Medição aproximada de figuras amorfas: exemplo e exercício

A medição aproximada de figuras amorfas consiste em uma série de métodos usados ​​para determinar a área ou perímetro das figuras geométricas que não são triângulos, quadrados, círculos, etc. Alguns são extensíveis a figuras tridimensionais.

Basicamente, a medição consiste em fazer uma treliça de alguma maneira regular, como retângulos, quadrados ou trapézios, que cobrem aproximadamente a superfície. A precisão da aproximação da área obtida por esses métodos aumenta com a finura ou densidade da rede.

As figuras 1 e 2 mostram várias figuras amorfas. Para calcular a área, uma treliça foi feita, consistindo em 2 x 2 quadrados, que por sua vez são subdivididos em vinte e cinco quadrados 2/5 x 2/5.

Adicionando as áreas dos quadrados principais e dos quadrados secundários, obtemos a área aproximada da figura amorfa.

Área sob uma curva

Muitas vezes, é necessário calcular aproximadamente a área sob uma curva entre dois valores-limite. Nesse caso, em vez de uma treliça quadrada, podem ser desenhadas faixas retangulares que cobrem aproximadamente a área sob a referida curva.

A soma de todas as faixas retangulares é chamada de soma ou soma de Riemann . A Figura 3 mostra uma partição do intervalo [a, b] sobre o qual a área sob a curva deve ser aproximada.

Suponha que desejamos calcular a área sob a curva dada pela função y = f (x), em que x pertence ao intervalo [a, b] dentro do qual queremos calcular a área. Para isso, é feita uma partição de n elementos dentro deste intervalo:

Partição = {x0 = a, x1, x2, …, xn = b}.

Então a área aproximada sob a curva dada por y = f (x) no intervalo [a, b] é obtida fazendo o seguinte somatório:

S = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k ) (x _k  – x _k-1 )

Onde t _k  está entre x _{k-1 e}  x _k : x _k-1  ≤ t _k  ≤ x _k  .

A Figura 3 mostra graficamente a soma de Riemann da curva y = f (x) no intervalo [x 0 , x 4 ]. Nesse caso, foi feita uma partição de quatro subintervalos e a soma representa a área total dos retângulos cinza. 

Essa soma representa uma aproximação à área sob a curva f entre as abcissas x = x 0 ex x = x 4 .

A aproximação da área sob a curva melhora à medida que o número n de partições é maior e tende a ser exatamente a área sob a curva quando o número n de partições tende ao infinito. 

Caso a curva seja representada por uma função analítica, os valores de f (t _k ) são calculados avaliando essa função nos valores de t _k . Mas se a curva não tiver uma expressão analítica, as seguintes possibilidades permanecem:

1. Aproxime a curva por uma função, por exemplo, um polinômio.
2. Tome as coordenadas cartesianas dos pontos onde a curva cruza com as linhas x = t _k .

Intervalos regulares

Dependendo da escolha do valor tk no intervalo [x _k , x _k-1 ], a soma pode superestimar ou subestimar o valor exato da área sob a curva da função y = f (x). É mais aconselhável considerar o ponto tk em que a área ausente é aproximadamente igual à área excedente, embora nem sempre seja possível fazer essa escolha.  

Tk na extrema direita

A coisa mais prática, então, é usar intervalos regulares de largura Δx = (b – a) / n, onde aeb são os valores mínimo e máximo da abcissa, enquanto n é o número de subdivisões.

Nesse caso, a área sob a curva é aproximada por:

Área = {f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f [a + (n-1] Δx + f (b)} * Δx

Na expressão acima, tk foi obtido na extrema direita do subintervalo.

Pegue a tk na extrema esquerda

Outra possibilidade prática é pegar o valor tk na extrema esquerda, nesse caso a soma que se aproxima da área é expressa como:

Área = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx

Tome tk como o valor central

Caso tk seja escolhido como o valor central do subintervalo regular da largura Δx, a soma que se aproxima da área sob a curva é:

Área = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx

Qualquer uma dessas expressões tende ao valor exato na medida em que o número de subdivisões é arbitrariamente grande, ou seja, Δx tende a zero, mas nesse caso o número de termos da soma se torna imensamente grande com o consequente custo computacional. 

Exemplo

A Figura 2 mostra uma figura amorfa, cujo contorno é semelhante às pedras da imagem 1. Para calcular sua área, ela é colocada em uma grade com 2 x 2 quadrados principais ao quadrado (por exemplo, eles podem ter 2 cm²).

E como cada quadrado é subdividido em 5 x 5 subdivisões, cada subdivisão tem uma área de 0,4 x 0,4 unidades ao quadrado (0,16 cm²).

A área da figura seria calculada assim:

Área = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²

Quer dizer:

Área = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².

Exercício resolvido

Calcule aproximadamente a área sob a curva dada pela função f (x) = x ² entre a = -2 até b = +2. Para fazer isso, primeiro escreva a soma de n partições regulares do intervalo [a, b] e, em seguida, use o limite matemático para o caso em que o número de partições tende ao infinito. 

Solução

Primeiro defina o intervalo da partição como 

Δx = (b – a) / n. 

Então a soma da direita correspondente à função f (x) se parece com isso:

[-2 + (4i / n)] ² = 4-16 i / n + (4 / n) ² i ²

E então é substituído no somatório:

E o terceiro acontece:

S (f, n) = 16-64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n ²

A escolha de um valor grande para n fornece uma boa aproximação à área sob a curva. No entanto, nesse caso, é possível obter o valor exato assumindo o limite matemático quando n tende ao infinito:

Área = lim _{n-> ∞} [16 – 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n ² ]

Área = 16 – (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333.

Referências

1. Casteleiro, JM 2002. Cálculo integral (edição ilustrada). Madri: ESIC Editorial.
2. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
3. Purcell, E. 2007. Cálculo com geometria analítica. 9º. Edição. Pearson Education.
4. Unican. História do conceito de integral. Recuperado de: repositorio.unican.es
5. UIS. Riemann soma. Recuperado de: matematicas.uis.edu.co
6. Wikipedia. Área. Recuperado de: es.wikipedia.com