igual à área excedente, embora nem sempre seja possível fazer essa escolha.
Tk na extrema direita
A coisa mais prática, então, é usar intervalos regulares de largura Δx = (b – a) / n, onde aeb são os valores mínimo e máximo da abcissa, enquanto n é o número de subdivisões.
Nesse caso, a área sob a curva é aproximada por:
Área = {f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b)} * Δx
Na expressão acima, tk foi obtido na extrema direita do subintervalo.
Pegue a tk na extrema esquerda
Outra possibilidade prática é pegar o valor tk na extrema esquerda, nesse caso a soma que se aproxima da área é expressa como:
Área = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Tome tk como o valor central
Caso tk seja escolhido como o valor central do subintervalo regular da largura Δx, a soma que se aproxima da área sob a curva é:
Área = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Qualquer uma dessas expressões tende ao valor exato na medida em que o número de subdivisões é arbitrariamente grande, ou seja, Δx tende a zero, mas nesse caso o número de termos da soma se torna imensamente grande com o consequente custo computacional.
Exemplo
A Figura 2 mostra uma figura amorfa, cujo contorno é semelhante às pedras da imagem 1. Para calcular sua área, ela é colocada em uma grade com 2 x 2 quadrados principais ao quadrado (por exemplo, eles podem ter 2 cm²).
E como cada quadrado é subdividido em 5 x 5 subdivisões, cada subdivisão tem uma área de 0,4 x 0,4 unidades ao quadrado (0,16 cm²).
A área da figura seria calculada assim:
Área = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²
Quer dizer:
Área = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².
Exercício resolvido
Calcule aproximadamente a área sob a curva dada pela função f (x) = x 2 entre a = -2 até b = +2. Para fazer isso, primeiro escreva a soma de n partições regulares do intervalo [a, b] e, em seguida, use o limite matemático para o caso em que o número de partições tende ao infinito.
Solução
Primeiro defina o intervalo da partição como
Δx = (b – a) / n.
Então a soma da direita correspondente à função f (x) se parece com isso:
[-2 + (4i / n)] 2 = 4-16 i / n + (4 / n) 2 i 2
E então é substituído no somatório:
E o terceiro acontece:
S (f, n) = 16-64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n 2
A escolha de um valor grande para n fornece uma boa aproximação à área sob a curva. No entanto, nesse caso, é possível obter o valor exato assumindo o limite matemático quando n tende ao infinito:
Área = lim n-> ∞ [16 – 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n 2 ]
Área = 16 – (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.
Referências
- Casteleiro, JM 2002. Cálculo integral (edição ilustrada). Madri: ESIC Editorial.
- Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
- Purcell, E. 2007. Cálculo com geometria analítica. 9º. Edição. Pearson Education.
- Unican. História do conceito de integral. Recuperado de: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann soma. Recuperado de: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Área. Recuperado de: es.wikipedia.com
